北京市某中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

北京市第八十中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2T對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.如圖，在平行四邊形/8CD中，AC-AB=（）

A-EfiB-ADC-BDD-CD

3.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5,4,3,那么該長(zhǎng)方體的表面積為（）

A.20B.47C.60D.94

4.已知向量z=且"力則加=（）

A.1B.-1C.4D.-4

5.已知向量凡$忑在正方形網(wǎng)格中的位置，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，如圖所

示.則（22+刃”=（）

A.12B.4C.6D.3

6.已知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則

這個(gè)圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）

試卷第11頁(yè)，共33頁(yè)

也c.@D.6

A.2B.

23

7.“直線/與平面0平行”是“直線/與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，48兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測(cè)得8c的距離

1Om,ZABC=15\^ACB=600>則48兩點(diǎn)間的距離為（）

A-5&mB-5GmC55/5mD?5A/6ITI

9.在正方體44clz）|中，p是正方體的底面481G￡）］（包括邊界）內(nèi)的一動(dòng)

點(diǎn)，（不與4重合），0是底面力BCQ內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，線段4c與線段P。相交且互相平分，

則使得四邊形42cp面積最大的點(diǎn)尸是（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

試卷第21頁(yè)，共33頁(yè)

10.如圖，正方形48CD的邊長(zhǎng)為2，P為正方形/3CO四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

。[0,4]D-[-1,4]

二、填空題

H.若復(fù)數(shù)z=」-,則kb.

1+1

12.已知向量G，B滿足I51=2，出|=4，（3_萬(wàn)）方=0,則2與B的夾角為--?

13.在VR8C中，4=60。加=1,SVABC=也'貝"=-----

14.已知直線機(jī)和平面Q,夕.給出下列三個(gè)論斷：①“〃a；②a〃0；③mu/?.以

其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

15.如圖，矩形/8CO中，/D=248=2,用為8c的中點(diǎn)，將沿直線力加翻折，

構(gòu)成四棱錐N為的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，

①對(duì)于任意一個(gè)位置總有CN//平面AB,M；

②存在某個(gè)位置，使得CW1AB］；

③存在某個(gè)位置，使得AD1MB、；

試卷第31頁(yè)，共33頁(yè)

④四棱錐B'~AMCD的體積最大值為變.

上面說(shuō)法中所有正確的序號(hào)是.

三、解答題

16.如圖，在"8。中，AD=-AB,點(diǎn)、E,尸分別是8°的中點(diǎn).設(shè)方=

4

AC=h-

（1）用￡出表而，EF-

（2）如果乙4=60°，AB=2AC,CD,EF有什么關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.

17.如圖，在四棱錐尸_/Be/）中，8c〃平面物。,ADBC'區(qū)尸，"，G分別是

棱Bl,PB,PC,的中點(diǎn).

試卷第41頁(yè)，共33頁(yè)

(1)求證：8C〃N。；

(2)判斷直線EF與直線G4的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

18.如圖，在四棱柱/88_/圈。|"中，，平面Z8CZ)，ADHBC,NB4D=90°，

(1)求三棱錐5,-ABD的體積;

(2)求證：8C//平面ZDZ)/;

(3)求證：AC1B.D-

19.在V/8C中分別°、b'c分別是角A、B、c的對(duì)邊，且滿足

^2b-y/3c^cosA=VJizcosC

⑴求角rA\的大小;

⑵現(xiàn)在給出三個(gè)條件.：①-耳；②八手；③.試從中選出兩個(gè)條件'補(bǔ)充在

下面的問(wèn)題中，?,求VN8C的面積?

(3)當(dāng)滿足°=2時(shí)，求的取值范圍使得這樣的VN8C有且只有兩個(gè)(直接寫出結(jié)論)

20.某港口水深夕(米)是時(shí)間/(0^524,單位：小時(shí))的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù):

03691215182124

t(小

試卷第51頁(yè)，共33頁(yè)

時(shí))

10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

y(米)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)

y=Asin+6的圖象.

I，'」

o*1I'S/*I.M)

⑴試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出y=4sin(yf+6(4>o,0>0力>0)的表達(dá)式；

(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃

水度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲

當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？(忽略離港所用的時(shí)

間)

21.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列(整點(diǎn)即橫縱坐

標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)),AnS(n):B},B2?B}>,B"，其中

〃23，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同：②線段.MR其中

,=1,2,3,---,/7-1>則稱/(”)與8(〃)互為正交點(diǎn)列.

⑴求4(3)：4(0,2)，4(3,0)，4(5,2)的正交點(diǎn)列8(3)；

⑵判斷N(4)：4(0,0)，4(3/)，4(6,0)，4(9/)是否存在正交點(diǎn)列8(4)?并說(shuō)明理

由；

(3)Vn>5,〃WN，是否都存在無(wú)正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列/(〃)？并證明你的結(jié)論.

試卷第61頁(yè)，共33頁(yè)

參考答案:

I.D

【分析】求得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】復(fù)數(shù)2-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為力，翎:，在第四象限?

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算得％_萬(wàn)=而.

【詳解】由圖知前一方=前=而，

故選:B.

3.D

【分析】利用長(zhǎng)方體的表面積公式即可求解.

【詳解】長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5,4,3,

所以該長(zhǎng)方體的表面積為(5x4+5x3+4x3)x2=94

故選：D

4.D

【分析】利用平行的坐標(biāo)公式處理即可.

【詳解】由向量&=(一1,2)3=(2,/?)，且“，

-lxnj_2x2=0,解得：m=-4-

故選：D.

5.C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得出G=(2,-1)，5=(2,2”0=(1,2),再結(jié)合平面向量

坐標(biāo)的線性運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】??網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，

答案第11頁(yè)，共22頁(yè)

，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中)=(2,-1)，.=(2,2)，0=(1,2),

/.2a+i=2x(2,-1)+(2,2)=(6,0)'

.-.(2a+^)-c=(6,0)-(1,2)=6-

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為,，

因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長(zhǎng)為/=2u

則圓錐和圓柱的高為占=,4/=島?

所以圓錐的側(cè)面積為￡=；X2TT2%/=r2,

圓柱的側(cè)面積為S2=2兀2乂酢?r2,

所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為縣=3,

S23

故選:C.

7.A

【解析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤爸本€/與平面a平行”，所以根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知“直線/與平面

答案第21頁(yè)，共22頁(yè)

a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行”，反之不成立，因?yàn)橹本€/還可能在平面a內(nèi).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定，明確語(yǔ)句間的推出關(guān)系是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查

邏輯推理的核心素養(yǎng).

8.D

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可

【詳解】因?yàn)镹/8。=75°,//。8=60"，故/8/C=180°-75°-6(T=45°，由正弦定理，

BCAB

---------=---------1ox——

sinZBACsinZACB2r[7

,故48=——7=^=5V6m

V2

T

故選：D

9.C

【詳解】,??線段4c與線段尸。相交且互相平分，

???四邊形AQCP是平行四邊形，

因4c的長(zhǎng)為定值，為了使四邊形40。尸面積最大，

只須P到4c的距離為最大即可，

由正方體的特征可以知道，

當(dāng)點(diǎn)p位于巴，G，2時(shí)，平行四邊形40c尸面積相等，且最大，

則使得四邊形42cp面積最大的點(diǎn)尸有3個(gè).

故選c.

點(diǎn)睛:立體幾何中最值問(wèn)題，主要解決方法為立體問(wèn)題平面化，即將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)

化到某個(gè)平面上線面關(guān)系，結(jié)合平面幾何或解析幾何知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化解決.

答案第31頁(yè)，共22頁(yè)

10.D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，分點(diǎn)尸在CD上，點(diǎn)尸在5C上，點(diǎn)尸在上，點(diǎn)尸在

上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

則/(0,2),8(2,2)，

當(dāng)點(diǎn)尸在CD上時(shí)，設(shè)尸(x,0)(0<x<2))

則734=(x,-2),PB=(x-2,-2),

所以質(zhì).而=x(x-2)+4=(x-+3e[3,4]；

當(dāng)點(diǎn)尸在2C上時(shí)，設(shè)尸(2,尸)(0?尸w2)，

貝IJ萬(wàn)1=-2),麗=(0,y-2),

2

所以萬(wàn)1?無(wú)=(y-2)e[0,4]:

當(dāng)點(diǎn)尸在“8上時(shí)，設(shè)尸(應(yīng)2)(04x42)，

答案第41頁(yè)，共22頁(yè)

則應(yīng)=(x,0),=(x-2)0),

所以%.陽(yáng)=X(X_2)=(x-_1e［-1,o］:

當(dāng)點(diǎn)尸在“。上時(shí)，設(shè)O(o,y)(o4y42)，

則(0,y-2),而=(-2y-2),

所以萬(wàn)1?屆=(尸-2丫e［0,4］；

綜上：用.而的取值范圍是卜］,4］?

故選：D

【解析】根據(jù)15Hzi以及復(fù)數(shù)商的模等于復(fù)數(shù)的模的商，計(jì)算可得答案?

【詳解】因?yàn)?=3,所以|刃=|z|=|2|=—不=-4==&.

1+11+i11+/1vl4-1

故答案為：72

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.-

3

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出［力再利用向量夾角公式計(jì)算作答.

【詳解】向量a，不滿足|萬(wàn)|=2，歷|=4,由(在-4)*=0，得15=/=4,

因此cos〈￡［〉=曰=/一△，而°“潮,，則&［〉=？，

⑷⑸2x423

答案第51頁(yè)，共22頁(yè)

所以“與"的夾角為巴.

3

故答案為：—

3

3V13

【詳解】由三角形的面積公式知，s=1bcsinZ=^，解得°=4,再有余弦定理得

2

a2=b2+c2-2/）ccos60°=13'故a=

14.若a〃/3,mu。，則機(jī)Pa

【分析】分三種情況判斷：①②作條件，③作結(jié)論；①③作條件，②作結(jié)論；②③作條件,

①作結(jié)論.只要以上三個(gè)命題為真即可.

【詳解】解：將①②作條件，③作結(jié)論：若加〃a,a〃P，則機(jī)uQ.此命題為假命題

（結(jié)論應(yīng)為mu/5或心〃夕）；

將①③作條件，②作結(jié)論：若"?〃a,mu/3,則。〃戶.此命題為假命題（結(jié)論應(yīng)為a與

夕相交或a〃?）；

將②③作條件，①作結(jié)論：若a〃P，mu0，則機(jī)〃a.由兩平面平行的性質(zhì)定理可知

此命題為真命題.

故答案為：若a〃夕，mu0，則加〃a.

15.①④

【分析】證明EA7〃NC,結(jié)合線面平行判定判斷①；由皮0〃"C結(jié)合/用與不垂直，

答案第61頁(yè)，共22頁(yè)

判斷②；由線面垂直的判定得出點(diǎn)用與點(diǎn)尸重合，從而判斷③；取4W的中點(diǎn)為G，連接

B}G>當(dāng)4GJL平面ZMCD時(shí),四棱錐鳥(niǎo)-/A/C。的體積最大,從而判斷④?

【詳解】分別取/用,40的中點(diǎn)為瓦廣，連接EN,EM,B、F,FM-

因?yàn)榫W(wǎng)部的中點(diǎn)分別為E'N,所以EN〃旬〃MC,且硒」仞="0

2

即四邊形ENCW為平行四邊形，故EN〃NC，由線面平行的判定可知對(duì)于任意一個(gè)位

置總有CN//平面AB.M，故①正確；

因?yàn)?B附=90。，所以/4與EN不垂直，由EA/〃MC可知，/4與NC不垂直，故②錯(cuò)

誤；

由題意/々J.4",若/￡>_1_知8］，則由線面垂直的判定可得朋81_1平面/40.

則因?yàn)樗耘c△A/8Q全等，則44=4。=1，

此時(shí)點(diǎn)名與點(diǎn)尸重合，不能形成四棱錐故③錯(cuò)誤；

取"加的中點(diǎn)為G,連接與G,BG=變，當(dāng)BQ，平面"M8時(shí)，四棱錐4-/MCD

12

的體積最大，最大值為1（i+2）xlx1xE=正，故④正確：

3224

答案第71頁(yè)，共22頁(yè)

故答案為：①④

CD1EF

16.(1)CD=-a-b,EF=-a；(2)t證明見(jiàn)解析

42

【解析】(1)根據(jù)向量的三角形法則以及中位線定理即可表示出前，EF

(2)設(shè)zc=機(jī)，則/8=2加，EF=m.計(jì)一算麗.而即可。

【詳解】解：(1)CD=AD-AC=-AB-AC=-a-h；

44

——111,1-

EF=-AB=-a.

22

(2)CD1EF,證明如下：設(shè)NC=m'則N8=2加'EF=

---------(1一一)1一1一21--1I1。

CD-EF=-a-b\--a=-a——a'b=—x(2mY——x2mxmxcos60

l4)28282

=—Im~,—1tn~)=0八.

22

?''CDLEFJCD1EF-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的三角形法則以及利用向量的數(shù)量積判斷直線的關(guān)系，屬于

中等題。

17.(1)證明見(jiàn)解析：

(2)直線后尸與直線G“相交，理由見(jiàn)解析.

答案第81頁(yè)，共22頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解;

(2)根據(jù)題意可證瓦￡”,G四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗訣GwFH，即得EF與

G4相交.

【詳解】(1)解：因?yàn)?c〃平面尸/。，8Cu平面平面尸/Dc平面

ABCD=AD，

所以8C///ZT

(2)解:直線《尸與直線G”相交，理由如下：

連接EG,戶H)

因?yàn)镋,G分別是棱尸4P。的中點(diǎn)，

所以EG///O,EG=g/￡?,同理可證：FH//BC,FH=^BC,

因?yàn)?C//4T所以EG//FH，

所以瓦F,//,G四點(diǎn)共面，

因?yàn)閄DwBC，所以EGxFH'

所以E尸與G//不平行，即E尸與GH相父?

答案第91頁(yè)，共22頁(yè)

2

18.(1)-；(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】(1)直接應(yīng)用棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可；

(2)直接應(yīng)用線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

(3)根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【詳解】⑴三棱錐片-。的體積為：

"81.551.SV^D=1X1X1X2X2=|;

(2)因?yàn)?D//8C,/Ou平面8C<Z平面4304，

所以8C//平面

(3)因?yàn)開(kāi)L平面/BCD，/Cu平面/8CO，所以

又因?yàn)閆CJ.8。，BDCBB、=8,5。,8片u平面8。片，

所以ZC_L平面因?yàn)??！﹗平面所以/CJL8Q-

19.(1)/=［；

6

(2)答案見(jiàn)解析；

(3)(2.4)-

答案第101頁(yè)，共22頁(yè)

【分析】（1）用正弦定理求得c°sN=在，即可求出/=9；

26

c=&相矛盾，故這樣的V"8c

（2）選條件①②：直接求出。=工<8,得到c<",這與

6

不存在，舍去.

選條件①③：由余弦定理解得：P,判斷出為等腰三角形，求出c=與‘直接用

面積公式求面積;

選條件②③：由角判斷出VN8C為等腰三角形，直接用面積公式求面積―

（3）利用正弦定理建立不等式，解出分的取值范圍.

【詳解】（1）在"'SC中，對(duì)儂-辰卜。sZ=GacosC,用正弦定理得:

(2sin5-V3sinCjcos^=73sinAcosC,所以2sin慶os/=百sinIcosC+百sinCeos/,即

2sinBcosA=V3sin(A+C)-

因?yàn)?+8+C="所以sin8=sin(/+C)xO,所以更.

2

因?yàn)楱D萬(wàn)），所以N=g

6

⑵選條件①②：在刎中，有個(gè)…產(chǎn)

由，+8+C=%可得：c=^<5,所以c<',這與°相矛盾，故這樣的"“SC不存在,

6

舍去.

答案第111頁(yè)，共22頁(yè)

選條件①③：在""SC中，有幺=工，。=后，”2

6

由余弦定理可得：1=b2+'-2bccos",即4=/+3^—2bx^cos&,解得："=?.所以

VZ5C為等腰三角形，所以8"=/,c=?，所以Sy=LbsinC」x2x2x正=5

63%ABC222

a=2

選條件②③：在"/SC中，有力=工，B=生,.

63

由"+8+C="可得：c」.所以38c為等腰三角形，所以c="2,所以

,△ABC=—acsinB=—x2x2x也=5

222

（3）如圖示,

要使符合題意的V/8C有且只有兩個(gè)，只需以C為圓心，以〃為半徑作弧與射線（不含

/）有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).

過(guò)C作C〃_L/8于。則CD=ACsinA

n=<44.CD<a<bb~2<6<4

只需滿足a，即Hn一<2<b,解得：

2

所以6的取值范圍為（2,4>

答案第121頁(yè)，共22頁(yè)

20.(l)^=3sin-/+10(0</<24)

6

(2)16小時(shí).

【分析】（1）根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)可以求出46，由兩個(gè)最高點(diǎn)的之間的距離可以

求出",從而可求函數(shù)的表達(dá)式：

（2）在當(dāng)0W24的前提下，解不等式^211.5即可.

【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，\A+b=U,

[-4+6=7

.?.4=3,b=10,7=15-3=12，

2兀兀

/.CD=---=一,

T6

函數(shù)的表達(dá)式為y=35由e/+10（04，（24）；

（2）由題意，水深yN4.5+7，

即3sin二f+10211.5（04fV24），

6

.兀1、

sin—tN一,

62

'兀兀5疝3心「,1%=0i

—te2k,2w—k+—，，1，

6L66J

答案第131頁(yè)，共22頁(yè)

所以，該船在］：00至5:00或13:00至77:00能安全進(jìn)港，

若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí).

21.⑴旦(0,2)，與(2,5)，名(5,2)

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

(3)不存在，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由正交點(diǎn)列的定義可知q(0,2)，與(5,2)，設(shè)約(x,y)，由正交點(diǎn)列的定義

可知瓦?麗=0,初?瓦瓦=0,即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)點(diǎn)列B,，B、，紇是點(diǎn)列4，4，4，4,的正交點(diǎn)列，則可設(shè)

麗=4(-1,3),婀=4(1,3),礴=4(-1,3)，4，4，4eZ，因?yàn)?與4，4與&

相同，即可得到結(jié)論；

(3)Vn>5,/?eN?都存在整點(diǎn)列4(”)無(wú)正交點(diǎn)列.設(shè)彳彳二=(a,。),其中q，〃是一對(duì)

1=123…拉一1?-i?-1

，“’￡5)壬，

互質(zhì)整數(shù)，，則有正T,分類討論，即可得出結(jié)論.

〃一1〃一1

￡(4。,)=力

./=!/=!

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)列4(0,2)，4(3,0)，4(5,2)的正交點(diǎn)列是用，B］，紜，

由正交點(diǎn)列的定義可知4(0,2)，員(5,2)，

設(shè)層(x,y)，石=(3,—2),不;=(2,2),瓦瓦=(xj-2),瓦瓦=(5-x,2-y)，

由正交點(diǎn)列的定義可知4石.瓦瓦=0,同4.瓦瓦=0，

答案第141頁(yè)，共22頁(yè)

即儼-2(y-2)=0,解得卜=2