2019-2023年高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（原卷版）

五年(2019-2023)年高考真題分項(xiàng)匯編

與題04導(dǎo)照&瘙用(解爭(zhēng)墓)

奇君?存叛分析

函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考必考知識(shí)點(diǎn)，解答題主要是壓軸題的形式出現(xiàn)，?？碱}型如圖所示:

高考真魅橫折

考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)

一、解答題

1.(2023?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)/(x)=，+a[ln(l+x).

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J0))處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

(3)若在(0,y)存在極值，求a的取值范圍.

2.(2022?全國(guó)乙卷)己知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+axeT

⑴當(dāng)”=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(OJ(o))處的切線方程；

(2)若/(X)在區(qū)間(-1,0),(0,物)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求“的取值范圍.

3.(2022全國(guó)甲卷)已知a>0且awl,函數(shù)/(x)=—(x>0).

ax

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

4.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a>0,函數(shù)/(x)=ax-x/.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程：

(II)證明/a)存在唯一的極值點(diǎn)

(HI)若存在小使得f(x)Va+b對(duì)任意xeR成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

5.(2020年全國(guó)高考1卷)已知函數(shù)/(x)=e*+at2_x.

(1)當(dāng)a=l時(shí)、討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)這0時(shí)，f(x)>jx5+L求a的取值范圍.

6.(2020.江蘇.統(tǒng)考高考真題)已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與人(%)=丘+伏匕6eR)在區(qū)間。上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)^/(X)=X2+2X,g(x)=-x2+2x,￡>=(—,+8),求/?(x)的表達(dá)式；

(2)若/(x)=x2-x+l,g(x)=Alnx,h(x)=kx-k,D=(0,+co),求2的取值范圍;

(3)若f(x)=d—2f,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-f)x-3t4+2z2(0<|r|<-Jl),。，九［-夜,0］,求證：

n-m<>.

y1

7.(2019年全國(guó)高考II卷)己知函數(shù)/(x)=lnx-二一.

x-1

(1)討論外)的單調(diào)性，并證明八X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)X0是y(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(xo,Inxo)處的切線也是曲線y=e'的切線.

8.(2019年全國(guó)高考】H卷)已知函數(shù)/。)=2》3-以2+尻

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在a,b,使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為T且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值；若不存

在，說明理由.

考點(diǎn)02恒成立問題

一、解答題

1.(2023全國(guó)新高考I卷)已知函數(shù)f(x)=a(e'+a)-x.

(1)討論)(x)的單調(diào)性;

3

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>2lna+^.

2.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,fe(0,+oo),有f(s+r)>f($)+/(>

3.(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=獷(力的極值點(diǎn).

(1)求4；

X+f(X)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=一.；)一.證明:g(x)<l.

4.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(力=去￡.

(1)若”=0,求曲線y=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/(x)在x=-1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

5.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知。>0,函數(shù)/(x)=or-xe、.

(D求曲線y=/(X)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程:

(II)證明/")存在唯一的極值點(diǎn)

(III)若存在小使得/(幻4。+6對(duì)任意xeR成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

6.(2020?山東?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)/(x)=aei-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若不等式恒成立，求。的取值范圍.

7.(2020年全國(guó)新高考I卷)設(shè)函數(shù)/5)=/+&+°,曲線y=/(x)在點(diǎn)弓，<g))處的切線與y軸垂直.

(1)求。

(2)若/")有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：Ax)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

8.(2019?北京?？颊骖})已知函數(shù)/(X)=L3-/+X.

4

(I)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

(II)當(dāng)xe［-2,4］時(shí),求證：x-6<f(x)<x；

(IB)設(shè)尸(x)=|/(x)—(x+a)|(aeR),記尸3在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(°),當(dāng)M(a)最小時(shí)，求a

的值.

9.(2019?浙江?高考真題)已知實(shí)數(shù)a/0,設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+x/77T,x>0.

3

(1)當(dāng)。=-二時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對(duì)任意均有/(x)4正，求”的取值范圍.

e2a

注：e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

考點(diǎn)03三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問題

一、解答題

1.(2023年全國(guó)高考n卷)(1)證明:當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)/(x)=cosax-ln(l-V),若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

2.(2023?全國(guó)甲卷)已知函數(shù)”幻=以一半?,xe(0,酊

cosx\2)

⑴當(dāng)a=8時(shí)，討論了(幻的單調(diào)性；

⑵若/(x)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

3.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,Z?GR,函數(shù)/(x)=e*-asinx,g(x)=h6

⑴求函數(shù)y=/(x)在(oj(o))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn),

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求人的取值范圍；

(ii)求證：cr+tr>e.

4.(2020年全國(guó)高考II卷)已知函數(shù)於)=siMxsin2x.

(1)討論人x)在區(qū)間(0,兀)的單調(diào)性；

(2)證明：|/(x)歸攣;

8

3〃

(3)設(shè)〃WN*,證明：sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.

一4"

5.(2019?天津?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=e*cosx,g(x)為“X)的導(dǎo)函數(shù).

(I)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)當(dāng)xe時(shí)，證明/(x)+g(x)[]-x).0；

(HI)設(shè)x.為函數(shù)“(x)=/(x)-l在區(qū)間(2%+?,2加+])內(nèi)的零點(diǎn)，其中〃eN,證明

c兀產(chǎn)"

4-----Xfl<-；----------.

2sinx0-cosx0

考點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)類綜合問題

一、解答題

1.(2023?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)=(T+a)n(l+x).

(1)當(dāng)a=T時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線>=/(￡)關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

(3)若/(x)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

2.(2022?全國(guó)甲卷)已知函數(shù)/(x)=幺-lnx+x-a.

⑴若f(x)20,求a的取值范圍;

(2)證明：若f(X)有兩個(gè)零點(diǎn)玉,王，則中2<1.

3.(2022年全國(guó)新高考I卷)已知函數(shù)/(x)=e?-◎和g(x)=ar-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=m其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

4.(20122年全國(guó)高考H卷)已知函數(shù)/(x)=xe"—e'.

⑴當(dāng)a=1時(shí),討論，(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(幻<-1,求a的取值范圍；

1I1,,,、

(3)設(shè)〃eN*,證明：，/2+/,,++/2>ln("+l)

Vr+1V2'+2\ln2+n

5.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,Z>eR,函數(shù)f(x)=e*-asinx,g(x)=b石

⑴求函數(shù)y=f(x)在(OJ(O))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn)，

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求人的取值范圍；

(ii)求證：a2+b2>e.

6.(2021