第35講 空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示（精講）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第35講空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示（精講）題型目錄一覽①空間向量的線性運(yùn)算②空間共線、共面向量定理的應(yīng)用③空間向量的數(shù)量積運(yùn)算一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、空間向量及其加減運(yùn)算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算①，．如圖所示．②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律，二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（1）數(shù)乘運(yùn)算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時，與向量方向相同；當(dāng)時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律：，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理：對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量為經(jīng)過已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：，（交換律）；（分配律）．知識點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一空間向量的線性運(yùn)算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【典例1】在空間四邊形ABCD中，G為的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則運(yùn)算即可求解；【詳解】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.（2）分別取AB，AC的中點(diǎn)P，Q，連接PH，QH，則四邊形APHQ為平行四邊形，且有根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.

【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在四面體中，為的中點(diǎn)，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】如圖所示，因為為的中點(diǎn)，，且，則.故選：D.

二、多選題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且AP＝3PN，，設(shè)，，，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由于不共面，可以作為基底，將表示出來即可.【詳解】由圖可知，，A錯誤；，B正確；，C錯誤；，D正確；故選：BD.三、填空題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則．【答案】【分析】根據(jù)空間向量的加法法則求解即可【詳解】由題意，故答案為：7．（2023·高三課時練習(xí)）已知在四面體O-ABC中，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，設(shè)，，，則等于．【答案】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】如圖所示：可知：即，故答案為：.題型二空間共線、共面向量定理的應(yīng)用策略方法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點(diǎn)Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))對空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【典例1】已知向量，若與平行，則實數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量共線定理求解即可【詳解】因為，所以，，因為與平行，所以存在唯一實數(shù)，使，所以，所以，解得，故選：C【典例2】為空間任意一點(diǎn)，若，若、、、四點(diǎn)共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量共面基本定理的推論可求出的值.【詳解】空間向量共面的基本定理的推論：，且、、不共線，若、、、四點(diǎn)共面，則，因為為空間任意一點(diǎn)，若，且、、、四點(diǎn)共面，所以，，解得.故選：C.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，則實數(shù)m的值等于（

）A． B．－2C．0 D．或－2【答案】B【分析】利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)m＝0時，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，與不平行，∴m≠0，∵，∴，解得m＝－2.故選：B2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個非零向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個不共面向量，則對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)x，y，z使得.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】①②空間向量共線不代表所在直線平行，且空間任意兩向量都共面，即可判斷；③利用四面體四條側(cè)棱說明即可；④根據(jù)空間向量基本定理即可判斷.【詳解】①若向量共線，則向量所在的直線平行或重合，錯誤；②若向量所在的直線為異面直線，由向量位置的任意性，空間中兩向量可平移至一個平面內(nèi)，故共面，錯誤；③若三個向量兩兩共面，如下圖：顯然不共面，錯誤；④已知空間的三個不共面向量，則對于空間的任意一個向量，根據(jù)空間向量基本定理知：總存在實數(shù)使，正確.所以正確的個數(shù)是1，故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量不共面，空間一點(diǎn)滿足，則四點(diǎn)共面的一組數(shù)對是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間共面向量定理的推論即可驗證得到答案.【詳解】空間一點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則選項A：.判斷錯誤；選項B：.判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷錯誤.故選：C4．（2022·全國·高三專題練習(xí)已知，若三向量共面，則等于（

）A． B．9 C． D．【答案】D【分析】由，，共面，設(shè)，列方程組即可求出λ的值．【詳解】∵，，共面，∴設(shè)（為實數(shù)），即，∴，解得．故選：D.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，若，，三向量共面，則（

）A．9 B．3 C． D．【答案】C【分析】利用空間向量的共面定理得到，再利用空間向量相等的性質(zhì)及坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】因為，，三向量共面，所以存在實數(shù)，使得，即，所以，解得，所以.故選：C.二、多選題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量共面的知識對選項進(jìn)行分析，由此確定正確選項.【詳解】選項A，因為，所以共面；選項B，因為，所以共面；選項C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個平面內(nèi)，不符合.選項D，因為共線，所以共面.故選：ABD三、填空題7．（2023·高三課時練習(xí)）已知向量，，若，則x＋y的值為．【答案】【分析】由，則，代入坐標(biāo),建立等式,解出即可.【詳解】解:由題知,所以，，即,故有，解得，故.故答案為:8．（2023·高三課時練習(xí)）已知點(diǎn)，，，若，則.【答案】【分析】令，利用空間向量的數(shù)量關(guān)系求坐標(biāo)，進(jìn)而求的坐標(biāo)，利用空間向量模的坐標(biāo)表示求.【詳解】令，則，，由，即，可得，∴，故，∴.故答案為：9．（2023·高三課時練習(xí)）已知，，．若、、三向量共面，則實數(shù)．【答案】【分析】由題意可得，存在實數(shù)x，y，使，列出方程組，即可求得答案.【詳解】因為不平行，且、、三向量共面，所以存在實數(shù)x，y，使，所以，解得，故答案為：10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)確定的平面上，則實數(shù)．【答案】16【分析】利用空間向量共面定理，寫出向量坐標(biāo)，列出方程組，求解方程組可得答案.【詳解】由已知得：；因為四點(diǎn)在同一平面上，所以存在，使得,所以,所以,解得.故答案為：.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共面充要條件推理計算作答.【詳解】因A，B，C三點(diǎn)不共線，P，A，B，C四點(diǎn)共面，則對空間中任意一點(diǎn)O，有，即有，而，因此，解得，所以實數(shù).故答案為：12．（2023秋·山東·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間四邊形ABCD的對角線為AC與BD，M，N分別為線段AB，CD上的點(diǎn)滿足，，點(diǎn)G在線段MN上，且滿足，若，則.【答案】【解析】以作為空間向量的基底，利用向量的線性運(yùn)算可得的表示，從而可得的值，最后可得的值.【詳解】,又，故，而，所以，因為不共面，故，所以，故答案為：13．（2023·上海·高三專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，若點(diǎn)P滿足，其中，且，則點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn).【答案】（或C或邊上的任意一點(diǎn)）【分析】因為點(diǎn)P滿足，其中，且，所以點(diǎn)三點(diǎn)共面，只需要找到平面與正方體表面的交線即可.【詳解】解：因為點(diǎn)P滿足，其中，且，所以點(diǎn)三點(diǎn)共面，因為點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，所以,連接，則,所以即為經(jīng)過三點(diǎn)的平面與正方體的截面，故點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)（或C或邊上的任意一點(diǎn)）故答案為：（或C或邊上的任意一點(diǎn)）【點(diǎn)睛】此題考查空間向量基本定理及推論，同時考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.題型三空間向量的數(shù)量積運(yùn)算策略方法空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【典例1】已知正四面體的棱長為1，如圖所示，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)1(3)【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐問運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）解：在正四面體中，，且，可得.（2）解：由向量的運(yùn)算法則，可得．（3）解：由.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正四面體的棱長為1，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量減法的三角形法則和向量的數(shù)量積的定義和正四面體的定義即可求解.【詳解】因為，所以.根據(jù)向量的減法法則，得，所以.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算運(yùn)算律可得，在根據(jù)數(shù)量積的定義求其值.【詳解】由題意，和之間夾角均為，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算有

故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在正三棱柱中，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，可得，根據(jù)投影向量的求法，代入公式，即可得答案.【詳解】過作，分別以為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，設(shè)正三棱柱的棱長為2，則，所以，所以在上的投影向量為.故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算法則，求解即可.【詳解】因為，所以，，則.故選：A.5．（2023秋·北京·高三北理工附中?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，設(shè)與的夾角為，由求解即可.【詳解】解：因為，，所以，設(shè)與的夾角為，則，又因為，所以.故選：A6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，，則在方向上的投影數(shù)量為（

）A．1 B．－1C． D．－【答案】A【分析】利用投影向量的定義求解即可【詳解】因為，為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以在方向上的投影數(shù)量為，故選：A7．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長均相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線與所成角的余弦值即可.【詳解】設(shè)，，，棱長均為，由題意，，，，，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A.8．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】B【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得.【詳解】因為，，所以，又，所以，即，即，所以，所以.

故選：B9．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中?？奸_學(xué)考試）如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B10．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體的表面上運(yùn)動，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】取中點(diǎn)，連接，利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，則，當(dāng)在正方體表面上運(yùn)動時，運(yùn)動到或處時，最大，所以,所以的最大值為8.故選：C二、多選題11．（2023秋·福建莆田·高三莆田八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)、為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，向量不能作除法，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面四個結(jié)論正確的是（

）A．空間向量，若，則B．若空間四個點(diǎn)，，則三點(diǎn)共線C．已知向量，若，則為鈍角D．任意向量滿足【答案】AB【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷ACD，由空間向量的基本定理與共線定理可判斷B【詳解】對于A：因為，，則，故A正確；對于B：因為，則，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對于C：，若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時，，即，由與不共線得，于是得當(dāng)且時，為鈍角，故C錯誤；對于D：是的共線向量，而是的共線向量，故D錯誤，故選：AB13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是()A．B．C．向量與向量的夾角是60°D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為【答案】AB【分析】根據(jù)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空間向量的線性運(yùn)算以