數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽新方法(九年級(jí))-第1講-追問求根公式

第一講追問求根公式正確的看法是，數(shù)學(xué)不僅擁有真，而且擁有非凡的美-----一種像雕塑那樣冷峻而樸素的沒，一種無須我們?nèi)崛醯奶煨愿兄拿?，一種不具有繪畫和音樂那樣華麗堂皇的裝飾的美，然而又是極其純潔的美，是唯有最偉大的藝術(shù)才具有的嚴(yán)格的完美。知識(shí)縱橫形如〔〕的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的根本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運(yùn)算；它答復(fù)了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等根本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美。降次轉(zhuǎn)化是解方程的根本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問題易于解決。解題時(shí)常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法。例題求解【例1】〔1〕方程的解為?！?011年廣東中考題〕〔2〕設(shè)是整數(shù)，方程的一根是，那么的值是?！菜拇ㄊ「傎愵}〕思路點(diǎn)撥：對(duì)于〔1〕，由知原方程必有一根為-1，即有因式，故可用因式分解法解；對(duì)于〔2〕，，把代入原方程，建立關(guān)系式?！纠?】，那么〔〕。A、3B、5C、D、〔“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題〕思路點(diǎn)撥：求出a的值再代入計(jì)算，那么計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如等?！纠?】設(shè)方程求滿足該方程的所有根之和。〔重慶市競賽題〕思路點(diǎn)撥：通過討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)〔有時(shí)也用到絕對(duì)值性質(zhì)，如〕，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元方程求解【例4】如圖，點(diǎn)是直線與雙曲線的交點(diǎn)，△AOB的面積為，求直線AB的解析式?！彩呤兄锌碱}〕思路點(diǎn)撥：設(shè)直線AB解析式為那么，解題的關(guān)鍵是由S△AOB建立關(guān)于a的一元二次方程。【例5】a是正整數(shù)，如果關(guān)于x的方程的根都是整數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根?！踩珖踔袛?shù)學(xué)聯(lián)賽〕【例6】三個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足，方程有一個(gè)相同的實(shí)根，方程也有一個(gè)相同的實(shí)根．求的值．〔2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽題〕學(xué)力訓(xùn)練根底夯實(shí)假設(shè)是方程的解，那么?！睬G州市中考題〕方程的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，那么這個(gè)三角形的周長為?！睬鄭u市中考題〕關(guān)于的方程的解是，那么方程的解是?！?011年蘭州市中考題〕假設(shè)使分式的值為0，那么的取值為〔〕。A、1或-1B、-3或1C、-3D、-3或-1〔蕪湖市中考題〕假設(shè)關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，那么的值為〔〕A、1B、2C、1或2D、0〔山東省中考題〕6、〔2005?浙江〕根據(jù)以下表格的對(duì)應(yīng)值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判斷方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a、b、c為常數(shù)〕一個(gè)解的范圍是〔〕A、B、C、D、〔浙江省中考題〕先化簡，再求值：，其中滿足?！?011年重慶市中考題〕、為方程的兩實(shí)根，求代數(shù)式的值?！彩徍兄锌碱}〕是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)，使得方程有且只有一個(gè)公共的實(shí)根？如果存在，求這個(gè)實(shí)數(shù)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說明理由。能力拓展設(shè)方程的較大根為，方程的較小根為，那么的值為。、是方程的兩個(gè)根，、是方程的兩個(gè)根，那么〔山東省競賽題〕設(shè)方程的兩根為、，那么方程的兩根為?！?011年四川省競賽題〕、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的值為〔〕。A、-1B、1C、D、〔太原市競賽題〕三個(gè)關(guān)于的一元二次方程恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，那么的值為〔〕A、0B、1C、2D、3〔全國初中數(shù)學(xué)競賽題〕方程的解的個(gè)數(shù)為〔〕A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)〔2011全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題〕方程的兩根也是方程的根，求的值?！踩珖踔袛?shù)學(xué)聯(lián)賽題〕17、：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s〕，解答以下問題：

〔1〕當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

〔2〕設(shè)四邊形APQC的面積為y〔cm2〕，求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說明理由；

〔3〕設(shè)PQ的長為x〔cm〕，試確定y與x之間的關(guān)系式．〔青島市中考題〕設(shè)是方程的根，求的值〔太原市競賽題〕假設(shè)關(guān)于的方程的各根為整數(shù)，求的