2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（天津卷）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第二次模擬考試（天津卷）數(shù)學(xué)第I卷參考公式：?如果事件A、B互斥，那么．?如果事件A、B相互獨(dú)立，那么．?球的體積公式，其中R表示球的半徑．?圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高。一、選擇題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，，所以.故選：D.2．已知且，則“”是“函數(shù)是增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)；當(dāng)是增函數(shù)時(shí)，或，所以“”是“函數(shù)是增函數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.3．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗D〖解析〗由于的定義域?yàn)?又，所以為奇函數(shù)，故可排除AB,由于當(dāng)時(shí)，，故排除C，故選：D4．若，則（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，所?故選：B.5．已知的一段圖像如圖所示，則（

）A．B．的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是一個(gè)奇函數(shù)的圖象〖答案〗C〖解析〗由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，即，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C6．燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍如圖，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分除去兩個(gè)球冠如圖，球冠是由球面被一個(gè)平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積已知該燈籠的高為，圓柱的高為，圓柱的底面圓直徑為，則圍成該燈籠所需布料的面積為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意得圓柱的底面圓直徑為，半徑為，即球冠底面圓半徑為.已知該燈籠的高為，圓柱的高為，所以該燈籠去掉圓柱部分的高為，所以，得，，所以兩個(gè)球冠的表面積之和為，燈籠中間球面的表面積為．因?yàn)樯舷聝蓚€(gè)圓柱的側(cè)面積之和為，所以圍成該燈籠所需布料的面積為．故選：B．7．某品牌手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了開業(yè)以來前5個(gè)月的手機(jī)銷量情況如下表所示：時(shí)間x12345銷售量y（千只）0.50.71.01.21.6若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)B．線性回歸方程中，C．時(shí)，殘差為0.06D．可以預(yù)測(cè)時(shí)，該商場(chǎng)手機(jī)銷量約為1.81千只〖答案〗B〖解析〗對(duì)A，由圖表可知，變量y與x正相關(guān)，且，即變量y與x正相關(guān)，A正確；對(duì)B，由圖表數(shù)據(jù)可得，因?yàn)闃颖局行臐M足回歸直線，所以，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)C，時(shí)，殘差為，C正確；對(duì)D，時(shí)，該商場(chǎng)手機(jī)銷量約為千只，D正確；故選:B.8．已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為，，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的方程為，在橢圓中，則，因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?，所以，由橢圓的定義可知，，所以，再由雙曲線的定義可得，所以，因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.9．已知函數(shù)，是函數(shù)的4個(gè)零點(diǎn)，且，給出以下結(jié)論：①m的取值范圍是；②；③的最小值是4；④的最大值是.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗A〖解析〗作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)槭呛瘮?shù)的4個(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，且，結(jié)合圖象可知：，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由圖可知，，則，所以，，則，所以，所以，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，或，結(jié)合圖象可知，，由得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然不滿足，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最大值是，故④正確.綜上，正確結(jié)論為④，共1個(gè).故選：A.第II卷二、填空題10．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則.〖答案〗〖解析〗∵，∴.故〖答案〗為：11．已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.〖答案〗〖解析〗由題意得隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，由，所以，即求的常數(shù)項(xiàng)，由二項(xiàng)式定理得常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：12．計(jì)算.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：13．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)；弦長(zhǎng)，則．〖答案〗1〖解析〗圓的圓心為，半徑為則由題意可得，則.故〖答案〗為：.14．在一個(gè)布袋中裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸取1個(gè)球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個(gè)數(shù)為X．若，則，．〖答案〗1〖解析〗由題意知．因?yàn)?，所以，解得，所以．故〖答案〗為：?15．在邊長(zhǎng)為的正方形中，是中點(diǎn)，則；若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.〖答案〗〖解析〗

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，且是中點(diǎn)，則，則，所以；設(shè)，其中，則，則，所以，，則，，其中，，當(dāng)時(shí)，有最小值為.所以的最小值是.故〖答案〗為：30；三、解答題16．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，．(1)求的值；(2)求值；(3)若，求．解：(1)由題設(shè)及正弦定理知：，則，又，故，又.(2)由B為內(nèi)角且，則，故，，所以.(3)由，而，所以，由(2)知：，則，綜上，.17．如圖，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求到平面的距離；(3)求平面與平面的夾角.(1)證明：依題意，平面，如圖，以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，可得，.(2)解：,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則， 故，，故到平面的距離即在法向量上的投影長(zhǎng)度，則，故到平面的距離為.(3)解：因?yàn)椋矫?，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角為.18．已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)到這個(gè)焦點(diǎn)的距離為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)的直線交橢圓于（異于點(diǎn)），使得成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為知：，因?yàn)樯享旤c(diǎn)到這個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，故，所以，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線符合題意，直線的斜率必存在，于是可設(shè)直線的方程為，由，得.（*）∵點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則，∴，∴，∴，即點(diǎn)，，∴，即∵點(diǎn)在圓上.∴，化簡(jiǎn)得，解得，∴，，經(jīng)檢驗(yàn)知，此時(shí)（*）對(duì)應(yīng)的判別式，滿足題意，故存在滿足條件的直線，其方程為.19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前n項(xiàng)和，求證：.（1）解：由，結(jié)合，因此由得，又，得從而是首項(xiàng)為2公差為3的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)公式為.（2）證明：由可得，從而∵，于是∴.20．已知函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．(2)若，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(3)若對(duì)任意的，，不等式均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)解：當(dāng)時(shí),，,所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,因?yàn)?，?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以，在區(qū)間上的最大值為．(2)解：當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程為有且僅有一個(gè)實(shí)根,所以，有且僅有一個(gè)實(shí)根,設(shè),則,所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，趨近于時(shí)，趨近于，