中考數(shù)學二輪提升真題練習 幾何模型-一線三等角模型解析版

專題13幾何模型3—一線三等角模型

【模型介紹】

一線三等角：兩個三角形中相等的兩個角落在同一條直線上，另外兩條邊所構成的角與這兩

個角相等，這三個相等的角落在同一直線上，故稱“一線三等角”

如下圖所示，一線三等角包括一線三直角、一線三銳角、一線三鈍角

【解題關鍵】

構造相似或是全等三角形

【典型例題】

【題型一：一線三直角模型】

如圖，若/1、N2、N3都為直角，則有AACPs1?8PD.

【例1】如圖1所示，已知AABC中，/.ACB=90°,AC=BC,直線機經(jīng)過點C,過4、B

兩點分別作直線，"的垂線，垂足分別為￡F.

(1)如圖1,當直線，”在A、B兩點同側時，求證：EF=AE+BF；

(2)若直線機繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時(BF<AE),其余條件不變，猜想E尸與AE,

BF有什么數(shù)量關系？并證明你的猜想；

(3)若直線〃?繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(BF>4E)其余條件不變，問EF與4E,BF

的關系如何？直接寫出猜想結論，不需證明.

【答案】(1)見解析；

(2)EF=AE-BF9證明見解析；

(3)EF=BF-AEf證明見解析

【解析】

(1)證明：VAE1EF,BF工EF,乙ACB=90。,

：.ZAEC=ZBFC=ZACB=Wo,

ΛZEAC+ZECΛ=90o,ZFCB+ZECΛ=90o,

.?.NEAC=NFCB,

在AEAC和AFCB中，

?AEC=?CFB

?EAC=乙FCB,

.AC=BC

/.△EACFCB(AAS),

ΛCE=BF,AE=CF,

VFF=CF+CE,

：.EF=AE+BF；

(2)解：EF=AE-BF9理由如下：

-AELEF,BFLEF9?ACB=90°,

；?ZAEC=ZBFC=ZACB=90O,

ΛZEAC+ZECA=90o,ZFCB+ZECA=90o,

：.AEAC=AFCB,

ffi?Ei4Cffi?FCBψ,

ZAEC=乙CFB

?EAC=乙FCB,

.AC=BC

:心EACWAFCB(AAS),

???CE=BF,AE=CF,

VEF=CF-CEf

：.EF=AE-BF;

(3)解：EF=BF-AE,理由如下：

V?F1EF,BF1EF1?ACB=90°,

.?ZAEC=ZBFC=ZACB=WO,

???NEAC+NEe4=90。，/FCB+/ECA=90。,

："EAC=/FCB,

在△￡>!C和AFCB中,

?AEC=乙CFB

乙EAC=乙FCB,

.AC=BC

/.ΔEAC=Δ,FCB（AAS^

.?.CE=BFfAE=CF,

VEF≈CE-CF9

：.EF=BF-AE.

【練1】如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=-3%向上平移3個單位，與y軸、X軸分別

交于點A、B,以線段43為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形4BC.若反比例函數(shù)y=

￡（》＞。）的圖象經(jīng)過點C,則k的值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】解：過點。作CE,X軸于點E作C凡Ly軸于點F,如圖所示，

?

?YCELx軸，CFLy軸，

.,.ZECF=90°.

?.?ZVlBC為等腰直角三角形，

ZACF+ZFCB=ZFCB+/8CE=90°,AC=BC,

：./ACF=NBCE.

在AAC尸和ABCE中，

?AFC=?BEC=90o

乙ACF=乙BCE，

AC=BC

Λ?ACF^∕?BCE(AAS),

??SAACTr=SABCE,

?'?SW彩。ECF=S四邊彩OBCA=SAAOB+SAABC.

；將直線y=-3x向上平移3個單位可得出直線AB,

直線43的表達式為y=-3x+3,

，點A(0,3),點3(1,0),

-AB=JθA2+OB2=√10-

?'?ABC為等腰直角三角形，

-'-AC=BC=—AB=√5>

2

>'?Si∣.,ι≈OECF-S?λθβ+S?Λβc-∣×1×3÷∣×Vδ×V5=4.

?.?反比例函數(shù)y=：α>0)的圖象經(jīng)過點C,

.*.?=4,

故選C.

【練2】如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，?OBA=60°,若點A在反比例函數(shù)y=

;(x>0)的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)表達式為()

【答案】C

【解析】解：作4。IX軸于。，BCIx軸于C,如圖,

.^.0B=—OA.

3

?；點A在反比例函數(shù)y=>0）的圖象上，

.*.xy=OD?AD=3.

V?AOD+乙BoC=90o,Z.AOD÷?DAO=90°,

ΛLBOC=?DAOf

IRmBOCsRixOAD,

...*=（竺）2=L

SAfMO?OA∕3

,113

??SΔDΛO=iθD??D=i×3=|,

:、S>BOC—2,

即泗=4

Λ?k?=1.

Vfc<0,

:?k=-1,

.?.經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為y=-?.

故選：C.

【練3】如圖，已知，1口2口3,相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角AABC的三個

頂點分別在這三條平行直線上，則Sina的值是()

C

【答案】D

【解析】如圖，過點A作ADjJI于點。，過點8作BEU1于點8,設小%，G之間的距離

為1

VZCAD+ZΛCD=90o,ZBCE+ZACD=90o

.?.ZCAD=ZBCE

在等腰直角A48C中，AC=BC,ZADC=ZBEC=WO

：.?ACD^ΔCBE

.,.CD=BE=]

在Rt^ACD中

AC=y∕AD2+CD2=y∣22+I2=V5

在等腰直角中

AB=√2ΛC=√2×√5=√1O

..1-Λδ

.?sinα=-τ==—

√iδio

故選：D

【練4】如圖1,等腰RfAABC中，NABC=90。，CB=BA,直線Ez）經(jīng)過點8,過A作Ao

LED于。,過C作CELED于E則易證AAOBgZkBEC.這個模型我們稱之為“一線三垂直

它可以把傾斜的線段AB和直角ZABC轉(zhuǎn)化為橫平豎直的線段和直角，所以在平面直角坐標

系中被大量使用.

模型應用：

⑴如圖2,點A(0,4),點8(3,0),ZiABC是等腰直角三角形.

①若N48C=90。，且點C在第一象限，求點C的坐標；

②若A8為直角邊，求點C的坐標；

(2)如圖3,長方形MFNO,O為坐標原點，F(xiàn)的坐標為(8,6),M、N分別在坐標軸上，P

是線段NF上動點，設PN=〃，已知點G在第一象限,且是直線y=2χ-6上的一點,若AMPG

是以G為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點G的坐標.

【答案】(1)①(7,3)；②(7,3)、(4,7)、(-4,1)、(-1,-3)；

(2)(4,2)、(γ,y).

【解析】ft?：(1)①如圖，過C作CC垂直于X軸，

根據(jù)“一線三垂直”可得AAOB絲Z?8DC,.?.AO=8Z),OB=CD,

：點A(0,4),點8(3,0),.?A0=4,0B=3,

00=3+4=7,

.?.點C的坐標為(7,3)；

②如圖，若A3為直角邊，點C的位置可有4處，

。、若點C在①的位置處，則點C的坐標為(7,3)；

b、若點C在Cl的位置處，同理可得，則點G的坐標為(4,7)；

c、若點C在C?的位置處，則G、CI關于點A對稱，

：點A(0,4),點G(4,7),.?.點C2的坐標為(-4,1);

cK若點C在G的位置處，則C3、C關于點B對稱，

：點B(3,0),點C(7,3),，點C3的坐標為(-1,-3)；

綜上，點C的坐標為(7,3)、(4,7)、(41)、(-1,-3)；

(2)當點G位于直線產(chǎn)2Λ-6上時，分兩種情況：

①當點G在矩形例FNO的內(nèi)部時，如圖，過G作X軸的平行線AB,交y軸于A,交直線

NF于點、B,設G(x,2x-6)i

則OA=2x-6,AM=6-(2x-6)=?2-2x,BG=AB-AG=S-X-,

W∣J?Λ7AG^ΔGδ/5,得4Λ∕=8G,

即：12-2x=8-X,解得44,

.?.G(4,2)；

當點G在矩形MFM9的外部時，如圖，過G作X軸的平行線A8,交)，軸于4,交直線NF

的延長線于點B,設G(x,2x-6)；

則O4=2x-6,AM=(2x-6)-6=2x-12,BG=AB-AG=S-Xi

則AMAGdGBP,AM=BG,

即：2x-12=8-x,解得X=字

???G《，芻：

綜上，G點的坐標為(4,2)、(y,y).

【題型二：一線三銳角與一線三鈍角】

如圖，若/1、/2、/3都為銳角，則有AACPs^BPD.

證明：:NOPB=180°—/3-NC7?,NC=I80°—/1-NCfiA,而Nl=∕3

：.NC=NDPB,

VZ1=Z2,

，AACPSABPD

如圖，若/1、/2、N3都為鈍角，則有AACPs∕i8PD.（證明同銳角）

【例2】如圖，在等腰三角形ABC中，ZBAC=120o,AB=AC=2,點。是BC邊上的一個

動點（不與8、C重合），在AC上取一點E,使乙AOE=30。.

（1）設BO=X,AE=y,求y關于X的函數(shù)關系式并寫出自變量X的取值范圍；

（2）當aADE是等腰三角形時，求AE的長.

【答案】（1）y=∣x2—V3x+2（0<X<2√3）

（2）Af=4-2√3≡KAE=∣

【解析】解（D?.?∕?A8C是等腰三角形，且NBAC=I20。,

，ZABD=ZACB=30o,

：./ABO=NAoE=30。，

??ZADC=ZADE+ZEDC=ZABD+ZDAB,

"EDC=NDAB,

.".?AβD^?DCE;

?.?AB=AC=2,NAAC=I20。，

過4作AF_LBC于F,

??ZAFB=90o,

?.?A8=2,ZΛBF=30o,

：.AF=-AB=X

21

ΛBF=√3,

ΛBC=2BF=2√3,

則。C=2√5-x,EC=2—y

,.?XABDSl?DCE,

.AB_DC

99BD-CE9

?22√3-X

??一=----，

x2-y

化簡得：y=∣x2-√3x+2(0<x<2√^.

(2)①當AO=DE時，如圖，

?ΛBD^?DCE,

貝IJAB=C。，即2=2√5-X,

Λ=2√3—2,代入y=g%2-√5χ+2

解得：y=4-2√3,BP4fi=4-2√3,

②當AE=EZ)時，如圖，

NEAD=NEDA=30。,NAE￡)=120°,

所以N￡>EC=6()。，NEDC=90°

則EΣ>=?EC,即y=[(2-y)

解得y=~?即AE=1;

③當A。=AE時，有/AEO-/EQA=30°,ZEAD=120°

此時點。和點B重合，與題目不符，此情況不存在.

所以當A是40E等腰三角形時，AE=4-2√5或A￡=|

【練1】如圖，在AABC中，AB=AC=2,/3=40。，點Z)在線段BC上運動(點Z)不與點8、

C重合)，連接AD,作NAoE=40。，DE交線段AC于點E.

(I)當NBa4=115。時，NEDC=o,ZAED^°；

(2)線段。C的長度為何值時，AABD經(jīng)ZXDCE,請說明理由；

(3)在點。的運動過程中，AAOE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求/BD4的度數(shù);

若不可以，請說明理由.

【答案】(1)25°,65°；

(2)2,理由見解析；

(3)可以，110°或80°.

【解析】

解：(1)VZB=40oZAI>B=115o,

/.ZBAD=180o-ZB-ZADB=180o-115o-40o=25o,

;AB=AC,

ΛZC=ZB=40o,

,/ZEDC=180o-ZADB-AADE=IS0,

：.NDEC=180o-NEDC-ZC=I15°,

.?.NAED=?80°-NoEC=180o-115°=65°；

(2)當。C=2時，AABDmADCE,

理由：VZC=40o,

ZD￡C+ZEDC=140°,

XVNAZ)E=40。，

/ADB+NEDC=140。,

.?.ZADB=ZDEC,

又?：AB=DC=2,

在AABC和△￡)“中，

乙ADB=4DEC

乙B=4C

AB^DC

：.∕?ABD^ΛDCE（AΛ5）;

（3）當NBDA的度數(shù)為110?；?0。時，AAOE的形狀是等腰三角形，

ONBOA=HO。時,

ZADC≈70o,

VZC=40o,

，NZMC=70°,

ΛΔADE的形狀是等腰三角形；

:當NBDA的度數(shù)為80。時，

，ZADC=IOOo,

VZC=40o,

.?ZDAC=40o,

.?ΛADE的形狀是等腰三角形.

【練2】閱讀材料：小胖同學遇到這樣一個問題，如圖1,在AABC中，ZΛBC=450,AB

=2√∑AD=AE,NZME=90。，CE=通,求CO的長；

小胖經(jīng)過思考后，在CD上取點F使得NOEF=NA08（如圖2）,進而得到NEFZ）=45。,

試圖構建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續(xù)分析，又意外發(fā)現(xiàn)

（1）請按照小胖的思路完成這個題目的解答過程.

（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：

如圖3,??ABCψ,ZACB=ZDAC^ZABC,AD=AE,^ΛEAD+ZEBD=90o,求BE：

ED.

【答案】CD=5；

（1）證明見解析；

【解析】解：（1）在CO上取點F,使NOEF=N

BDFC

圖2

?'AD^AE,NDAE=90。,

：.DE=正AD=&AE,

VZABC=45o,ZADE=45°,

aZADC=ZADE+ZEDC,

：./8AQ=NEDC,

?；NBDA=NDEF,

：.AADBsADEF,

.?."="=√Σ

ABADv

VAB=20,

ΛDF=4,

又???NC￡)E+NC=45。，

LNCEF=NCDE,

：.ACEFs4CDE,

.￡￡_￡￡

??CF一CE'

又Y。尸=4,CE=后

.√5CF+4

?a=b

ΛCF=1或CF=5(舍去)，

ΛCD=CF+4=5;

(2)如圖3,作NZMT=N3DE,作//MT=NZME,

圖3

?：NACB=ZDAC=ZABCf

：.AB=AC,AD=CD,

9

：AD=AE1

.,.NAED=ZADE,

乎EAD÷∕的=90。,

.?.∕EAO+2∕EBO=180°,且/EAQ+2∕AEO=180°,

,ZEBD=ZAED=ZADE,

'：ZBDA^ZDAT+ZATD^NBDE+NADE,

：.ZADE=ZATD=NEBD,SLZBDE=ZDAT,

C.∕?DBE^∕?ATD,

REDE

而=禍NADT=NBED,

，器=胃，且AD=0C,

DEAD

.BEDT

'uDE~CDt

λ:ZRAT=ZDAE,ZADE=ZATD,

.?ZRAE=ZDATfZAED=ZART=ZADE=ZATD9

：.AR=ATf且N∕ME=NDAT,ZARE=ZATDf

：.∕?ARE^ΛATD(ASA)

：.ZADT=ZAER1DT=ER,

：?NBED=∕AER,

???NAED=NBER=NEBD,

IRE=RB=DT,

VΛB=AC,ZABC=ZACB9NARB=NATC,

：.?ABR^AΛCT(AAS)

：.BR=TC,

：.DT=TC,

：.CD=2DT.

.BE__DT_1

??OE一CO-2

【練3】數(shù)學模型（“一線三等角”模型）

圖1圖2圖3

(1)如圖1,ZBAC=90o,AB=AC,3。_1_4。于點。，CEJ_AO于點R求證：bABD沿4

CAE.

⑵如圖2,在“BC中，AB=AC,點。，A,E都在直線/上，并且∕8D4=/AEC=/BAC

=α.若CE=a,BD=b,求。E的長度(用含小6的代數(shù)式表示)；

(3)如圖3,D,E是直線，上的動點，若AABF和都是等邊三角形，且NBD4=NAEC

=ZBAC=a,試判斷△￡>EF的形狀，并說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)a+b

(3)△。石戶是等邊三角形，理由見解析.

【解析】(D證明:VZl+Z2=Z2+ZC=90o,

ΛZl=ZC,

??ABD和ACAE中，

Zl=ZC

?ADB=?CEA=90°，

AB=AC

：.(AAS),

,

(2)解：:ZBDA=ZBAC=Uf

.?ZDBA+ZBAD=]S0o-a=ZBAD+ZCAE,

：.ZCAE=AABD9

在AABO和ACAE中，

NABD=?CAE

?BDA=乙AEC

AB=AC

：.?AβD^ΔCAE(AAS),

：.AD=CEfBD=AE9

9JCE=ChBD=b,

：.DE=AD+AE=BD+CE=a+b;

(3)解：△。所是等邊三角形，理由如下：

???∕?ABF和都是等邊三角形

.?AB=ACf

由(2)知：AABQgZ?CAE,

：.BD=AE,NABD=NCAE,

YAAC尸是等邊三角形，AAB尸是等邊三角形，

o

ΛZCAF=60,AB=AFf

,

..ZABD+ZABF=ZCAE+ZCAFf

即NoBZ7=NME

在ABDF和尸中,

FB=FA

LFBD=/.FAE，

.BD=AE

.??BDF^^AEF(SAS),

.?.DF=EF,NBFD=NAFE,

：.ZDFE=NAFD+NAFE=ZAFD+ZBFD=60o,

...△QEF是等邊三角形.

【練4】數(shù)學模型學習與應用.【學習】如圖I,NBAD=90o,AB=AD,BCIAC于點C,

DEJ.4C于點E.由41+42=42+ND=90°,得/1=/。；5L?ACB=?AED=90°,可

以通過推理得到4?BC^ΔDAE.我們把這個數(shù)學模型稱為“一線三等角“模型；

(1)【應用】如圖2,點8,P,力都在直線/上，并且乙4BP=4APC=NPDC=α.若BP=x,

AB=2,BD=5,用含X的式子表示Cl)的長；

(2)【拓展】在4ABC中，點D,E分別是邊BC,AC上的點，連接AD,DE,乙B=ΛADE=NC,

AB=5,BC=6.若ACDE為直角三角形，求CQ的長；

(3)如圖3,在平面直角坐標系XOy中，點A的坐標為(2,4),點8為平面內(nèi)任一點.△力。B是

以OA為斜邊的等腰直角三角形，試直接寫出點B的坐標.

【答案】(DCD