第34講　平面向量基本定理及坐標表示（解析版）

第34講平面向量基本定理及坐標表示基礎(chǔ)知識1.共線向量基本定理如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實數(shù)λ,使得.

2.平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線,則對該平面內(nèi)任意一個向量c,存在唯一的實數(shù)對(x,y),使得.其中,平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成的集合{a,b},常稱為該平面上向量的一組基底,此時,如果c=xa+yb,則稱xa+yb為c在{a,b}下的.

3.平面向量的坐標運算(1)平面向量的坐標運算向量aba+ba-bλa坐標(x1,y1)(x2,y2)

(2)向量的坐標求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=,|AB|=.

4.平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b?a=λb(λ∈R)?.

1.b=λa2.c=xa+yb基底分解式3.(1)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)(x2-x1,y2-y1)(4.x1y2-x2y1=0常用結(jié)論1.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0.2.三點共線相關(guān)結(jié)論:(1)一般地,如果存在實數(shù)λ,使得AB=λAC,則AB與AC平行且有公共點A,從而A,B,C三點一定共線.(2)如果A,B,C是三個不同的點,則它們共線的充要條件是:存在實數(shù)λ,使得AB=λAC.(3)若OA=λOB+μOC(λ,μ為常數(shù)),則A,B,C三點共線?λ+μ=1.3.已知P為線段AB的中點,若A(x1,y1),B(x2,y2),則點P的坐標為（x1+x22,y1+y22）;已知△ABC的頂點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△分類探究探究點一共線向量、平面向量基本定理及其應(yīng)用角度1共線向量基本定理例1(多選題)已知向量a,b是兩個非零向量,在下列四個條件中,一定能使a,b共線的是 ()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實數(shù)λ,μ,使λa-μb=0C.當x+y=0時,xa+yb=0D.在梯形ABCD中,AB=a,CD=b例1[思路點撥]選項A,根據(jù)2a-3b=4e,a+2b=-2e得出b=-4a,從而得出a,b共線;選項B,由已知可得出λ,μ都不等于0,且a=μλb,從而得出a,b共線;選項C,當x=y=0時,滿足選項的條件,顯然a,b不一定共線;對于選項D,顯然a,b不一定共線AB[解析]對于A,由2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得4a+b=0,∴b=-4a,又a≠0,∴a,b共線;對于B,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,∴λ,μ都不為0,∴a=μλb,∴a,b共線;對于C,當x=y=0時,滿足x+y=0,此時對任意的向量a,b都有xa+yb=∴a,b不一定共線;對于D,∵AB與CD不一定平行,∴a,b不一定共線.故選AB.[總結(jié)反思]兩個向量共線是指兩個向量的方向相同或相反,因此共線包含兩種情況:同向共線或反向共線.一般地,若a=λb(b≠0),則a與b共線,且:(1)當λ>0時,a與b同向;(2)當λ<0時,a與b反向.變式題已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖6-34-1所示,若向量λa+b與c共線,則實數(shù)λ= ()圖6-34-1A.-2 B.-1 C.1 D.2變式題D[解析]根據(jù)圖形可看出2a+b=c,∵2a+b與c共線,∴λ=2.故選D.角度2平面向量基本定理例2如圖6-34-2,已知OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若m=38,則n= (圖6-34-2A.34 B.2C.45 D.例2[思路點撥]利用共線向量基本定理及平面向量基本定理根據(jù)已知可求得n.A[解析]方法一:由OC=2OP,AB=2AC,知C是AB的中點,P是OC的中點,所以O(shè)C=12(OA+OB),則OP=14(OA+OB),又OM=38OB,ON=nOA,所以MN=ON-OM=nOA-38OB,MP=OP-OM=14OA-18OB,又M,P,N三點共線,所以存在實數(shù)λ,使MN=λMP成立,即nOA-38OB=λ（14OA-18方法二:設(shè)MP=λMN,因為OM=38OB,ON=nOA,所以O(shè)P=OM+MP=38OB+λ(ON-OM)=38OB+λ（nOA-38OB）=38(1-λ)·OB+nλOA,又OC=2OP,所以O(shè)P=12OC=[總結(jié)反思](1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量,實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決問題.變式題在△ABC中,AC=5AD,E是直線BD上一點,且BE=2BD,若AE=mAB+nAC,則m+n= ()A.25 B.-2C.35 D.-變式題D[解析]如圖所示,AE=AB+BE=AB+2BD=AB+2(AD-AB)=AB+215AC-AB=-AB+25AC.∵AE=mAB+n∴m=-1,n=25,故m+n=-35.故選角度3共線向量基本定理、平面向量基本定理的綜合應(yīng)用例3(1)設(shè)a,b不共線,AB=a+3b,BC=a+2b,CD=3a+mb,若A,C,D三點共線,則實數(shù)m的值是 ()A.23 B.15 C.72 (2)如圖6-34-3,在平行四邊形ABCD中,DE=12EC,F為BC的中點,G為EF上的一點,且AG=79AB+mAD,則實數(shù)m的值為圖6-34-3A.23 B.13 C.-13 例3[思路點撥](1)由A,C,D三點共線,得到AC=λCD,根據(jù)平面向量基本定理列方程組求解即可得到m的值;(2)可根據(jù)條件得出DE=13AB,BF=12AD,并可設(shè)AG=λAE+(1-λ)AF,然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運算可得AG=（1-2λ3）AB+（λ2(1)D(2)A[解析](1)∵AB=a+3b,BC=a+2b,∴AC=AB+BC=2a+5b.∵A,C,D三點共線,∴AC=λCD,即2a+5b=λ(3a+mb),∴2=3λ,故選D.(2)∵DE=12EC,F為BC的中點,∴DE=13AB,BF=12AD.∵G,E,F三點共線,∴可設(shè)AG=λAE+(1-λ)AF=λ(AD+DE)+(1-λ)(AB+BF)=λ（AD+13AB）+(1-λ)（AB+12AD）=（1-2λ3）AB+（λ2+12[總結(jié)反思]三點共線問題可轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線.根據(jù)A,B,C三點共線求參數(shù)問題,只需將問題轉(zhuǎn)化為AC=λAB,或OA=λOB+(1-λ)OC(λ為常數(shù)),再根據(jù)平面向量基本定理列出方程(組),解出參數(shù)即可.變式題在△ABC中,D在線段BC上,且BD=2DC,AM=λAC,AN=μAB,λ,μ均為非零常數(shù),若N,D,M三點共線,則2λ+1μ= (A.1 B.2 C.3 D.4變式題C[解析]∵BD=2DC,∴BD=23BC,∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,∵AM=λAC,AN=μAB,∴AC=1λAM,AB=1μAN,∴AD∴13μ+23λ=1,∴2λ+1μ探究點二平面向量的坐標運算例4(1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則c= ()A.（133,83） B.（-133,C.（133,43） D.（-133,(2)在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的內(nèi)心,則BD= ()A.-23AB+B.23ABC.-23AB+D.23AB例4[思路點撥](1)由a-2b+3c=0,可得c=-13(a-2b),然后代入向量a和b的坐標進行運算即可;(2)以A為原點,分別以AB,AC所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系,求得內(nèi)切圓的半徑r=2,設(shè)BD=mAB+nAC,用坐標表示BD,AB,AC,再利用平面向量基本定理求得m,n的值即可(1)D(2)A[解析](1)∵a-2b+3c=0,∴c=-13(a-2b)=-13×(13,4)=（-133,-43）(2)如圖所示,以A為原點,分別以AB,AC所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系.由已知可得|BC|=62+82=10.過點D作DE⊥x軸,DF⊥y軸,垂足分別為E,F,則四邊形AEDF為正方形,∴內(nèi)切圓的半徑r=6+8-102=2,∴D(2,2),B(6,0),C(0,8).設(shè)BD=mAB+nAC,則(-4,2)=m(6,0)+n(0,8),∴-4=6m,2=8n,解得m=-∴BD=-23AB+14AC[總結(jié)反思](1)利用向量的坐標運算解題時,首先利用加、減、數(shù)乘運算法則進行運算,然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應(yīng)相等”這一原則,轉(zhuǎn)化為方程(組)進行求解.(2)向量的坐標表示把點與數(shù)聯(lián)系起來,引入平面向量的坐標可以使向量運算代數(shù)化,成為數(shù)與形結(jié)合的載體,使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.變式題(1)(多選題)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,則使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1)C.(-1,0) D.(0,-1)(2)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,則實數(shù)x的值為 ()A.49 B.12 C.94 變式題(1)AC(2)C[解析](1)∵e1=(-1,2),e2=(2,1),∴向量a=λ1e1+λ2e2=(-λ1,2λ1)+(2λ2,λ2)=(2λ2-λ1,2λ1+λ2).當a=(1,0)時,2λ1+λ2=0,滿足題意;當a=(0,1)時,2λ2-λ1=0,不滿足題意;當a=(-1,0)時,2λ1+λ2=0,滿足題意;當a=(0,-1)時,2λ2-λ1=0,不滿足題意.故選AC.(2)∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4).∵|a+b|=|2a-b|,∴(2+x)2+(-1解得x=94.故選C探究點三平面向量共線的坐標表示例5(1)已知a=(1,2+sinx),b=(2,cosx),c=(-1,2),若(a-b)∥c,則銳角x等于 ()A.15° B.30° C.45° D.60°(2)已知向量a=(1,k),b=(k,2),若a與b方向相同,則k等于 ()A.1 B.±2 C.-2 D.2例5[思路點撥](1)先求出a-b的坐標,再由(a-b)∥c求得tanx=1,由此求得銳角x的值;(2)根據(jù)平面向量的共線定理與坐標表示,列方程求出k的值即可.(1)C(2)D[解析](1)由題意可得a-b=(-1,2+sinx-cosx),∵(a-b)∥c,∴-2-(-1)(2+sinx-cosx)=0,化簡可得sinx=cosx,∴tanx=1,∴銳角x等于45°.故選C.(2)∵向量a=(1,k),b=(k,2),且a與b方向相同,∴k>0,k2-1×2=0,解得k=2[總結(jié)反思](1)注意兩平面向量共線的充要條件.(2)利用向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行,也可以由向量平行求參數(shù),當兩向量的坐標均為非零實數(shù)時,也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解.變式題(1)已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且實數(shù)k>0.若A,B,C三點共線,則k= ()A.0 B.1 C.2 D.3在梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,若點A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點D的坐標為.

變式題(1)D(2)(2,4)[解析](1)∵向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),∴AB=OB-OA=(2,2-k),BC=OC-OB=(k+1,-2).∵A,B,C三點共線,∴AB∥BC,∴k+12=-22-k,又k>0,∴k=3(2)因為在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,所以DC=2AB.設(shè)點D的坐標為(x,y),則DC=(4-x,2-y),又AB=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以4-x=2,2-y=-2,解得x同步作業(yè)1.設(shè)a是任一向量,e是單位向量,且a∥e,則下列表示形式中正確的是 ()A.e=a|a| C.a=-|a|e D.a=±|a|e1.D[解析]對于A,當a=0時,a|a|沒有意義,故A錯誤.對于B,C,D,當a=0時,選項B,C,D都正確,當a≠0時,由a∥e可知,a與e同向或反向,故B,C錯誤,D正確.2.在下列各組向量中,可以作為一組基底的是 ()A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(-1,2),e2=(5,-10)C.e1=(3,5),e2=(-3,-5)D.e1=(2,-3),e2=2,-342.D[解析]選項A,0×1-0×1=0,所以e1,e2共線,不能作為基底;選項B,-1×(-10)-2×5=0,所以e1,e2共線,不能作為基底;選項C,3×(-5)-(-3)×5=0,所以e1,e2共線,不能作為基底;選項D,2×（-34）-(-3)×2≠0,所以e1,e2不共線,可以作為基底.故選D3.平面向量a=(1,2),b=(3,4),則a+2b= ()A.(5,8) B.(5,10)C.(7,8) D.(7,10)3.D[解析]∵向量a=(1,2),b=(3,4),∴a+2b=(1,2)+(6,8)=(7,10).故選D.4.已知向量a=(m,2),b=(3,-6),若|a+b|=|a-b|,則實數(shù)m的值是 ()A.-4 B.-1 C.1 D.4∴(m+3)2+16=(m-3)2+64,化簡得5.如圖K34-1,在△ABC中,AD=3DB,P為CD上一點,且AP=mAC+12AB,則m的值為 (圖K34-1A.12 B.1C.14 D.5.B[解析]∵AD=3DB,∴AB=43AD,又AP=mAC+12AB,∴AP=mAC+23AD,又C∴m+23=1,解得m=13.故選6.已知O,A,B,C為平面α內(nèi)的四點,其中A,B,C三點共線,點O在直線AB外,且滿足OA=1xOB+2yOC,其中x>0,y>0,則x+8yA.21 B.25 C.27 D.346.B[解析]∵A,B,C三點共線,點O在直線AB外,OA=1xOB+2yOC,∴1x+2y=1,∴x+8y=(x+8y)×（1x+2y）=1+2xy+8yx+16≥17+22xy·87.已知向量a=(3,1),b=(x,-2),且a,b共線,則a-b=.

7.(9,3)[解析]因為a,b共線,所以3×(-2)-1×x=0,解得x=-6,所以b=(-6,-2),則a-b=(9,3).8.在△ABC中,D為邊AB上一點,且BD=3AD,若CD=λCA+μCB,則λμ= (A.13 B.3C.14 D.8.B[解析]因為BD=3AD,所以CD=CB+BD=CB+34BA=CB+34(CA-CB)=34CA+14CB,由CD=λCA+μCB可得λ=34,μ=149.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若|a+b|=|2a-b|,則實數(shù)x的值為 ()A.49 B.1C.94 D.9.C[解析]∵向量a=(2,1),b=(x,-2),∴a+b=(2+x,-1),2a-b=(4-x,4),∵|a+b|=|2a-b|,∴(2+x)2+(-1)2=(4-x)10.在△ABC中,D為BC上一點,且BD=2DC,AE=ED,若EB=xAB+yAC,則 ()A.x=13,y=2B.x=56,y=C.x=56,y=-1D.x=23,y=10.C[解析]因為BD=2DC,AE=ED,所以DB=-23BC,ED=12AD,所以EB=ED+DB=12AD-23BC=12(AB+BD)-23(AC-AB)=12（AB+23BC）-23(AC-AB)=12AB+13BC-23AC+23AB=711.(多選題)已知向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),若點A,B,C能構(gòu)成三角形,則實數(shù)t可以為 ()A.-2 B.12C.1 D.-111.ABD[解析]∵向量OA=(1,-3),OB=(-2,1),OC=(t+3,t-8),∴AB=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),AC=(t+3,t-8)-(1,-3)=(t+2,t-5).∵點A,B,C能構(gòu)成三角形,∴AB≠λAC,∴(-3,4)≠(λ(t+2),λ(t-5)),解得t≠1.結(jié)合選項可知,應(yīng)選ABD.12.(多選題)如圖K34-2所示,點A,B,C是圓O上的三點,線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點P,若AP=λAB,OC=μOA+3μOB,則 ()圖K34-2A.當P為線段OC的中點時,μ=1B.當P為線段OC的中點時,μ=1C.無論μ取何值,恒有λ=3D.存在μ∈R,λ=112.AC[解析]由已知得OP=OA+AP=OA+λAB=OA+λ(OB-OA)=(1-λ)OA+λOB,因為OP與OC共線,所以1-λμ=λ3μ,解得λ=34,故C正確,D錯誤;當P為OC中點時,有OP=12OC,則1-λ=12μ,λ=12×3μ,解得μ=1213.在△ABC中,已知D是邊AB上一點,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,則λ=13.23[解析]由已知得,CD=CA+AD=CA+2DB①,∵CD=CB+BD,∴2CD=2CB+2BD=2CB-2DB②,①+②得3CD=CA+2CB,∴CD=13CA+2314.在△ABC中,CD=-35BC,EC=12AC,AF=13AB,若點P為四邊形AEDF內(nèi)一點(不含邊界)且DP=-13DC14.（12,43）[解析]在線段BD上取一點G,使得DG=-13DC,設(shè)DC=3a,則DG=a,BC=5a,BG=a.過點G作GH∥DE,分別交DF,AE于K,H,連接FH,則HE=13EC,AH=23EC,HG=43DE,則AHHC=12=AFFB,所以FH∥BC,所以FH=13BC