備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題3.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

題型一判斷函數(shù)單調(diào)性

題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題型三函數(shù)的最值問(wèn)題

題型四怛成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題

題型五利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

題型六利用單調(diào)性解不等式

才典例集練

題型一判斷函數(shù)單調(diào)性

例1.（2022秋?云南紅河?高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)尤）=J尤-右的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.［0,1］B.f-［?，1-C.D.0,1

例2.（2023?浙江?高二專題練習(xí)）下列函數(shù)在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增的是（）

y=—^—

A.y=(x-2)2B.

x-2

C.y=sin(x—2)D.y=cos(;v—2)

舉一

練習(xí)1.（2023春.福建福州.高三校考期中）（多選）函數(shù)〃尤）是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)，〃力在［-2,0］上的圖象

如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間是（）

A.[-2,2]B.[—2,—1]C.[0,1]D.[L2]

練習(xí)2.（2022?高三單元測(cè)試）（多選）下列函數(shù)中，在（-8,0）上為增函數(shù)的是（)

B.產(chǎn)囚Xx

A.v=1^1+1c股一面D.y=x+而

X

練習(xí)3.（2023?四川?高三統(tǒng)考對(duì)口高考）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是（）

A.y=2~xB.y=lnxC.y=sin2xD.y=x3

練習(xí)4.（2020秋?福建泉州?高一晉江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中,在區(qū)間（0,+e）上為增函數(shù)的是（）

A./（x）=3-xB.〃x）=（尤_吁

C./（x）=-D./（x）=x2+2x

練習(xí)5.（2022秋?浙江溫州?高三校考期中）函數(shù)“x）=|x-3|單調(diào)減區(qū)間是.

題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3.已知函數(shù)〃x）=M（x—2）

⑴作出函數(shù)的圖象；

（2）寫(xiě)出函數(shù)/（力的單調(diào)區(qū)間；

⑶當(dāng)天目0』時(shí)，求〃力的值域.

例4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=|2x+l|的單調(diào)減區(qū)間是.

舉一反三

練習(xí)6.（2022秋?廣西桂林?高三?？计谥校┖瘮?shù)y=|2x-l|的單調(diào)增區(qū)間是.

練習(xí)7.（2022秋?江蘇常州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=|x-2|（x+l）的單調(diào)增區(qū)間是.

練習(xí)8.（2023秋?上海浦東新?高三?？计谀┖瘮?shù)y=x+4（x>0）的增區(qū)間為.

X

練習(xí)9.（2023秋?吉林?高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┖瘮?shù)y=logo,5（-f+4x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[2,4）B.[2,+oo）

C.（0,2]D.（-oo,2]

1

練習(xí)10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=的單調(diào)遞增區(qū)間是

J尤2+4x-5

題型三函數(shù)的最值問(wèn)題

例5.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2|x-2|+ax（xeR）有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

例6.（2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y='五4的最大值為_(kāi)____.

X2+5

舉一反三

練習(xí)11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=V-4%+3在區(qū)間[-1,向上有最小值-1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

練習(xí)12.（2022春?浙江嘉興?高二?？计谥校┖瘮?shù)>=-爐-4x+a-3的最大值為負(fù)值，則a的取值范圍為（

A.—1vav0B.a<c—1C.a<—1或—IvavOD.〃>4

練習(xí)13.（2022秋?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)锳,若對(duì)任意xeA,存在正數(shù)跖使得

成立，則稱函數(shù)/（x）是定義在A上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（）

A.=B-/（X）=A?4-X2

4—九

C.f（x\=-z—-------D.f（x}-x+y（4-x

'）2X2-4X+3''

練習(xí)14.（2022春?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？计谀┰O(shè)函數(shù)/（同=牛?的最大值為M,最小值為加，則M+m=

（）

A.0B.1C.2D.4

練習(xí)15.（2022秋?青海?高三青海師大附中?？茧A段練習(xí)）若〃尤）=尤+1在上,優(yōu)]上的最大值為?，則實(shí)數(shù)機(jī)的

x\_5J3

最大值為.

題型四恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題

例7.（2023春?湖南?高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)〃尤）=入/-2x+3r,若Vxe（0,l）,f（x）＞0恒成

立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

例8.（2023秋?上海徐匯?高三上海市西南位育中學(xué)校考期末）已知函數(shù)〃x）=lg（x2+i）,g（x）=[￡|-m,若對(duì)于

任意外e[0,3],存在使得〃尤i）Vg（xJ,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（-oo,--B.|C.[，+0°]D.1

—,+00

（2I424

舉一m

練習(xí)16.（2021秋?天津?qū)幒?高三天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）*eR,使得不等式2尤2一》+1工機(jī)成立,

則%的范圍是.

練習(xí)17.（2022秋?遼寧?高三遼陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃到=工+：8（月=2，+4,若初€1,1

川目2,3],使得/（玉）Vg&）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.g'+sjB.9

—,+00

2

C.[-3,+8）D.[1,+00）

練習(xí)18.(2022秋.山西朔州.高二?？计谀?已知/(%)=ln(x2+i),g(x)=|1|-m,若540,3],3X2G[1,2],

使得了（%"g（X2）,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

1

A.-.4-00B.

,4

C.D.

練習(xí)19.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式log〃W+8）22在R上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（0,1）0（1,2]B.（1,3]C.（0,1）1（1,3]D.（1,4]

練習(xí)20.（2023秋?云南西雙版納?高三統(tǒng)考期末）已知爐+（2-。）龍+4-2。＞0,對(duì)VxW[2,+?D）恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍_______.

題型五利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例9.（2023秋?四川達(dá)州?高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)/（尤）=2尤2+的一1在區(qū)間（-!,+?＞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是

例10.（2023春?云南玉溪?高三云南省重點(diǎn)學(xué)校考階段練習(xí)）已知〃力=爐+2◎-助，其中a,b為實(shí)數(shù).

h

⑴若不等式/（x）＜0的解集是[-2,6],求a的值；

⑵若函數(shù)y=，（2]在區(qū)間（-*1]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

第二反三

練習(xí)21.（2023秋?廣東廣州?高三統(tǒng)考期末）函數(shù)一日一8在［5,20］上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為

3

練習(xí)22.（2022秋?四川宜賓?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=x+—在（0J）上為減函數(shù)，則f的取值范圍是（）

X

A.（0,@B.（0,V3］C.（6,+8）D.［3+對(duì)

練習(xí)23.（2019秋?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)〃%）=3彳2-（64-2）%+1在［-1,"）上單調(diào)遞增，則。的最大值

為.

練習(xí)24.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知/（2"=卜-"，若函數(shù)在區(qū)間（f,2］上為減函數(shù)，則。的取值范圍

是（）

A.a>lB.a>l

C.a>2D.a>2

練習(xí)25.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）使得“函數(shù)〃x）=3,飛-在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件可

以是（）

4

A.t>2B.t<2C.t>3D.-<t<3

3

題型六利用單調(diào)性解不等式

例11.（2023?河南?校聯(lián)考三模）已知函數(shù)〃”=尤5+北若〃2x-l）+/（2r）>0.則x的取值范圍是.

例12.（2022?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)”x）=（x-3）3+2x-6,且

/（2o-Z?）+/（6-Z?）>0（a,/?eR），則（）

A.sintz>sinbB.ea>ebC.->-D.a2022>b2022

ab

第二及三

練習(xí)26.（2020秋?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=e'-0，則不等式〃1-x）+〃l）＞0的解集是（）

A.（^?,2）B.（2,+oo）C.（-2,0）D.（0,2）

練習(xí)27.（2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù)，則不等式/'（2-尤）＞“彳-2）的

解集為（）

A.（r°,2）B.（-00,-2）C.（2,+00）D.（-2,+oo）

練習(xí)28.（2022秋?高三課時(shí)練習(xí)）已知＞=/（%）是定義在[-M]上的減函數(shù)，則不等式〃lr）＜/（2x-l）的解集為

練習(xí)29.（2022秋?江西吉安?高三永新中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)〃x）滿足對(duì)任意占%?（）,心）,當(dāng)國(guó)時(shí)，

〃為）-嘉＞〃％）-后恒成立，若7（4）=4,則不等式〃2力＜岳+2的解集為（）

A.[0,2）B.[0,4）C.（2,+oo）D.（4,-K?）

練習(xí)30.（2023春?廣東東莞?高三東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若3r-＜log3X-log3，，貝h）

A.x＜yB.e~＞l

C.ln（x-j+l）＞0D.

專題3.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

題型一判斷函數(shù)單調(diào)性

題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題型三函數(shù)的最值問(wèn)題

題型四怛成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題

題型五利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

題型六利用單調(diào)性解不等式

才典例集練

題型一判斷函數(shù)單調(diào)性

例1.（2022秋?云南紅河?高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)〃x）=4-f的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.［0,1］B.1-00,；C.3，+°°）D.0,1

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則：“同增異減”即可求解.

【詳解】^t=x-x2>0,解得=的定義域?yàn)椋?內(nèi)

r=——+x在，［上遞增，在上遞減，函數(shù)y=?在［0,+“）上為增函數(shù)

函數(shù)八無(wú)）=4-尤2的單調(diào)增區(qū)間為O.}

故選：D

例2.（2023?浙江?高二專題練習(xí)）下列函數(shù)在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=（x-2）2B.y=~^—

%—2

C.y=sin（%-2）D.y=cos（x-2）

【答案】D

【分析】對(duì)于BCD,根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)觀察均是/（x）向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度的形式，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以判斷平

移后的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷（。⑵上的單調(diào)性得到結(jié)論，而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：>=（彳-2）2開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=2,所以在（一*2）上單調(diào)遞減，故不符合題意.

對(duì)于B選項(xiàng)：y=一二是>向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以在在（一*2）上單調(diào)遞減，故不符合題意.

x-2x

對(duì)于C選項(xiàng)：，=5由（尤-2）是丁=5111%向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，

所以y=sin（x—2）在（-普+2,-］+2）上單調(diào)遞減，在（一］+2,^+2）上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?lt;-1JT+2<2,所以不符合題意.

對(duì)于D選項(xiàng)：、=8$（%-2）是丁=0?%向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，

所以丁=85（X-2）在（-兀+2,2）上單調(diào)遞增，則在（0,2）上單調(diào)遞增，符合題意.

故選D.

舉一

練習(xí)1.（2023春?福建福州?高三?？计谥校ǘ噙x）函數(shù)“尤）是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)，〃x）在［-2,0］上的圖象

如圖所示，則函數(shù)〃x）的增區(qū)間是（）

A.［-2,2］B.［-2,-1］C.［0,1］D.［1,2］

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到了。）的單調(diào)增區(qū)間即可.

【詳解】由圖象，可知/（尤）在卜2,-1］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)Ax）的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，

所以“X）在［0』上單調(diào)遞增，在口，2］上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)外力的增區(qū)間是和［0』.

故選：BC.

練習(xí)2.（2022?高三單元測(cè)試）（多選）下列函數(shù)中，在（-8,。）上為增函數(shù)的是（）

A.y=l無(wú)1+1B.y=—C.y=D.y=x+-^-

x|x|

【答案】CD

【分析】在A中，y=-x+l,即可得到單調(diào)性；在B中，y=-l,即可得到單調(diào)性；在C中，N=x,即可得到單

調(diào)性；在D中，y=x-l,即可得到單調(diào)性.

【詳解】在A中，當(dāng)x<0時(shí)，y=|x|+l=—x+l在（-8,。）上為減函數(shù);

在B中，當(dāng)x<0時(shí)，y=W=-l在（-8,0）上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù);

X

在C中，當(dāng)x<0時(shí),丫=-1=彳在（-8,0）上是增函數(shù);

%

在D中，當(dāng)x<0時(shí)，>=苫+閃=尤-1在（-8,0）上是增函數(shù).

故選：CD

練習(xí)3.（2023?四川?高三統(tǒng)考對(duì)口高考）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是（）

A.y=2xB,y=\nxC,y=sin2xD.y=x3

【答案】A

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】函數(shù)》=2一，在定義域R上單調(diào)遞減，故A符合;

函數(shù)y=lnx在定義域（0,+8）上單調(diào)增，故B不符合；

函數(shù)y=sin2》在定義域R上不是單調(diào)函數(shù)，故C不符合；

函數(shù)y=Y在定義域R上單調(diào)遞增，故D不符合.

故選：A.

練習(xí)4.（2020秋?福建泉州?高一晉江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中,在區(qū)間（0,+e）上為增函數(shù)的是（）

A./（x）=3-xB.〃彳）=（尤_1）~

C.f[x）=—D./（x）=x2+2x

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比練習(xí)函數(shù)的性質(zhì)判斷每個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)在（0,+8）上的單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】對(duì)A,一次函數(shù)〃尤）=3-尤在（0,+8）上為減函數(shù)，A錯(cuò)誤;

對(duì)B,二次函數(shù)〃x）=（x-l）2在（0,1）上為減函數(shù)，

在（1,內(nèi)）上為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)C,反比練習(xí)函數(shù)/（x）=：在（0,+8）上為減函數(shù)，C錯(cuò)誤；

對(duì)D,二次函數(shù)〃x）=/+2x在（0,+“）上為增函數(shù)，D正確.

故選：D.

練習(xí)5.（2022秋?浙江溫州?高三?？计谥校┖瘮?shù)〃"=卜-3|單調(diào)減區(qū)間是.

【答案】（田,3]

【分析】畫(huà)出函數(shù)/（"=卜-3|的圖像，從圖像上即可得結(jié)論.

,/、?Ifx-3,x>3

【詳解】由〃XH7=3丫…，

IJ—A,A<LJ

由圖可知函數(shù)/（x）=|x-3|單調(diào)減區(qū)間是：

故答案為:（-叫3].

題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3.已知函數(shù)〃制=國(guó)（尤-2）

⑴作出函數(shù)的圖象；

⑵寫(xiě)出函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑶當(dāng)天目0』時(shí)，求〃力的值域.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵單調(diào)增區(qū)間為,0）,[La），單調(diào)減區(qū)間為[0,1）

⑶[T，。]

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象作圖即可;

（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間即可；

(3)根據(jù)函數(shù)在xw[O,l]上的單調(diào)性，即可得出答案.

x?-2x,尤20

【詳解】(1)解：玳尤-2)=

—X2+2x,尤<0

(2)解：由圖可得：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

單調(diào)減區(qū)間為[0,1);

(3)解：因?yàn)楹瘮?shù)在無(wú)?0』上遞減,

所以“X)1Mx=f(O)=O,/(x)mn=/(1)=-1,

所以〃尤)的值域?yàn)閇TO].

例4.(2023?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=|2x+l|的單調(diào)減區(qū)間是

【答案】

-2x-1,%V-~

【分析】根據(jù)條件將函數(shù)化為y=,然后根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

2x+1,x>—-

，

-2Cx-1,,x?一~1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=|2x+i|可化為了=<

2x+1,x>—

2

當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=-2尤-1單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=2x+l單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=|2x+l|的單調(diào)遞減區(qū)間為

故答案為：(-co,-^-].

舉一

練習(xí)6.（2022秋?廣西桂林?高三校考期中）函數(shù)y=|2x-［的單調(diào)增區(qū)間是.

【答案】—,+c0

【分析】由函數(shù)解析式作出圖像，結(jié)合圖像判斷單調(diào)區(qū)間.

【詳解】函數(shù)y=|2x-l|的圖像如下:

練習(xí)7.（2022秋?江蘇常州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)/（無(wú)）=1%-2|（無(wú)+1）的單調(diào)增區(qū)間是.

【答案】和［2,+向

【分析】先分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后利用二次函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸判斷單調(diào)遞增區(qū)間即可.

【詳解】當(dāng)M2時(shí)，/（x）=（x—2）（彳+1）=/一x-2,此時(shí)〃x）開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為尤=；,因?yàn)橛?2,所以在［2,”）

上單調(diào)遞增；當(dāng)x<2時(shí)，/（X）=（2-X）（X+1）--X2+X+2,此時(shí)〃尤）開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=g,因?yàn)閤<2,所

以在（-巴；單調(diào)遞增；

故答案為：和［2,+oo）

練習(xí)8.（2023秋?上海浦東新?高三?？计谀┖瘮?shù)y=x+?無(wú)>0）的增區(qū)間為.

【答案】［1,+8）

【分析】利用定義法進(jìn)行判斷即可得解.

【詳解】任取九2>。，

11/、再一次2/11、

為一M=工2-------X1---=（工2-X）--------------（%2-11）（1），

%玉%%2XlX2

因?yàn)榫?>%>0，%2一石>0，

當(dāng)羽>西21時(shí)，」一<1,1-——>0,

XxX2XxX2

此時(shí)%-%>°，%>%，y=x+?x>o）為增函數(shù)，

所以函數(shù)y=x+的增區(qū)間為［l,+oo）.

故答案為：［1,+8）

練習(xí)9.（2023秋?吉林?高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谀┖瘮?shù)丁=1臉5（*+旬的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.[2,4)B.[2,+oo)

C.（0,2］D.（-oo,2］

【答案】A

【分析】討論二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】令-爐+4元>0解得0<x<4,

2

即函數(shù)y=log05（-x+4x）的定義域?yàn)椋?,4）,

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-d+4x在（0,2）單調(diào)遞增，［2,4）單調(diào)遞減,

2

所以y=log05（-x+4x）在（0,2）單調(diào)遞減，［2,4）單調(diào)遞增,

故選:A.

練習(xí)10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)42+；_5的單調(diào)遞增區(qū)間是

【答案】（f,-5）

【分析】先求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)，根據(jù)二次函數(shù)、累函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出該函數(shù)的增區(qū)間.

【詳解】由f+4x-5>0得％<—5或x〉l,

?,?函數(shù)V=6+［§的定義域?yàn)椋ㄒ弧薄?）+"）.

?.?函數(shù)y=V+4x-5在（―,-5）上單調(diào)遞減，在（1,口）上單調(diào)遞增,

又..?函數(shù)>=《在其定義域（0,+8）上單調(diào)遞減，

.??函數(shù)、=赤上=在（f,-5）上單調(diào)遞增，在。,+⑹上單調(diào)遞減.

故答案為：（-8,-5）.

題型三函數(shù)的最值問(wèn)題

例5.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2|x-2|+依（xeR）有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［一2,2］

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，去絕對(duì)值后，根據(jù)函數(shù)有最小值得出函數(shù)的變化趨勢(shì)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】解：由題意,

在%）=2|%—2］+辦（尤wR）中，

"qJ（a+2）x-4,xZ2

八尸［（"2）x+4,x<2

,??函數(shù)有最小值，

...函數(shù)應(yīng)在（—,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增或常函數(shù),

有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-2,2］.

故答案為：［-2,2］.

例6.（2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=的最大值為.

x2+5

2

【答案】1/0.4

_&+4_11

【分析】依題意可得3=不丁二戶111一,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出席著+衣工的取值范圍，即可

【詳解】因?yàn)?f+5-尤2+4+]-&-31]，

&+4

令1=&+4，貝股22，

令g(x)=x+Lxe[2,+oo),因?yàn)楹瘮?shù)8(月=%+1在[2,+(?)上單調(diào)遞增，所以g(x)wp+co

XX_N

5

即Jx2+4H—/-G—,+co

+42

即函數(shù)y=lA/X2+士4.的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)X=0時(shí)取等號(hào).

X2+55

2

故答案為：—

料-反㈢

練習(xí)11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f-4x+3在區(qū)間［T間上有最小值-1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】［2,+8）

【分析】配方后得到x=2時(shí)，）=9-4%+3取至1］最小值-1,從而〃后2.

22

【詳解】^=X-4X+3=（X-2）-1,要想取到最小值-1,則2W一1,間，

所以機(jī)22.

故答案為：[2,+8）.

練習(xí)12.（2022春?浙江嘉興?高二校考期中）函數(shù)y=-Y-4x+a-3的最大值為負(fù)值，則a的取值范圍為（）

A.—l<a<0B.a<—1C.a<—1—l<a<0D.a>4

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】：y=-x2-4x+a-3的二次項(xiàng)系數(shù)為一1<0,

函數(shù)圖象開(kāi)口向下，

:函數(shù)y=-/-4x+”3的最大值為負(fù)值，

A=16+4（a—3）<0,

CLV—1.

故選：B.

練習(xí)13.（2022秋?高一課時(shí)練習(xí)M多選）已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)锳,若對(duì)任意xeA,存在正數(shù)使得

成立，則稱函數(shù)/（x）是定義在A上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（）

A.=B./（元）=j4-f

4-x

C.f（x\=-z--------D./（X）=x+-4-x

''2尤2_4X+3V'

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意計(jì)算每個(gè)函數(shù)的值域，再分析是否有界即可.

【詳解】對(duì)于A,7（X）=2±￡J（4一X）+7=T+工,由于rLwo,所以

\）4-x4-x4-x4-x'7

所以|〃x）閆0,+8）,故不存在正數(shù)跖使得|〃x）歸”成立.

對(duì)于B,令"=4-Y,則"20,/（〃）=4,當(dāng)x=0時(shí)，M取得最大值4,所以〃e[0,4],所以〃x）e[0,2],故存

在正數(shù)2,使得V（x）歸2成立.

對(duì)于C,令a=2x2_4x+3=2（x—l）2+l,則/,）=*,易得所以0</（尤）V；=5,即〃x）e（0,5],故存在

U1

正數(shù)5使得b（X）歸5成立.

對(duì)于D,令/=耳工，則720,尤=4一〃，則/。）=一產(chǎn)+/+4=一^一31+J2（z>0）,易得所以

|/(x)|e[0,+?),故不存在正數(shù)M,使得|〃x)歸M成立.

故選：BC

練習(xí)14.(2022春?重慶沙坪壩?高二重慶八中校考期末)設(shè)函數(shù)尤)=上3的最大值為最小值為四，則

()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合分離常數(shù)法，可得答案.

4

【詳解】由函數(shù)/(》)=一[敘+4=]_^^,顯然/'(0)=1,當(dāng)x/0,"""I一:14，

x+4x+4"

x

4

當(dāng)尤>0時(shí)，x+->4,當(dāng)且僅當(dāng)x=W,即x=2時(shí)，等號(hào)成立，則°<『<1,故l>〃x)2〃2)=0；

Xxx+—

X

4

當(dāng)無(wú)<0時(shí)，x+-<-4,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,即x=—2時(shí)，等號(hào)成立，則0>『'T故]</(x)V/(_2)=2；

Xxx±—

X

綜上可得，M=2,m=0,則M+m=2.

故選：C.

練習(xí)15.(2022秋?青海?高三青海師大附中?？茧A段練習(xí))若〃尤)=尤+!在]〃力上的最大值為:，則實(shí)數(shù)加的

最大值為.

【答案】3

【分析】解方程小)=5可得出《//⑶*，分卜屋1、/>1兩種情況討論，結(jié)合小心=與可求得

實(shí)數(shù)”7的取值范圍，即可得解.

【詳解】由f(x)=x+_=￥可得3尤2—10》+3=0,解得X或尤=3,

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=x+：在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，

當(dāng);<加41時(shí)，函數(shù)/(x)在/,"j上單調(diào)遞減，此時(shí)“X)1mx=/])=；；

當(dāng)加>1時(shí)，函數(shù)〃力在上單調(diào)遞減，在(1,租)上單調(diào)遞增，

由題意可得/伽)4/(3)=/，此時(shí)，l<m<3.

綜上，1<m<3,因此，實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為3.

故答案為：3.

題型四恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題

例7.(2023春?湖南?高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)=f-x2-2x+3r,若Vxe(0,l),/⑺>0恒成

立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

【答案】g，+[

【分析】由Vxe(O,l),/(x)>0,分離參數(shù)可得/>丹；，再由函數(shù)單調(diào)性可求f的取值范圍.

x+3

【詳解】/(%)=八%2—2%+3乙Vxe(O,l),

2x2

t>2C=t

x2+3x>——T

,x3+,—

X

*.*x在(0,1)上遞減，x+—e(4,+co),

1

?o?/2一.

2

故答案為：I■，+

例8.(2023秋?上海徐匯?高三上海市西南位育中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)〃尤)=lg(尤2+1).*=[￡|

m,若對(duì)于

任意為e[0,3],存在使得“xJVgG),則實(shí)數(shù)用的取值范圍為()

B.1°°，一；C.g，+°°]D,；，+[

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出〃x)、g(x)的值域，依題意可得1mx,即可得到不等

式，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)閤e[0,3],所以d+l目1,10],所以lg(Y+l)?0』，即〃x)qO,l],

門丫F11~|11

由xw[l,2],則-me———m,即g(%)￡，

因?yàn)閷?duì)于任意石＜0,3],存在入2d1，2],使得/(%)，(9),

11(1

所以〃不)而Vg(%)1mx，則5-"721,解得機(jī)4-萬(wàn)，即〃ze[-co,-/

故選：A

舉一反三

練習(xí)16.(2021秋?天津?qū)幒?高三天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校考階段練習(xí))3reR,使得不等式一尤+1V機(jī)成立,

則m的范圍是.

【答案】

【分析】HreR,使得不等式_%+14根O機(jī)2(2無(wú)？一天+，其中x《R,即可得答案.

【詳解】HxeR,使得不等式2/-X+14m=根2(2/-x+1),其中xeR.

X/min

又2/-x+l=21x-工]+->-,當(dāng)且僅當(dāng)x=J時(shí)取等號(hào)，即m2：.

14)8848

故答案為：,+a]

練習(xí)17.(2022秋?遼寧?高三遼陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)已知函數(shù)〃同=彳+4，8(》)=2，+.,若叫€1,1,

叫42,3],使得"%)點(diǎn)(%),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.g+jB.[|,+]

C.[-3,+<%>)D.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到〃x)而”g(x)1rax,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到/(x)-=5,g(x)1rax=8+a,得到不等式，求出實(shí)

數(shù)。的取值范圍是[-3,+8).

【詳解】若玉Y,上2n2,3],使得〃%)"(馬),

故只需〃工需<8()2

其中〃”=尤+4在上單調(diào)遞減，故〃x"n=/⑴=1+4=5,

g(x)=2'+“在xe[2,3]上單調(diào)遞增，故g(x)a=g(3)=8+a,

所以5K8+a,解得：tz>-3,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-3,+。).

故選：C

練習(xí)18.(2022秋.山西朔州.高二?？计谀?已知〃尤)=In1+1),g(x)=(￡|~m,若％e[0,3],切耳1,2],

使得〃xj2g(x2),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.-7，+°oJB.I-00,—

L4)I4」

C.D.

【答案】A

【分析】由題意可知/（力疝/8（尤）血，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得這兩個(gè)函數(shù)的最小值，列出不等式可解得答案.

【詳解】由題意氣目0,3],切且1,2],使得“不）幺㈤，則需滿足“X）1ntozg（x）1Al,

〃尤）=In（f+1）在[0,3]上單調(diào)遞增，故”可描=八0）=0,

g（x）=g]-機(jī)在[1,2]上單調(diào)遞減，故=g（2）=；-m,

故02；一機(jī),.?./MN；,即根e；，+0°]，

故選：A

練習(xí)19.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式log“（3W+8）N2在R上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（0,1）_（1,2]B.（1,3]C.（0,l）U（l,3]D.（1,4]

【答案】B

【分析】先由對(duì)數(shù)函數(shù)定義得到。>0且再分。>1與0<〃<1兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最值，得到實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知，a>0且awl,

當(dāng)。>1時(shí)，）=蜒“x單調(diào)遞增，108“（3兇+8卜2=108/2,故3同+82/

因?yàn)?兇21,則泄+829，

所以92a2,解得_3VaV3,

｛a|-3WaV3｝與｛a|a>l｝求交集，得到｛a[l<a<3｝,

當(dāng)0<“<1時(shí)，產(chǎn)蜒'單調(diào)遞減，1嗚（3兇+8卜2=1嗎/，故3兇+8（片，

由于當(dāng)國(guó)-?-時(shí)，3M+8f+00，故此時(shí)無(wú)解，

綜上：實(shí)數(shù)。的取值范圍是3].

故選：B

練習(xí)20.（2023秋?云南西雙版納?高三統(tǒng)考期末）已知d+（2-a）x+4-2a>0,對(duì)Vx目2,+?））恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍_______.

【答案】（f,3）

【分析】分析可得原題意等價(jià)于/+：>。+2,對(duì)V/e[4,y）恒成立，根據(jù)恒成立問(wèn)題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.

【詳解】若爐+（2—。）龍+4—2々>0,則爐+2x+4>a（x+2）,

令，=%+2￡［4,笆），貝U尤二，一2,

/.9/4

可得（，-2）+2（/-2）+4>必，整理得—>a+2,

故原題意等價(jià)于t+->a+2,對(duì)Vfe［4,+功恒成立，

?；g⑺=/+；在［4,+⑹上單調(diào)遞增，則g⑺2g（4）=5,

，5>。+2,解得av3,

即實(shí)數(shù)，的取值范圍（—,3）.

故答案為：（口,3）.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：

對(duì)VxeM,f（x）>a,等價(jià)于［/⑴］1nl“之。；

對(duì)/（x）<?,等價(jià)于［/（%）］網(wǎng)Va.

題型五利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

例9.（2023秋?四川達(dá)州?高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)/（尤）=2尤2+的一1在區(qū)間（T,e）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是

【答案】巴依）

【分析】利用二次函數(shù)〃x）=2x2+"zx-l的單調(diào)性列出關(guān)于實(shí)數(shù)加的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】二次函數(shù)/。）=2/+g—1的圖像開(kāi)口向上，單調(diào)增區(qū)間為-不+8.

又函數(shù)/（X）=2/+如一1在區(qū)間（-L+OO）上是增函數(shù)，

則解之得加24,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是以+0O）

故答案為：巴+⑹

例10.（2023春?云南玉溪?高三云南省重點(diǎn)學(xué)校考階段練習(xí)）已知〃x）=f+2依-46,其中a,b為實(shí)數(shù).

⑴若不等式的解集是［-2,6］,求d的值；

⑵若函數(shù)y=莊1在區(qū)間（-*1］上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【答案】（1）。"=-8

⑵（-8,-1]

【分析】（1）利用韋達(dá)定理求出。、8可得答案;

（2）令g（x）=2，-?+2。,可知g（x）在（―』上為減函數(shù),法一：利用單調(diào)性定義可得6<-2為+3,再由網(wǎng)、%的

47?—4b

范圍可得答案；法二：（復(fù)合函數(shù)觀點(diǎn)）g（x）=2'-卞+2。，令〃=2',x41,y=M+——+2a,分處0、人<0討論

y=u+—+2a的單調(diào)性可得答案.

U

【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧荹-2,句，所以關(guān)于x的方程/+2依一仍=0的兩根分別為-2、6,所以

[-2+6——2d!o

C4，解得a=—2，6=3,因止匕4=（-2