材料力學(xué)附錄：截面的幾何性質(zhì)

利用微分、積分關(guān)系直接作

剪力、彎矩圖

無(wú)載荷作用段，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；

均布力作用段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線；均布力向下，剪力圖為斜向下的直線，彎矩圖為凹面向上的拋物線；均布力向上，剪力圖為斜向上的直線，彎矩圖為凹面向下的拋物線。（盾對(duì)著矛）

集中力作用處，剪力圖有突變，彎矩圖有折角；剪力突變的方向和數(shù)值與集中力作用方向和數(shù)值一致。

集中力偶作用處，彎矩圖有突變，剪力圖無(wú)變化；逆時(shí)針力偶令彎矩圖向上跳，順時(shí)針力偶令彎矩圖向下跳，彎矩突變的數(shù)值等于外力偶矩的大小。微分關(guān)系定性積分關(guān)系定量輔以突變規(guī)律截面幾何性質(zhì)

GeometricalPropertiesoftheCrossSectionofaBar附錄截面幾何性質(zhì)：與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。截面幾何性質(zhì)拉伸：扭轉(zhuǎn)：本次課主要內(nèi)容靜矩和形心慣性矩和慣性半徑慣性積平行移軸公式轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸yzoyzoAzyC1.靜矩(一次矩)2.形心

§I.1靜矩和形心結(jié)論：1、Sz=0

z軸是形心軸2、對(duì)稱軸必定是形心軸Cyzzoyz-y3.組合截面的靜矩和形心yzzoyA1A2…An靜矩(yi,zi)

試求圖示曲線下的面積OAB對(duì)于y軸的靜矩Sy和形心位置xcxyAobhBxdxdACxc解：【例題1】面積形心Cxcbh三角形Cxcbh矩形Cxcbh二次拋物線Cxcbh三次拋物線Cxcbh二次拋物線bxc2C2xchCC1xc1負(fù)面積法xyo1.慣性矩（二次軸矩）慣性矩恒為正值2.慣性半徑

§I.2慣性矩和慣性半徑y(tǒng)zzoyAyzzoy

截面對(duì)任意一對(duì)互相垂直的軸的慣性矩之和，等于它對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。3.極慣性矩（二次極矩）

試計(jì)算圖示矩形對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。Cyzbhzdz解：【例題2】【例題3】試計(jì)算圖示圓形對(duì)其形心軸的慣性矩和極慣性矩。解：yzDC

d4.組合截面的慣性矩和極慣性矩yzzoyA1A2…AnyzDdC【例題4】試計(jì)算圖示圓環(huán)對(duì)其形心軸的慣性矩和極慣性矩。慣性積可正、可負(fù)、可為零

§I.3慣性積yzzoyA

坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一個(gè)是截面的對(duì)稱軸，則截面對(duì)該坐標(biāo)系的慣性積等于零。yzzoyz-y已知：求：(a和b是截面的形心在oyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo))

§I.４平行移軸公式Cyzoabyczc其中：Iy~IycCyzozzcayycbyczc在一組平行坐標(biāo)軸中，截面對(duì)形心軸的慣性矩為最小。平行移軸公式：Cyzozzcayycbyczc已知：解：Cyczcbhy求：【例題5】解：1、確定整個(gè)截面的形心位置8cm12cm1cm1cmzyo【例題6】

求圖示截面對(duì)與y和z平行形心軸的慣性矩和慣性積。8cm12cm1cm1cmzyocc1c2（yc，

zc）計(jì)算形心坐標(biāo)：8cm12cm1cm1cmzyozcyccc1c2zcyca1a2b1b2a1

=-1.47b1

=2.03a2

=2.53b2

=-3.47計(jì)算形心坐標(biāo)系中各部分形心坐標(biāo)：2、計(jì)算對(duì)形心軸慣性矩和慣性積8cm12cm1cm1cmzyozcyccc1c2a1a2b1b2a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.478cm12cm1cm1cmzyozcycc已知：求：yzozz1yy1y1z1

§I.5轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸1.定點(diǎn)轉(zhuǎn)軸公式Iy1~Iy,Iz,Iyzyzozz1yy1y1z1轉(zhuǎn)軸公式y(tǒng)zozz1yy1y1z1定義：若截面對(duì)某對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則這對(duì)坐標(biāo)軸稱為主慣性軸，簡(jiǎn)稱為主軸。即：若，則y0,z0是主軸。令：得：可確定一對(duì)主軸y0,z0的方位2.主慣性軸（主軸）yzozz1yy1y1z1令：得：可見(jiàn)，使慣性矩取極值的軸即為主軸。討論：主軸方向的慣性矩3.主慣性矩定義：截面對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性矩。由：得：將上式代入得主慣性矩的計(jì)算公式：顯然：主慣性矩的計(jì)算公式：yzozz1yy1y1z1定義：

(1)通過(guò)形心的主軸稱為主形心軸。

(2)對(duì)主形心軸的慣性矩稱為主形心慣性矩。

(3)由主形心軸和桿件軸線所確定的平面稱為主形心慣性平面。顯然：對(duì)稱軸必定是主形心軸。4.主形心軸和主形心慣性矩證明：設(shè)通過(guò)截面O

點(diǎn)的y、z

軸為主軸，u、v

為另一對(duì)主軸，其中

o不是/2的整數(shù)倍，由轉(zhuǎn)軸公式：而：從而：yzoz1y1vu【例題5】試證明下列定理：如果通過(guò)截面的任一指定點(diǎn)有多于一對(duì)的主軸，那么通過(guò)該點(diǎn)的所有軸都是主軸。故過(guò)Ｏ點(diǎn)的任何一對(duì)正交軸都是主軸，定理得證。若通過(guò)截面某點(diǎn)有三根（或三根以上）的對(duì)稱軸，則通過(guò)該點(diǎn)的所有軸都是主軸。正多邊形有無(wú)數(shù)對(duì)主形心軸。cccccyzoz1y1vu推論：解：1、建立參考坐標(biāo)系，確定整個(gè)截面的形心位置8cm12cm1cm1cmzyo【例題6】

求圖示截面的主形心慣性矩。8cm12cm1cm1cmzyocc1c2（yc，

zc）計(jì)算形心坐標(biāo)：8cm12cm1cm1cmzyozcyccc1c2zcyca1a2b1b2a1

=-1.47b1

=2.03a2

=2.53b2

=-3.47建立形心坐標(biāo)系，計(jì)算形心坐標(biāo)系中各部分形心坐標(biāo)：2、計(jì)算對(duì)形心軸慣性矩和慣性積8cm12cm1cm1cmzyozcyccc1c2a1a2b1b2a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.478cm12cm1cm1cmzyozcycc3、計(jì)算主形心軸和主形心慣性矩8cm12cm1cm1cmzozcyccIyc=279cm4Izc=100cm4Iyczc=-97cm4yozoyzyozcyccyozoIyc=279cm4Izc=100cm4Iyczc=-97cm41、建立參考坐標(biāo)系，確定整個(gè)截面的形心位置yc和zc2、計(jì)算形心軸慣性矩和慣性積Iyc、Izc、Iyczc

(用平行軸公式)3、計(jì)算主形心軸的方位角

0和主形心慣矩Iy0

、Iz0

（用轉(zhuǎn)軸公式）小結(jié)

求主形心慣矩步驟zoIyc=279cm4Izc=100cm4Iyczc=-97cm4cy0z0yz