數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告

數(shù)值分析——上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告學(xué)號(hào):姓名:專業(yè):聯(lián)系:任課老師:二零一一年十二月序言數(shù)值分析在現(xiàn)代科學(xué)開展中有著重要的作用，而隨著科學(xué)的開展進(jìn)步，越來越多的數(shù)值分析問題不能夠光靠人力計(jì)算，這就要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。而在利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)具體情況作出可靠的理論分析，才能夠?qū)懗霰葦M可靠的程序?，F(xiàn)在面向數(shù)值分析問題的計(jì)算機(jī)軟件有：C、C++、MATLAB、Python、Fortran等。C++是筆者在本科學(xué)過的唯一一門編程語言，但是由于學(xué)習(xí)時(shí)間較短，而且在學(xué)習(xí)時(shí)不精，再加上時(shí)間已久遠(yuǎn)，對(duì)這門編程語言課程已經(jīng)幾乎沒有多少印象了。Python是一種面向?qū)ο蟮慕忉屝缘挠?jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語言，也是一種功能強(qiáng)大而完善的通用型語言，已經(jīng)具有十多年的開展歷史，成熟且穩(wěn)定。Python具有腳本語言中最豐富和強(qiáng)大的類庫，足以支持絕大多數(shù)日常應(yīng)用。Fortran為“公式翻譯器”，它是世界上最早出現(xiàn)的計(jì)算機(jī)高級(jí)程序設(shè)計(jì)語言，廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域。Fortran語言以其特有的功能在數(shù)值、科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。MATLAB〔矩陣實(shí)驗(yàn)室〕是一個(gè)功能強(qiáng)大的軟件，是一種數(shù)值計(jì)算環(huán)境和編程語言。在當(dāng)今世界流行的30多個(gè)數(shù)學(xué)類軟件中，MATLAB語言處于數(shù)值計(jì)算型軟件的主導(dǎo)地位，適用范圍涵蓋了工程數(shù)學(xué)的各個(gè)方面。它的有點(diǎn)主要有：1、matlab是以矩陣為根底的工具，假設(shè)是編一些對(duì)速度沒有要求的，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算或者信號(hào)處理的小程序，可以用matlab，且簡(jiǎn)單。2、matlab除具備卓越的數(shù)值計(jì)算能力外，它還提供有專業(yè)水平的符號(hào)計(jì)算，文字處理，可視化建模仿真和實(shí)時(shí)控制等功能。3、matlab的根本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)，工程中常用的形式十分相似，所以用matlab來解算問題要比用C、FORTRAN等語言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多。在新版本中也參加了對(duì)C、FORTRAN、c++、JAVA的支持，使用時(shí)可以直接調(diào)用，也可將編寫的實(shí)用程序?qū)氲絤atlab函數(shù)庫中方便以后使用時(shí)調(diào)用。本次編程所用的軟件為MATLAB，希望通過這次作業(yè)，能夠?qū)λ辛顺醪降恼J(rèn)識(shí)，為以后的學(xué)習(xí)和工作奠定一定的根底。目錄1.第一題 11.1題目 11.2雅各比迭代和高斯塞德爾法迭代的思想 1雅各比算法 1高斯-塞德爾方法 1雅各比法和高斯-賽德爾迭代法的收斂條件 11.3問題的求解 21.4方法總結(jié) 52.第二題 62.1題目 62.2松弛思想分析 62.3問題的求解 62.4方法總結(jié) 133.第三題 143.1題目 143.2Runge-Kutta法的根本思想 143.3問題的求解 143.4問題的總結(jié) 15總結(jié) 16附件 17第一題：雅閣比和高斯-賽德爾迭代法 17第二題：SOR法 19第三題：四階Runge-Kutta算法 201.第一題1.1題目用雅格比法與高斯－賽德爾迭代法解以下方程組Ax=b，研究其收斂性，上機(jī)驗(yàn)證理論分析是否正確，比擬它們的收斂速度，觀察右端項(xiàng)對(duì)迭代收斂有無影響。(1)A行分別為：A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T；(2)A行分別為：A1=[1,0,8,0.8],A2=[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0,-10]T；(3)A行分別為：A1=[1,3],A2=[-7,1]；b=[4,6]T；1.2雅各比迭代和高斯塞德爾法迭代的思想迭代法是將方程組Ax=b轉(zhuǎn)化為x=Bx+f，構(gòu)成了迭代格式：x(k+1)=Bxk+fk=0,1,2n反復(fù)適用該式子，產(chǎn)生了{(lán)xk}的向量序列，如果這個(gè)向量序列收斂于x*，那么有x*是方程組的解。因此，根據(jù)精度的要求選擇一個(gè)適宜的xk作為近似解。這就是線性方程組的迭代法。雅各比算法將系數(shù)矩陣A分解為：A=L+U+D，那么推到的最后迭代公式為：x=-D-1(L+U)x(k)+D-1b其中，迭代矩陣為BJ=-D-1(L+U)高斯-塞德爾方法高斯-塞德爾方法是從雅各比演變而來的，其矩陣形式為x(k+1)=-D-1(Lx(k+1)+Ux(k))+D-1b其中，高斯-塞德爾迭代矩陣BG=-(D+L)-1U雅各比法和高斯-賽德爾迭代法的收斂條件根據(jù)定理可知，方程組x=Bx+f有唯一解x*，對(duì)于任意初始向量x(0)和常向量f∈Rn迭代格式均收斂于x*的充要條件是ρ(B)<1。1.3問題的求解按照以上分析的思量，用MATLAB編寫程序，解上述3個(gè)問題。解：〔1〕在MATLAB中運(yùn)行程序，輸入A=，b=[-3,2,4]T初始向量x=[1,1,1]T。設(shè)置的求解精度為0.5×10?4，雅各比M語言程序[x,k]=Jacobi(A,b)B矩陣的譜范數(shù)為：0.5427<1，所以收斂；x=[-0.72730.80810.2525]T迭代次數(shù)：k=19表1雅各比解的迭代過程(b1)步數(shù)X1X2X3εk1-0.666666666666670.750000000000001.500000000000001.757918592477422-0.5000000000000030.270833333333330.7628939227347940.865451388888895-0.7693865740740760.2389322916666770.795509620949070.267885561342598-0.720522280092590.252005117910889-0.730326460222160.25536280502508100.250721872588730.0074854690532811-0.728300693757900.806898580166540.252821313991470.0045111087111712-0.726829307723600.808485830435210.252049834639940.0022977207548313-0.727486971038410.807732244250870.25275656159850140.808250023558850.252451710658470.0007051085908915-0.727341389409870.808005352283540.252599003247380.0003625843506216-0.727235283553280.2524926198717117-0.727296179680100.808055130824180.2525398250910018-0.727261739426230.808093957465520.252514082533880.0000579337415719-0.727278972066190.808072476123500.252530206063950.00003191206915高斯—塞德爾法M語言程序[x,k]=Gau_Seid(A,b)B矩陣的譜范數(shù)為：0.3536<1，所以收斂；x=[-0.72730.80810.2525]T迭代次數(shù)：k=11表2高斯—塞德爾法迭代過程(b1)步數(shù)X1X2X3εk1-0.666666666666670.208333333333331.8526445062846420.399722617718153-0.746744791666670.2489013671875040.802759806315100.264382680257160.053407960649665-0.723522822062170.254089872042346-0.728675703207650.809213861823080.007060342268757-0.727872994417950.807563127173730.252204472393110.0020973586559380.807890643777990.252662116311210.0009133399033390.252578181021700.0002536108724410-0.727279533259980.2525131065985511-0.727284140175520.808077588343160.252517497782570.00003202428284用雅各比經(jīng)過19步迭代到達(dá)了預(yù)定的精度，其解為：X1=-0.727，X2=0.808，X3=0.253譜半徑ρ(B)=0.54。用高斯-塞德爾算法經(jīng)過11步迭代得到的解為：X1=-0.727，X2=0.808，X3=0.253譜半徑為ρ(B)=0.35。在MATLAB中運(yùn)行程序，輸入A=，b=[100,-200.345]T初始向量x=[1,1,1]T。設(shè)置的求解精度為0.5×10?4，雅各比M語言程序[x,k]=Jacobi(A,b)B矩陣的譜范數(shù)為：0.5427<1，所以收斂；x=[36.3636-2.0707114.0404]T迭代次數(shù)：k=25表3雅各比法迭代過程〔b2〕步數(shù)X1X2X3εk116.5000-49.7586.7500100.8408247.7083-10.7500111.062555.5523338.7604-6.3958124.718816.8973439.58512.6693116.919311.98702436.3636-2.0707114.04040.0000高斯—塞德爾法M語言程序[x,k]=Gau_Seid(A,b)B矩陣的譜范數(shù)為：0.3536<1，所以收斂；x=[36.3636-2.0707114.0404]T迭代次數(shù)：k=16表4高斯-塞德爾法迭代過程(b2)步數(shù)X1X2X3εk116.5000-53.62512.0312124.7080253.2135-7.2878127.982161.2328340.42633.8845115.598621.0163434.6383-0.8603112.44388.12201636.3636-2.0707114.04040.0000〔2〕在MATLAB中運(yùn)行程序，輸入A=，b=[3,2,1]T初始向量x=[1,1,1]T。設(shè)置的求解精度為0.5×10?4，用雅各比算法，其譜半徑為：ρ(B)=1.6>1由此可知雅各比迭代法不收斂。而高斯-塞德爾的譜半徑為ρ(B)=0.72由此可知，高斯-塞德爾法是收斂的。高斯塞德爾法M語言程序：[x,k]=Gau_Seid(A,b)B矩陣的譜范數(shù)為：0.7155<1，所以收斂；x=[5.76920.7692-4.2307]T迭代次數(shù)：k=36表5高斯-塞德爾迭代求解過程(b1)步數(shù)X1X2X3εk11.40000.08000.18401.551923.0832-0.3194-1.21112.011834.2243-0.4106-2.05101.419944.9693-0.3346-2.70770.9960345.76910.7692-4.23070.0000在MATLAB中運(yùn)行程序，輸入A=，b=[5,0,-10]T初始向量x=[1,1,1]T。設(shè)置的求解精度為0.5×10?4高斯塞德爾法M語言程序[x,k]=Gau_Seid(A,b)B矩陣的譜范數(shù)為：0.7155<1，所以收斂；x=[32.69237.6923-42.3077]T迭代次數(shù)：k=40表6高斯-塞德爾迭代求解過程(b2)步數(shù)X1X2X3εk13.4000-3.5200-9.904012.0452215.7392-4.6682-18.856815.2881323.8200-3.9705-25.879610.7287428.8801-2.4004-31.18377.49694032.69237.6922-42.30760.0000〔3〕在MATLAB中運(yùn)行程序，輸入A=，b1=[4；6]，初始向量x=[1,1,1]T，設(shè)置求解精度為0.5×10?4。解得迭代結(jié)果如下：用雅各比算法迭代得到ρ(B)=4.6>1，故迭代過程不收斂。用高斯-塞德爾算法迭代得ρ(B)=21>1，迭代過程不收斂。1.4方法總結(jié)在用雅閣比和高斯-塞德爾迭代式時(shí)，可以得出以下結(jié)論：1、從第一題可以看出，高斯-塞德爾的收斂速度比雅閣比的迭代法的收斂速度要快，其迭代的次數(shù)要少很多。2、在一個(gè)方程中，雅閣比迭代法不收斂，并不意味著高斯-塞德爾方法不收斂，從第二小題就可以看出，他們的收斂與否相互之間沒有必然的聯(lián)系。3、從理論上來講，高斯-塞德爾迭代方法比雅閣比方法要好。2.第二題2.1題目松弛因子對(duì)SOR法收斂速度的影響。用SOR法求解方程組Ax=b,其中要求程序中不存系數(shù)矩陣A,分別對(duì)不同的階數(shù)取w=1.1,1.2,...,1.9進(jìn)行迭代，記錄近似解x(k)到達(dá)||x(k)-x(k-1)||<10-6時(shí)所用的迭代次數(shù)k，觀察松弛因子對(duì)收斂速度的影響，并觀察當(dāng)w0或w2會(huì)有什么影響？2.2松弛思想分析SOR法〔松弛法〕，是由高斯-塞德爾迭代方法演變來的。高斯-塞德爾迭代方法的迭代格式為，而松弛法的迭代格式為，通過大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，ω的取值很關(guān)鍵，如果取了好的ω，迭代方程的收斂速度會(huì)加快，根據(jù)理論根底可以知道，當(dāng)0<ω<2時(shí)松弛法才能夠收斂。2.3問題的求解1、當(dāng)ω=1.1時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為：x1=1.000000054x2=1.000000314x3=0.9999998714x4=1.000000007x5=0.9999999898x6=0.9999999957x7=0.9999999995x8=0.9999999996x9=0.9999999998x10=1迭代次數(shù)為72次。當(dāng)ω=1.1時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為：x1=1.000000021 x2=1.00000031 x3=1.000000044 x4=0.9999999973 x5=1.000000001x6=1.000000002 x7=1.000000001 x8=1 x9=1 x10=1x11=1 x12=1 x13=1 x14=1 x15=1 x16=1 x17=1 x18=1 x19=1 x20=1x21=1 x22=1 x23=1 x24=1 x25=1 x26=1 x27=1 x28=1 x29=1 x30=1x31=1 x32=1 x33=1 x34=1 x35=1 x36=1 x37=1 x38=1 x39=1 x40=1x41=1 x42=1 x43=1 x44=1 x45=1 x46=1 x47=1 x48=1 x49=1 x50=1x51=1 x52=1 x53=1 x54=1 x55=1 x56=1 x57=1 x58=1 x59=1 x60=1x61=1 x62=1 x63=1 x64=1 x65=1 x66=1 x67=1 x68=1 x69=1 x70=1x71=1 x72=1 x73=1 x74=1 x75=1 x76=1 x77=1 x78=1 x79=1 x80=1x81=1 x82=1 x83=1 x84=1 x85=1 x86=1 x87=1 x88=1 x89=1 x90=1x91=1 x92=1 x93=1 x94=1 x95=1 x96=1 x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為117次2、當(dāng)ω=1.2時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為x1=1.000000253 x2=1.000000856 x3=1.000000067 x4=1x5=1.000000057x6=1.000000025 x7=1.000000003 x8=1.000000003 x9=0.9999999986 x10=1.000000001迭代次數(shù)為101次當(dāng)ω=1.2時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為x1=1 x2=1 x3=1 x4=1x5=1 x6=1.96309e+012 x7=-6.67265e+013 x8=1.10211e+015x9=-1.17797e+016 x10=9.15377e+016 x11=-5.50821e+017 x12=2.66922e+018x13=-1.06945e+019x14=3.60907e+019 x15=-1.0397e+020 x16=2.58173e+020x17=-5.56428e+020x18=1.04565e+021 x19=-1.71763e+021 x20=2.46738e+021x21=-3.09406e+021x22=3.37159e+021 x23=-3.16617e+021 x24=2.52585e+021x25=-1.66928e+021x26=8.70018e+020 x27=-3.16282e+020 x28=4.28076e+019x29=3.35041e+019x30=-2.47667e+019 x31=4.92451e+018 x32=2.61277e+018x33=-1.8035e+018 x34=5.53864e+016 x35=3.18307e+017 x36=-7.84707e+016x37=-4.48812e+016x38=2.08621e+016 x39=6.02677e+015 x40=-4.32756e+015x41=-9.05275e+014x42=8.20085e+014 x43=1.71915e+014 x44=-1.4677e+014x45=-3.96858e+013x46=2.4197e+013 x47=9.69684e+012 x48=-3.3509e+012x49=-2.25323e+012x50=2.73109e+011 x51=4.64463e+011 x52=3.6976e+010x53=-7.84681e+010x54=-2.40931e+010 x55=8.8772e+009 x56=6.66353e+009x57=1.03353e+008 x58=-1.20336e+009 x59=-3.64718e+008 x60=1.13069e+008x61=1.02405e+008 x62=1.20907e+007 x63=-1.48447e+007 x64=-7.30784e+006x65=154636 x66=1.39775e+006 x67=489937 x68=-70020.5x69=-116771 x70=-33474.4 x71=7763.35 x72=9286.62x73=2480.13 x74=-626.075 x75=-718.354 x76=-201.634x77=40.1718 x78=54.9869 x79=18.6465 x80=-0.460157x81=-2.81 x82=-0.539144 x83=0.936298 x84=1.23816x85=1.1263 x86=1.02052 x87=0.988477 x88=0.99085x89=0.997404 x90=1.00023 x91=1.00053 x92=1.00023x93=1.00003 x94=0.99998 x95=0.999986 x96=0.999996x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為95次3、當(dāng)ω=1.3時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為x1=0.9999997193 x2=0.9999995126 x3=1.000000074 x4=0.9999995126x5=0.999999827 x6=1.000000036 x7=0.9999999761 x8=0.9999999584x9=1.000000014 x10=0.9999999892 迭代次數(shù)為133次當(dāng)加速因子為：1.3當(dāng)ω=1.3時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為x1=1.00000006 x2=1.00000059 x3=1.00000012x4=0.999999931x5=0.999999989 x6=1.00000001 x7=0.999999984 x8=0.999999983x9=0.999999996 x10=1 x11=0.999999999 x12=0.999999999x13=1 x14=1 x15=1 x16=1 x17=1 x18=1 x19=1x20=1x21=1 x22=1 x23=1 x24=1 x25=1 x26=1 x27=1 x28=1 x29=1 x30=1x31=1 x32=1 x33=1 x34=1 x35=1 x36=1 x37=1 x38=1 x39=1 x40=1x41=1 x42=1 x43=1 x44=1 x45=1 x46=1 x47=1 x48=1 x49=1 x50=1x51=1 x52=1 x53=1 x54=1 x55=1 x56=1 x57=1 x58=1 x59=1 x60=1x61=1 x62=1 x63=1 x64=1 x65=1 x66=1 x67=1 x68=1 x69=1 x70=1x71=1 x72=1 x73=1 x74=1 x75=1 x76=1 x77=1 x78=1 x79=1 x80=1x81=1 x82=1 x83=1 x84=1 x85=1 x86=1 x87=1 x88=1 x89=1 x90=1x91=1 x92=1 x93=1 x94=1 x95=1 x96=1 x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為178次4、當(dāng)ω=1.4時(shí)，設(shè)階數(shù)為10方程組的解為：x1=1.00000323 x2=1.00001382 x3=1.00001102 x4=0.999997945x5=1.00001324 x6=0.999996457 x7=1.00000436 x8=1.00000219x9=1.00000032 x10=0.999999973迭代次數(shù)為170次當(dāng)ω=1.4時(shí)，設(shè)階數(shù)為100方程組的解為：x1=0.999999836 x2=0.999999524 x3=0.999999643 x4=0.999999991x5=1.00000009 x6=1.00000002 x7=1 x8=1.00000002x9=1.00000002 x10=1 x11=0.999999994 x12=0.999999996x13=0.999999999 x14=0.999999999x15=0.999999999 x16=1x17=1 x18=1 x19=1 x20=1x21=1 x22=1 x23=1 x24=1 x25=1 x26=1 x27=1 x28=1 x29=1 x30=1x31=1 x32=1 x33=1 x34=1 x35=1 x36=1 x37=1 x38=1 x39=1 x40=1x41=1 x42=1 x43=1 x44=1 x45=1 x46=1 x47=1 x48=1 x49=1 x50=1x51=1 x52=1 x53=1 x54=1 x55=1 x56=1 x57=1 x58=1 x59=1 x60=1x61=1 x62=1 x63=1 x64=1 x65=1 x66=1 x67=1 x68=1 x69=1 x70=1x71=1 x72=1 x73=1 x74=1 x75=1 x76=1 x77=1 x78=1 x79=1 x80=1x81=1 x82=1 x83=1 x84=1 x85=1 x86=1 x87=1 x88=1 x89=1 x90=1x91=1 x92=1 x93=1 x94=1 x95=1 x96=1 x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為218次〔5〕當(dāng)ω=1.5時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為：x1=0.999999985 x2=0.999999695 x3=0.99999989 x4=0.999999847x5=0.999999951 x6=0.999999945 x7=0.999999967 x8=0.999999974x9=1 x10=0.999999996迭代次數(shù)為231次當(dāng)ω=1.5時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為：x1=0.999999566 x2=0.999998608 x3=0.999998914x4=1.00000013x5=1.00000064 x6=1.00000034 x7=1.00000002 x8=0.999999988x9=1.00000003 x10=0.999999987 x11=0.999999931 x12=0.999999944x13=0.999999994 x14=1.00000002 x15=1.00000001 x16=1x17=1 x18=1 x19=1 x20=0.999999998x21=0.999999997 x22=0.999999999 x23=1x24=1x25=1x26=1x27=1 x28=1 x29=1 x30=1x31=1 x32=1 x33=1 x34=1 x35=1 x36=1 x37=1 x38=1 x39=1 x40=1x41=1 x42=1 x43=1 x44=1 x45=1 x46=1 x47=1 x48=1 x49=1 x50=1x51=1 x52=1 x53=1 x54=1 x55=1 x56=1 x57=1 x58=1 x59=1 x60=1x61=1 x62=1 x63=1 x64=1 x65=1 x66=1 x67=1 x68=1 x69=1 x70=1x71=1 x72=1 x73=1 x74=1 x75=1 x76=1 x77=1 x78=1 x79=1 x80=1x81=1 x82=1 x83=1 x84=1 x85=1 x86=1 x87=1 x88=1 x89=1 x90=1x91=1 x92=1 x93=1 x94=1 x95=1 x96=1 x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為270次〔6〕當(dāng)ω=1.6時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為：x1=1.00000013 x2=0.9999996 x3=0.999999814 x4=0.999999956x5=0.999999764 x6=1.00000001 x7=0.999999887 x8=0.999999973x9=0.999999933 x10=1.00000001迭代次數(shù)為311次當(dāng)ω=1.6時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為：x1=1.00000015 x2=0.999999473 x3=0.999999923 x4=0.999999452x5=0.999999889 x6=0.99999968 x7=0.999999828 x8=0.999999922x9=0.999999849 x10=0.999999962 x11=0.999999924 x12=0.999999949x13=0.99999998 x14=0.999999958 x15=0.999999984 x16=0.999999986x17=0.999999985 x18=0.999999998 x19=0.999999993 x20=0.999999995x21=0.999999999 x22=0.999999996 x23=0.999999999 x24=0.999999999x25=0.999999999 x26=1 x27=1 x28=1 x29=1 x30=1x31=1 x32=1 x33=1 x34=1 x35=1 x36=1 x37=1 x38=1 x39=1 x40=1x41=1 x42=1 x43=1 x44=1 x45=1 x46=1 x47=1 x48=1 x49=1 x50=1x51=1 x52=1 x53=1 x54=1 x55=1 x56=1 x57=1 x58=1 x59=1 x60=1x61=1 x62=1 x63=1 x64=1 x65=1 x66=1 x67=1 x68=1 x69=1 x70=1x71=1 x72=1 x73=1 x74=1 x75=1 x76=1 x77=1 x78=1 x79=1 x80=1x81=1 x82=1 x83=1 x84=1 x85=1 x86=1 x87=1 x88=1 x89=1 x90=1x91=1 x92=1 x93=1 x94=1 x95=1 x96=1 x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為354次〔7〕當(dāng)ω=1.7時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為：x1=1 x2=1.00000139 x3=0.999999586 x4=1.00000099x5=1.00000022 x6=1.00000056 x7=1.00000002 x8=1.00000031x9=1.00000006x10=1.0000001迭代次數(shù)為441次當(dāng)ω=1.7時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為：x1=1.00000006 x2=1.00000077 x3=1.00000014 x4=0.999999879x5=1.00000007 x6=0.999999843 x7=0.999999628 x8=0.999999883x9=1.00000005 x10=0.999999941x11=0.999999951 x12=1.00000007x13=1.00000005 x14=1.00000001 x15=1.00000005 x16=1.00000005x17=1 x18=0.999999986 x19=1 x20=0.999999991x21=0.99999997 x22=0.999999983 x23=1 x24=0.999999998x25=0.999999999 x26=1.00000001 x27=1.00000001 x28=1x29=1 x30=1 x31=1 x32=0.999999999x33=0.999999999 x34=1 x35=0.999999999 x36=0.999999998x37=0.999999999 x38=1 x39=1 x40=1x41=1 x42=1 x43=1 x44=0.999999999x45=1 x46=0.999999999 x47=1 x48=0.999999999x49=1 x50=0.999999999 x51=1 x52=1x53=1x54=1 x55=1 x56=1 x57=1 x58=1 x59=1 x60=1x61=1 x62=1 x63=1 x64=1 x65=1 x66=1 x67=1 x68=1 x69=1 x70=1x71=1 x72=1 x73=1 x74=1 x75=1 x76=1 x77=1 x78=1 x79=1 x80=1x81=1 x82=1 x83=1 x84=1 x85=1 x86=1 x87=1 x88=1 x89=1 x90=1x91=1 x92=1 x93=1 x94=1 x95=1 x96=1 x97=1 x98=1 x99=1 x100=1迭代次數(shù)為482次〔8〕當(dāng)ω=1.8時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為：x1=4.35735725e+013x2=3.2400734e+013x3=4.0132189e+013x4=1.09454667e+013x5=4.94478e+013x6=2.63808027e+013x7=4.17763996e+013x8=2.00831054e+013x9=3.05324259e+013x10=2.20962274e+013迭代次數(shù)為500次當(dāng)ω=1.8時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為：x1=5.96013446e+016x2=-8.35017153e+016x3=-1.26868909e+017x4=-4.93877921e+015x5=1.8045084e+015x6=-6.89903944e+016x7=-2.23492518e+016x8=4.59908708e+016x9=2.62247449e+016x10=1.96133857e+016x11=5.30890667e+016x12=3.17846147e+016x13=-1.9430906e+016x14=-1.7620796e+016x15=6.4211826e+013x16=-1.78901526e+016x17=-2.83175036e+016 x18=-6.13087939e+015x19=6.21043604e+015x20=-2.4022951e+015 x21=3.70088308e+014x22=1.09572238e+016x23=8.39301526e+015 x24=5.75864622e+014x25=6.21908636e+015x26=6.93985006e+015 x27=7.41331427e+014x28=-9.19644718e+015x29=-1.45210279e+015 x30=-6.09056721e+015x31=2.05950415e+014x32=-9.06634008e+015 x33=8.53822647e+015x34=-6.37955468e+015x35=1.06669907e+016 x36=-9.55649478e+015x37=1.45647075e+016x38=-1.1096871e+016 x39=1.17813996e+016x40=-1.14971412e+016x41=1.08729542e+016 x42=-8.85234927e+015x43=4.88222785e+015x44=-4.9119435e+015 x45=1.24633892e+015x46=-5.0110037e+014x47=-1.82447346e+015 x48=2.42928398e+015x49=-1.34733888e+015x50=2.00071929e+015 x51=-5.56685957e+014x52=4.10258958e+014x53=8.84107088e+014 x54=-9.78606461e+014x55=6.10242549e+014x56=-6.16582962e+014 x57=6.23030267e+013x58=5.20096325e+013x59=-6.25736541e+014 x60=3.1825828e+014x61=-2.62454351e+014x62=-5.27188787e+013 x63=1.77330757e+014x64=-1.1270538e+014x65=3.22367283e+014 x66=3.59070824e+013x67=-3.14144029e+013x68=1.72491149e+014 x69=-9.06578362e+013x70=-1.79417497e+012x71=-1.98622765e+013 x72=-1.11437257e+014x73=4.37247149e+013x74=-4.29880445e+013 x75=-5.58309694e+013x76=3.9420982e+013x77=-2.65531756e+013 x78=3.67221103e+012x79=2.70735247e+013x80=-1.17291315e+013 x81=3.80040401e+013x82=2.63742845e+013x83=-1.07944903e+013 x84=1.70721216e+013x85=3.88570916e+011x86=-1.53534784e+013 x87=-1.43291747e+011x88=-1.41652426e+013x89=-1.0175359e+013 x90=4.99970689e+012x91=-7.30740135e+012x92=-3.95541793e+012 x93=6.2256858e+012x94=-1.14575502e+012x95=9.38156674e+011 x96=4.82712064e+012x97=5.65878449e+010x98=3.38495883e+012 x99=4.78738773e+012x100=-1.04086008e+012迭代次數(shù)為500次〔9〕當(dāng)ω=1.9時(shí)，設(shè)階數(shù)為10，方程組的解為：x1=2.70017718e+039 x2=7.19476503e+038 x3=1.52596563e+039 x4=1.22447873e+039x5=1.40095031e+039 x6=1.9709555e+038 x7=8.73571764e+038x8=-5.92365593e+037x9=4.66598312e+038x10=-3.62620507e+038迭代次數(shù)為500次當(dāng)ω=1.9時(shí)，設(shè)階數(shù)為100，方程組的解為：x1=-1.04549429e+040 x2=-8.56043958e+039 x3=7.96505176e+039x4=5.82091058e+039 x5=-2.99287477e+039 x6=6.60916236e+039x7=1.36423837e+040 x8=3.30740687e+039 x9=-2.30612452e+039x10=7.84811961e+038 x11=-4.54814141e+039 x12=-1.0723743e+040x13=-4.39616983e+039 x14=1.26739322e+039 x15=-2.47020842e+039x16=-2.00386712e+039 x17=5.10487339e+039 x18=5.5042226e+039x19=6.79500237e+038 x20=1.48377189e+039 x21=4.0453535e+039x22=8.20986563e+038 x23=-2.07463418e+039 x24=-8.17592493e+038x25=-1.02832106e+039 x26=-5.05095908e+039 x27=-3.76143397e+039x28=-5.78161658e+038 x29=2.28059054e+039 x30=-1.30112057e+039x31=3.60758082e+039 x32=4.83734107e+038 x33=5.80651509e+039x34=-5.14698399e+039 x35=7.21987617e+039 x36=-7.7589538e+039x37=9.21648774e+039 x38=-1.39468098e+040 x39=1.34099843e+040x40=-1.597652e+040 x41=1.47913682e+040 x42=-1.81928495e+040x43=1.64491682e+040 x44=-1.37798822e+040 x45=1.31420471e+040x46=-8.55388939e+039 x47=7.90715314e+039 x48=-2.34584742e+039x49=4.8329525e+038 x50=7.61429626e+038 x51=-1.88398901e+039x52=1.00270662e+039 x53=-1.5655268e+039 x54=-1.35057328e+039x55=1.79350175e+039 x56=-2.66495479e+039 x57=1.92986676e+039x58=-1.65434758e+039 x59=1.02712315e+039 x60=9.53954036e+038x61=-6.67820232e+038 x62=1.60800593e+039 x63=4.03591242e+037x64=-2.80270905e+037 x65=4.69477046e+038 x66=-1.29619801e+039x67=4.76435516e+038 x68=-5.21679755e+038 x69=-8.11958776e+038x70=3.96884803e+038 x71=-4.67071486e+038 x72=1.55120537e+038x73=2.65829277e+038 x74=-4.00630412e+038 x75=6.15250087e+038x76=2.01575053e+038 x77=-1.04173933e+038 x78=5.47541164e+038x79=-1.9681141e+037 x80=4.05988189e+037 x81=1.19962121e+038x82=-4.71159154e+038 x83=-8.36605653e+037 x84=-3.33749477e+037x85=-3.98843082e+038 x86=1.10733515e+037 x87=2.64832073e+037x88=-9.11466682e+037 x89=2.02308775e+038 x90=1.25412456e+037x91=-2.0525618e+037 x92=2.56179234e+038 x93=3.83628455e+037x94=-1.00488412e+037 x95=1.67790412e+038 x96=-3.34897047e+036x97=-3.40698312e+037 x98=1.7692398e+037 x99=-1.5696003e+038x100=-1.07994104e+038迭代次數(shù)為500次2.4方法總結(jié)〔1〕在此題中，迭代次數(shù)和矩陣的未知數(shù)有以及ω的取值有一定的聯(lián)系，不一定是未知數(shù)多迭代次數(shù)就多，也有可能在取相同ω時(shí)，未知數(shù)多迭代次數(shù)反而較少，這和SOR法的迭代原理有關(guān)?！?〕當(dāng)ω≤0或ω≥2.0，SOR法不收斂，這是必要條件。3.第三題3.1題目用Runge-Kutta4階算法對(duì)初值問題y/=-20*y，y(0)=1按不同步長(zhǎng)求解，用于觀察穩(wěn)定區(qū)間的作用，推薦兩種步長(zhǎng)h=0.1,0.2。注：此方程的精確解為：y=e-20x3.2Runge-Kutta法的根本思想Runge-Kutta法的根本思想是通過f(x,y)某些點(diǎn)函數(shù)值的適當(dāng)線性組合替換Euler法中的f(xk,yk)，可能使得方法的精確度更高。由于有了這種思想，因此標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta的算法如下(h為求解步長(zhǎng)〕：K1=hf(xk,yk)如果yk某種方法第k步的近似值，y(xk)是其準(zhǔn)確值，其絕對(duì)誤差為δk，即有δk=y(xk)-yk。假定第k步之后的計(jì)算不再有舍入誤差，只是由δk引起的擾動(dòng)δm，都有︳δm︳<︳δk︳，那么稱此方法是絕對(duì)穩(wěn)定的。數(shù)值解法的穩(wěn)定性一般與步長(zhǎng)h以及f(x,y)有關(guān)。3.3問題的求解在MATLAB中按照標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta的算法編寫程序代碼，并且運(yùn)行程序。解：首先探討不同步長(zhǎng)下算法穩(wěn)定的問題，取不同步長(zhǎng)得到求解的微分方程的解同精確解的誤差分別如表7、表8。表7h=0.1下的Runge-Kutta四階算法xkyky(xk)εk0.333333333333320.200000000000000.0.092795472222370.300000000000000.037037037037030.002478752176670.034558284860370.400000000000000.000335462627900.500000000000000.000045399929760.004069826407690.600000000000000.000006144212350.700000000000000.000457247370830.000000831528720.000456415842110.800000000000000.000000112535170.900000000000000.000050805263430.000000015229980.000050790033451.000000000000000.000016935087810.000000002061150.00001693302665表8h=0.2下的Runge-Kutta四階算法xk〔*10-3〕yk〔*10-3〕y(xk)〔*10-3〕εk〔*10-3〕0.000200000000000.005000000000000.000018315638890.004981684361110.000400000000000.025000000000000.000000335462630.024999664537370.000600000000000.000000006144210.000800000000000.625000000000040.000000000112540.624999999887500.000000000002063.4問題的總結(jié)〔1〕用標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta算法計(jì)算常微分方程時(shí)，不同的步長(zhǎng)算法的穩(wěn)定性有影響。不夠穩(wěn)定的步長(zhǎng)下面的計(jì)算，誤差會(huì)越來越大，結(jié)果失真嚴(yán)重?！?〕一般情況下，步長(zhǎng)越小，標(biāo)準(zhǔn)的四階Runge-Kutta算法的穩(wěn)定性越高，精度也越高?？偨Y(jié)通過此次數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)，認(rèn)識(shí)到了計(jì)算機(jī)編程在數(shù)值分析課程中的重要性。也讓我意識(shí)到了學(xué)習(xí)編程語言的重要性。要想要將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際工程中，特別是對(duì)于工科的學(xué)生來講，這是一門非常重要的實(shí)踐課程。在此次報(bào)告中，首次接觸了Matlab這門軟件，之所以選這門，是因?yàn)楹芏喙こ讨袑?duì)數(shù)據(jù)的處理需要使用，這對(duì)我本身的專業(yè)是非常重要的。雖然之前學(xué)過C++，但是對(duì)于這門新的計(jì)算語言還是很頭痛的，例如對(duì)函數(shù)的定義、調(diào)用以及很多形式方面跟之前的比擬，還是有了很大的差異，這不得不使我在編程上面再次下功夫了。本學(xué)期學(xué)習(xí)的數(shù)值分析方法，讓我在對(duì)數(shù)學(xué)的理解上又有了新的認(rèn)識(shí)。在一連串看似雜亂無章的數(shù)據(jù)中，用數(shù)值分析進(jìn)行處理，有了很多的收獲。在學(xué)習(xí)的過程中，意識(shí)到了這門課對(duì)我專業(yè)的重要性，讓我對(duì)自己的專業(yè)有了更好的發(fā)揮。對(duì)我寫論文以及解決實(shí)際工程問題有很大的幫助。最后，感謝老師給我這樣的時(shí)機(jī)去接觸這門語言，雖然只了解了皮毛，可是仍然收獲頗多。由于初次接觸這門軟件，在報(bào)告中仍難免會(huì)有不完善甚至錯(cuò)誤的地方，望諒解！附件第一題：雅閣比和高斯-賽德爾迭代法function[m,kj,p,kg]=jacbseder3(A,b,x)globalXgglobalXjA=input('請(qǐng)輸入矩陣系數(shù)A')b=input('請(qǐng)輸入矩陣b')x0=input('請(qǐng)輸入初始向量x’)x=x0;kj=1;kg=1;fori=1:1:3;%對(duì)矩陣進(jìn)行LUD分解forj=1:1:3;ifi>jL(i,j)=A(i,j);U(i,j)=0;D(i,j)=0;elseifi<jL(i,j)=0;U(i,j)=A(i,j);D(i,j)=0;elseL(i,j)=0;U(i,j)=0;D(i,j)=A(i,j);endj=j+1;endi=i+1;endL;U;D;inv(D);Bj=-1*inv(D)*(L+U)