第八章 立體幾何（綜合檢測）【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）參考答案

第八章立體幾何章末檢測參考答案1．C2．C3．A4．A5．C6．A7．A8．B9．BD10．ABC11．BD12．AD13．14．15．16．①④17．【詳解】（1）證明：連接，∵在矩形中，，分別是，中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴.∵是的中點，∴.∵平面，平面，∴平面，平面.∵，∴平面平面.∵平面，∴平面.（2）解：法一：∵平面，，∴平面.過在平面內(nèi)，作，垂足為，則.∵，∴平面，∴長是點到平面的距離.在矩形中，是中點，，，.∴.∵，，∴，即點到平面的距離為.法二：設(shè)到平面的距離為，在矩形中，，，∴.∵平面，平面，∴，∵，∴，，∴的面積為.∵的面積為，，∴，∴，即點到平面的距離為.18．【詳解】（1）解：（1）在正三棱柱中，易知，因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面平面，所以.（2）（2）取的中點，連接，易知是正三角形，所以.又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，，所在直線分別為軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)，，則，，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，則，令，則，所以，易知平面的一個法向量，所以.因為平面與平面所成的銳二面角的大小為30°，所以，整理得，所以，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.19．【詳解】（1）取中點為，連接，在中，，，，，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面（2）存在點F是的中點，使直線CF與平面PBC所成角的正弦值等于．以A為坐標原點，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)點，因為點F在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則設(shè)直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時點F是的中點，所以存在點F．20．【詳解】（1）取BE的中點O，連接PO，OF，因為，，線段AD，BC的中點分別為點E，F(xiàn)，所以，，又因為，所以，在等腰直角中，，，所以平面PFO，因為平面PFO，所以.（2）當四棱錐體積最大時，點P在平面BCDE的射影即為點O，即平面BCDE.法一：以O(shè)B，OF，OP方向為x軸，y軸和z軸分別建立空間直角坐標系.如圖3.則，，，，設(shè)平面PEC的法向量為，則取，可得易得平面ECB的一個法向量所以因為二面角是銳角，所以二面角的大小為.法二：在中，因為，，，所以.在中，，，，所以.由二面角的定義可知，二面角的平面角就是.所以二面角的大小為.21．【詳解】（1）取中點，連接，，為中點，；，，；四邊形為菱形，，為等邊三角形，，又分別為中點，，，即；，平面，平面，平面，平面平面.（2）連接，由（1）知：為等邊三角形，，；以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，；設(shè)，則，，軸平面，平面的一個法向量，，解得：（舍）或，即，；由得：，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，，，即平面與平面所成二面角的正弦值為.22．【詳解】（1）解法一：連接交于，連接．在四棱柱中，易知四邊形為平行四邊形，

所以是的中點，

在中，因為是的中點，所以．

又平面，平面，所以平面．解法二：作輔助線，找到過且平行于平面的一個平面取的中點，連接，，，因為是的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．

又平面，平面，所以平面．

易知，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面