中考數(shù)學(xué)解題技巧 31動點(diǎn)引起的等腰直角三角形存在性問題

13/13動點(diǎn)引起的等腰直角三角形存在性問題△ABP為等腰直角三角形，黑色部分為P點(diǎn)位置.【一題多解·典例剖析】例題1．（2021·湖南衡陽市中考）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如……都是“雁點(diǎn)”．（1）求函數(shù)圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）若拋物線上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)時(shí)．①求c的取值范圍；②求的度數(shù)；（3）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線上一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為或或.【解析】解：（1）聯(lián)立，解得：或即：函數(shù)上的雁點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）、（－2，－2）．（2）①聯(lián)立得ax2+4x+c=0∵這樣的雁點(diǎn)E只有一個(gè)，即該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=>1，即－1>0，>0，解得：0<c<4.②由①知，E點(diǎn)坐標(biāo)為：x=，即E在y=ax2+5x+中，當(dāng)y=0時(shí)，得：x=－，x=－即M點(diǎn)坐標(biāo)為（－，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（－，0）過E點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為H點(diǎn)，EH=，MH=∴EH=MH即△EMH為等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如圖所示：過P作直線l垂直于x軸于點(diǎn)k，過C作CH⊥PK于點(diǎn)H方法一設(shè)C（m，m），P（x，y）∵△CPB為等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，∴CH=PK，HP=KB，即∴即P（，）.方法二設(shè)P（m，－m2+2m+3），同理，CH=PK，HP=KB，則C（m－m2+2m+3，－m2+2m+3+3－m）∵C為雁點(diǎn)∴m－m2+2m+3=－m2+2m+3+3－m，解得：m=，即P（，）.②如圖所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴KP=JB，KC=JP方法一設(shè)P（x，y），C（m，m）∴KP=x－m，KC=y－m，JB=y，JP=3－x，即解得則P或方法二設(shè)P（m，－m2+2m+3），則C（m－（－m2+2m+3），－m2+2m+3－（3－m））∴m－（－m2+2m+3）=－m2+2m+3－（3－m），解得：m=③如圖所示，此時(shí)P與第②種情況重合綜上所述，符合題意P的坐標(biāo)為（，）或或.【一題多解·對標(biāo)練習(xí)】練習(xí)1．（2021·湖南省懷化市中考）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且，，．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)R在x軸上，是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，或．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x－4)，將（0,8）代入得：a=－1即拋物線的解析式為：y=－x2+2x+8；（2）存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角△CQR，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)，如圖所示過點(diǎn)Q作QL⊥x軸于點(diǎn)L，過點(diǎn)C作CK⊥QL，交其延長線于點(diǎn)K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四邊形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR為等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ≌△LQR∴RL=QK，QL=CK，設(shè)R（m，0），Q（x，y）則m－x=8－y－x=y即－x=－x2+2x+8，解得：x=或x=（舍）則Q（，）②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)，如圖所示同理可得：x=－x2+2x+8，解得：x=或x=（舍），∴Q.綜上所述，滿足題意的Q點(diǎn)坐標(biāo)為或．【多題一解·典例剖析】例題2．（2021·四川省廣安市中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個(gè)單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．（1）求、的值；（2）在、運(yùn)動的過程中，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）【解析】解：（1）∵拋物線y=－x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（－1，0），則，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=－x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點(diǎn)P的運(yùn)動可知：AP=，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE==t，即E（3－t，0），又Q（－1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC－S△APQ==∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為4.（3）如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP，∴MF=PE=t，PF=QE=4－2t，∴EF=4－2t+t=4－t，又OE=3－t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3－2t，4－t），∴4－t=－（3－2t）2+2（3－2t）+3，解得：t=或（舍），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．【多題一解·對標(biāo)練習(xí)】練習(xí)2．（2021·山東棗莊中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將直線向下平移，得到過點(diǎn)的直線，且與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，取點(diǎn)，連接，求證：．【答案】（1）y=x2－2x，M（3，－3）；（2）見解析．【解析】解：（1）∵直線AB：y=－x+3交坐標(biāo)軸與A、B∴A（6,0），B（0,3）將（6,0），（0，0）代入y=x2+bx+cx得：，解得：，∴拋物線的關(guān)系式為y=x2－2x，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，－3）；（2）由題意得：m=，將點(diǎn)(3,－3)代入y=x+n得：n=，則直線CM的解析式為y=x，如圖，過點(diǎn)D作DH⊥CM于H，設(shè)直線DM的解析式為y=2x+k，將點(diǎn)（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，則直線DH的解析式為：y=2x－4，聯(lián)立，解得，即H（1，－2），∴DH=，MH=，即DH=MH，又DH⊥CM，即三角形DHM是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM－∠ACM=45°．練習(xí)3．（2021·湖北黃石中考）拋物線（）與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，求的面積．【答案】（1）y=－x2+6x－3；（2）4.【解析】解：（1）由拋物線與y軸相交于點(diǎn)(0,－3)，得b=－3，∵拋物線的對稱軸為x=3，即，解得：a=－1∴拋物線的解析式為y=－x2+6x－3.（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AB于N，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x軸