2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（新高考Ⅱ卷01）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第二次模擬考試（新高考Ⅱ卷01）數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，或，所以，故選：B2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖答案〗B〖解析〗復(fù)數(shù),故，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選：B3．已知向量，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．〖答案〗D〖解析〗依題意，，解得，則，所以，故，故選：D．4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且在恒成立，所以，，解得所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為。故選：D5．已知圓：，過直線：上的一點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，即則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故選：A.6．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗已知，所以，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)椴恢醉?xiàng)，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和不確定，所以是充分不必要條件，故選A7．已知，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗所以，所以故選:B.8．已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以，又因?yàn)榈臐u近線方程為，且，所以漸近線方程為，故選A.二、多項(xiàng)選擇題9．某校有名同學(xué)參加國家安全知識(shí)競賽，甲同學(xué)得知其他名同學(xué)的成績單位：分分別為，若這名同學(xué)的平均成績?yōu)?，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)的競賽成績?yōu)锽．這名同學(xué)競賽成績的方差為C．這名同學(xué)競賽成績的第百分位數(shù)是D．從這名同學(xué)中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為〖答案〗AB〖解析〗根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A中，設(shè)甲的成績?yōu)?，則有，解可得，所以A正確；對(duì)于B中，甲的成績?yōu)?，則這名同學(xué)競賽成績的方差，所以B正確；對(duì)于C中，五人的成績從小到大排列，依次為：、、、、，因?yàn)?，則其第百分位數(shù)是，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，五人的成績中，高于平均分的有人，則從這名同學(xué)中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．10．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時(shí)間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間比從下降到所需的時(shí)間多〖答案〗AC〖解析〗由題知，A選項(xiàng)：若，即，所以，則，A正確；B選項(xiàng)：若，則，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時(shí)間大約為7分鐘，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；D選項(xiàng)：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間（）比從下降到所需的時(shí)間（）少，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．函數(shù)是R上的減函數(shù) B．函數(shù)是奇函數(shù)C．若，則的解集為 D．函數(shù)()+為偶函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)，且，，則，而，又當(dāng)時(shí)，恒成立，即，，函數(shù)是R上的減函數(shù)，A正確；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函數(shù)的定義域?yàn)镽，故函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；令可得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的減函數(shù)，所以，C正確；令，易知定義域?yàn)镽，因?yàn)?，顯然不恒成立，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則以下結(jié)論正確的是（

）A．圓錐底面圓的半徑為2cmB．該圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側(cè)面上）的側(cè)面積的最大值為C．該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時(shí)，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為D．該圓錐的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)圓錐底面圓的半徑為，母線長為，依題意得，所以，根據(jù)圓錐的表面積為，解得cm,所以A正確;如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知，，設(shè)由相似關(guān)系得,即，解得，則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于，當(dāng)時(shí)側(cè)面積最大，等于，所以B正確;內(nèi)接圓柱的體積等于，，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí)圓柱體積最大，此時(shí)圓柱的高為，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為，所以C正確;設(shè)內(nèi)切圓的圓心為半徑為，因?yàn)?即所以因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球的半徑等于，所以內(nèi)切球的體積等于，所以D錯(cuò)誤.故選:ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題13.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖），一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為10cm，圓柱部分高度為7cm，該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為96g，則此陀螺圓柱底面的面積．

〖答案〗15〖解析〗依題意，該陀螺的總體積為，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，則，解得，所以此陀螺圓柱底面的面積為.14．中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有種〖答案〗14〖解析〗按照甲是否在天和核心艙劃分，①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，則有種可能；②若甲不在天和核心艙，需要從問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個(gè)，剩下四人中選取三人進(jìn)入天和核心艙即可，則有種可能；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6+8=14種可能.15．已知函數(shù),若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)到最值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)距離的最小值為,則的值為.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄噜彽淖钪迭c(diǎn)與零點(diǎn)之間的區(qū)間長度為,也是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)到最值點(diǎn)距離的最小值,從而,所以,.16．已知Q為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)F（F是C的焦點(diǎn)）的距離之比為則的最小值是.〖答案〗〖解析〗由題意得，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以，所以當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小，故.四、解答題17．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.(1)求及；(2)若，求邊上的高.解：(1)因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又，所以，又，則.因?yàn)?，即，又，所以，因?yàn)?，所?(2)由(1)及余弦定理，得.將，代入，得，解得或（舍去），則.因?yàn)?，所以，設(shè)邊上的高為，則.18．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別是中點(diǎn)，平面平面．(1)證明：；(2)若，平面平面，求直線與平面所成角的余弦值．(1)證明：取中點(diǎn)G，連接，，∵分別是，中點(diǎn)∴且又∵且，∴∴四邊形為平行四邊形∴平面平面∴平面，∵平面，平面平面，∴(2)解：由三棱柱為直棱柱得平面，平面，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，∴，∴，即，取棱中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接,∵由三棱柱為直棱柱得平面，平面，∴，∵，∵，∵，平面,∴平面，∵點(diǎn)分別是中點(diǎn),∴，∴平面．由(1)可知，∴為所求線面角記為，．在中．在中，∴，∴直線l與平面所成角的余弦值為19．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明:.(1)解：，若，，即，此時(shí)在R上單調(diào)遞減．若，解得，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明：∵，設(shè)，

，設(shè)

，∴在上單調(diào)遞增，，．∴，在上單調(diào)遞增．∴．∴．20．在數(shù)列中，，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)，點(diǎn)在直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，試比較與的大?。猓?1)在數(shù)列中，，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)，點(diǎn)在直線上，，即，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足，所以.，.21．已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng).但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng).(1)如果小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確〖答案〗，就作隨機(jī)猜測.已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確〖答案〗和隨機(jī)猜測概率都是，在他做完單項(xiàng)選擇題后，從卷面上看，在題答對(duì)的情況下，求他知道單項(xiàng)選擇題正確〖答案〗的概率；(2)假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為.已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇.記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù).求的分布列.解：(1)記事件A為“題目答對(duì)了”，事件B為“知道正確〖答案〗”，則，，，由全概率公式：，所求概率為.(2)設(shè)事件表示小明選擇了i個(gè)選項(xiàng)，，表示選到的選項(xiàng)都是正確的.可能取值為0，2，5，，，.隨機(jī)變量的分布列為02522．已知橢圓方程為（），離心率為且過點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過原點(diǎn)的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，證明：直線、的斜率乘積為定值；(3)過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，