中考數(shù)學(xué)二輪提升真題練習(xí) 格點(diǎn)圖問(wèn)題（解析版）

專(zhuān)題10格點(diǎn)圖問(wèn)題

【題型一：格點(diǎn)中的作圖問(wèn)題】

【例1】（2021?寧波）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的6×4的網(wǎng)格，點(diǎn)A,B均在格

點(diǎn)上.

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圖1圖2

（I）在圖1中畫(huà)出以AB為邊且周長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的DABCD,且點(diǎn)C和點(diǎn)D均在格點(diǎn)上（畫(huà)

出—個(gè)即可）.

（2）在圖2中畫(huà)出以AB為對(duì)角線(xiàn)的正方形AEBF,且點(diǎn)E和點(diǎn)F均在格點(diǎn)上.

【答案】（1）解：如圖四邊形ABCD即為所作，答案不唯一.

（2）解：如圖，四邊形AEBF即為所求作的正方形.

【解析】（1）根據(jù)兩邊對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形作圖，注意根據(jù)勾股定理，結(jié)合無(wú)理

數(shù)的定義作出AD和BC；

（2）以AB為斜邊分別作等腰直角I3AFB和等腰宜角EIAEB,即可得出正方形AEBF.

【例2】（2021溫州）如圖4X4與6X6的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成.圖1是繪成

的七巧板圖案，它由7個(gè)圖形組成，請(qǐng)按以下要求選擇其中一個(gè)并在圖2、圖3中畫(huà)出相應(yīng)

的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）.

工

Z

SZ

ZKZ

ZΣZ

圖1圖2圖3

(1)選一個(gè)四邊形畫(huà)在圖2中，使點(diǎn)P為它的一個(gè)頂點(diǎn)，并畫(huà)出將它向右平移3個(gè)單位后

所得的圖形.

(2)選一個(gè)合適的三角形，將它的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的石倍，畫(huà)在圖3中.

【答案】(1)解：畫(huà)法不唯一，當(dāng)選四邊形為正方形時(shí)可以是如圖1或圖2；當(dāng)四邊形式平

行四邊形時(shí)可以是圖3或圖4.

(2)解：畫(huà)法不唯一，

當(dāng)直角邊長(zhǎng)為或時(shí)，擴(kuò)大遍即直角邊長(zhǎng)為同利用勾股定理畫(huà)出直角邊長(zhǎng)為√IU直角三角形

可以是如圖5或圖6

當(dāng)直角邊長(zhǎng)為2加時(shí)，擴(kuò)大√5即直角邊長(zhǎng)為2√TU利用勾股定理畫(huà)出直角邊長(zhǎng)為2√TΠ直角

三角形可以是如圖7或圖8等.

【解析】(1)任選一個(gè)四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)分別得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，然后將各點(diǎn)順次連接

起來(lái)即可；

(2)先任選一個(gè)三角形，然后根據(jù)各邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的石倍，得出每邊的邊長(zhǎng)，最后利

用勾股定理在方格圖中畫(huà)出邊長(zhǎng)擴(kuò)大后的三角形即可.

【練11如圖①,②,③都是3×3的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)?A,B,C均為格點(diǎn).

BB

①③

按下列要求畫(huà)圖:

⑴在圖①中,畫(huà)一條不與AB重合的線(xiàn)段MM使MN與AB關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),且M1N為格點(diǎn)

⑵在圖②中,畫(huà)一條不與AC重合的線(xiàn)段PQ,使PQ與AC關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),且P,Q為格點(diǎn).

⑶在圖③也畫(huà)一個(gè)使AOEF與AABC關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),且D,E,F為格點(diǎn).

【答案】（1）如圖①,MN即為所求（答案不唯一）.

（M

①

（2）如圖②,PQ即為所求（答案不唯一）.

（尸）

Q

②

（3）如圖③,ADEF即為所求（答案不唯一）.

【練2］如圖,在所給的方格紙中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,點(diǎn)A,8,C位于格點(diǎn)處,請(qǐng)按要求

畫(huà)出格點(diǎn)四邊形.

⑴在圖①中畫(huà)出格點(diǎn)P,使AC=CP,且以點(diǎn)4,8,C,P為頂點(diǎn)的四邊形面積為3;

⑵在圖②中畫(huà)出一個(gè)以點(diǎn)A,B,C,P為頂點(diǎn)的格點(diǎn)四邊形,使AP2+CP2=15.

,癮①中…求僭….②

P

【練3】如圖，由5個(gè)大小完全相同的小正方形擺成如圖形狀，現(xiàn)移動(dòng)其中的一個(gè)小正方形,

請(qǐng)?jiān)趫D（1）,圖（2）,圖（3）中分別畫(huà)出滿(mǎn)足以下各要求的圖形.（用陰影表示）

(1)使得圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

圖⑴圖（2）圖（3）

圖⑴圖（2）

【題型二：格點(diǎn)中的計(jì)算問(wèn)題】

【例】如圖,在5×5的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,則CosZ

BAC的值為.

A

【答案】Y

【解析】如圖,找出格點(diǎn)D,E,連接CO,AD,易知AACD是直角三角形,AGE三點(diǎn)共線(xiàn),連結(jié)BE,

A

由勾股定理可知:A82=l+9=10∕E2=ι+ι=2,8E2=4+4=8,

222

.?AB^AE+BEI

.?.△A8E是直角三角形，

.∕._AEV2V5

?.COSZBdzAC=—=-7==一,

AB√105'

故答案為，.

【練1】如圖,將正三角形ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和1個(gè)黑色菱形,這個(gè)黑色

菱形可分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形.若%=9則正三角形ABC的邊長(zhǎng)是.

n25------------------

A

【答案】12

【解析】設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為X,則高為凈,

.1√3√3

??SrΛABC=-×-×=-γ×2,

???所分成的都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

.?.結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為小心較短的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為(*H)S=∣x-l,

.?.黑色菱形的面積=UFX-K)(I-I)=*-2產(chǎn),

.m_fx釁(*2『_47

?7=]x"=五'

整理得llχ2口44x+144=0,解得Xι*(不符合題意,舍去)次12,

所以,Z?A8C的邊長(zhǎng)是12.

【練2】如圖,在AABC中,A8,8C,AC三邊的長(zhǎng)分別為企,舊,舊,求這個(gè)三角形的面積.

小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫(huà)

出格點(diǎn)aABC(即AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖W5-9①所示.這樣不需求△

ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.

⑴請(qǐng)你將44BC的面積直接填寫(xiě)在橫線(xiàn)上:.

(2)我們把上述求△A8C面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為

2√^α,√TUα,√^α(α>0),請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為α)畫(huà)出相應(yīng)的△

A8C,并求出它的面積.

⑶若AABC三邊的長(zhǎng)分別為請(qǐng)運(yùn)用構(gòu)圖

法在圖③指定區(qū)域內(nèi)畫(huà)出示意圖,并求出42BC的面積.

P■.定■—廣一■「―?L--L.■]

③

【答案】⑴2.5

（2）圖見(jiàn)解析，S=4σ2

（3）圖見(jiàn)解析，S=3mn

【解析】（1）5"BC=2X嶺IXlTX3x2?∣χlx4=2.5,

?.,Λβ=2√2α,βC=√10α,4C=√26α,

?'?S?Λ8c=2a×5σ-∣×2a×2σ-∣×3G×G-∣×a×5a=4G2.

222222

AB=y∕m÷4n,AC=y∕m÷16nz8C=2√τn+n,

/?S∕?ABc=2m×4∩-^2m×2n-→<.m×Λn--×m×2n=3mn.

【練3】如圖,在5×5的正方形方格紙中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為單位L點(diǎn)AB,C,P都在格點(diǎn)處.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中作ABCD,使ABCD是以CD為底的等腰三角形,且點(diǎn)D為格點(diǎn).

⑵在（1）的條件下,連結(jié)AD,則四邊形ABCD的面積為,再連結(jié)AC,則tanN

ACD=.

（3）請(qǐng)僅使用無(wú)刻度直尺在線(xiàn)段BC上作一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q滿(mǎn)足NPQB

=45。.（溫馨提示:點(diǎn)Q可以是非格點(diǎn)哦!）

【答案】（1）圖見(jiàn)解析

⑵10,-

3

（3）圖見(jiàn)解析

【解析】（1）

四邊形ABCD的面積=正方形ABMN的面枳-三角形BMC的面積-三角形DNC的面積

=4×4-i×2×4-i×2×2=16-4-2=10

22

由圖可得，AC=BC

(3)

A

【題型三：格點(diǎn)中的計(jì)數(shù)問(wèn)題】

【例】如圖,A,8是4×5網(wǎng)格中的格點(diǎn),網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,圖中使以A,8,C為頂

點(diǎn)的三角形是等腰三角形的格點(diǎn)C有幾個(gè)？

是4x5網(wǎng)格中的格點(diǎn)，

.M8=√22+32=√