廣東2024屆高三新改革適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷三（九省聯(lián)考題型）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東2024屆高三數(shù)學(xué)新改革適應(yīng)性訓(xùn)練三（九省聯(lián)考題型）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，，即，由，得，故.故選：B2.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的值可以為（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，即，故，因?yàn)椋?，?故選：A.3.若，則（

）A.6 B.16 C.26 D.36〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，所以.故選：D.4.集合，，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，可得，所以，整數(shù)的取值有、、，又因?yàn)榧?，，則，即集合中的元素個(gè)數(shù)為.故選：B.5.已知定義在R上的函數(shù)滿足：且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（

）A. B. C. D.0〖答案〗B〖解析〗由題意知，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的周期為2，則函數(shù)，在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖形可知函數(shù)，在區(qū)間上的交點(diǎn)為，易知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以方程在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為.故選：B6.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且與一條漸近線平行的直線與的右支及另一條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗易知的漸近線方程為，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立方程得，解得，，所以，又，而，，得到，解得，故，代入中，得，得到，又，得到，解得，故所求的漸近線方程為，故選：C.7.將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（）種不同的放置與上色方式A.11232 B.10483 C.10368 D.5616〖答案〗C〖解析〗①3個(gè)1，3個(gè)2，0個(gè)3如表：121212只用兩種顏色，并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，②1個(gè)1，2個(gè)2，3個(gè)3如表：132323選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，或313232選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，③2個(gè)1，2個(gè)2，2個(gè)3如表：3223選用三種顏色（2+2+2），并選取兩個(gè)位置放AB，此時(shí)有：種，或2323選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個(gè)位置放AB，此時(shí)有：種，所以不同的放置與上色方式有：.故選：C.8.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為3．以點(diǎn)為球心，為半徑的球與過(guò)點(diǎn)的球相交，相交圓的面積為，則球的半徑為（）A.或 B.或C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗當(dāng)公共圓面在四棱錐內(nèi)部時(shí)，如下圖所示，設(shè)相交圓的圓心為，點(diǎn)為相交圓上的一點(diǎn)，也是兩球的公共點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，因?yàn)橄嘟粓A的面積為，所以相交圓的半徑為1，即底面正方形邊長(zhǎng)為，所以，由勾股定理有，所以，設(shè)，則①，②，聯(lián)立①②解得．當(dāng)公共圓面在四棱錐外部時(shí)，如下圖所示，同上可求，，，則③，④，聯(lián)立③④解得．故選：B．二、選擇題9.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，若，則下列說(shuō)法正確的有（

）A.B.C.存在最大值D.的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)A：因?yàn)?，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，所以，則，故A正確；對(duì)B：，則，故B正確；對(duì)C、D：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，所以點(diǎn)的軌跡方程為，且在軸的下半部分，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故C正確；因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.11.已知，則（）A.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線B.對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，存在，使得成立C.在上的最小值為0，則的最大值為D.存在，使得對(duì)于任意恒成立〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使與有交集，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線，所以A正確，對(duì)于B，由于給定的實(shí)數(shù)，當(dāng)給定時(shí)，則為定值，由，得，，所以存在使上式成立，所以B正確，對(duì)于C，令，而，由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，即，若在上遞增，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以，得，所以，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，若在上不單調(diào)，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以設(shè)為的極小值點(diǎn)，則，解得，所以令，則由，得，或，解得，或（舍去），或（舍去），或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，綜上，所以C正確，對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題12.已知是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，又是平面的法向量，則點(diǎn)到平面的距離為，故〖答案〗為：13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，若，，則的最小值為_(kāi)_________．〖答案〗－14〖解析〗由，即，又，∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為－5，公差為1，∴，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．已知，，則最小值為．故〖答案〗為：－14．14.曲線上動(dòng)點(diǎn)與構(gòu)成，若，則實(shí)數(shù)取值范圍為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由對(duì)稱性，不妨考慮點(diǎn)在軸或其上方，即設(shè)，，，則，作軸于點(diǎn)，則，所以梯形，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，由得，無(wú)解，當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，滿足題意，綜上，．四、解答題15.某企業(yè)在招聘員工時(shí)，應(yīng)聘者需要參加測(cè)試，測(cè)試分為初試和復(fù)試，初試從道題中隨機(jī)選擇道題回答，每答對(duì)題得分，答錯(cuò)得分，初試得分大于或等于分才能參加復(fù)試，復(fù)試每人回答兩道題，每答對(duì)一題得分，答錯(cuò)得分．已知在初試道題中甲有道題能答對(duì)，乙有道題能答對(duì)；在復(fù)試的兩道題中，甲每題能答對(duì)的概率都是，乙每題能答對(duì)的概率都是（1）求甲、乙兩人各自能通過(guò)初試的概率；（2）若測(cè)試總得分大于或等于分為合格，請(qǐng)問(wèn):在參加完測(cè)試后，甲、乙合格的概率誰(shuí)更大?解：（1）由題意得，甲能通過(guò)初試概率，乙能通過(guò)初試的概率.（2）甲初試若得3分要合格復(fù)試答對(duì)1道或2道，初試若得2分要合格復(fù)試答對(duì)2道，故甲合格的概率.乙要合格，需初試合格且復(fù)試答對(duì)2道，故乙合格的概率.，所以甲合格的概率更大.16.在三棱臺(tái)中，平面，，且，，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且（）.（1）求證：平面；（2）已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面所成夾角的余弦值.（1）證明：∵，且是的中點(diǎn)，則.∵平面，平面，∴.又平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，?①∵，∴，則.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.（2）解：由題意得，平面，∴平面.由（1）可知，故為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵，∴，.∴，，，∵，∴由棱臺(tái)的性質(zhì)得，.由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，且.直線與平面的所成角的正弦值為，∴（），即，解得.∴平面的一個(gè)法向量為，且.平面的法向量為.∵，，，即，當(dāng)時(shí)，，.∴平面的一個(gè)法向量為..∴平面與平面所成夾角的余弦值.17.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）已知，證明：.（1）解：，，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.所以的極大值為的極小值為.（2）證明：由，可得，所以.由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取到，所以.18.已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為、，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)兩焦點(diǎn)的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，若，求平行四邊形ABCD面積最大值．解：（1）由題意知，解得，則，則橢圓E的方程為；（2）易知直線AB斜率不為0，由（1）知，不妨設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，消去x并整理得，此時(shí)恒成立，設(shè)，由韋達(dá)定理得，，所以，此時(shí)，橢圓C的內(nèi)接平行四邊形面積為，令，則.則，設(shè)，，則，則函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，S取最大值6，故平行四邊形的面積最大值為6．19.定義：對(duì)于任意大于零的自然數(shù)n，滿足條件且（M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列稱為M數(shù)列．（1）若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，判斷數(shù)列是否是M數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，證明：數(shù)列是M數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的M數(shù)列，求證：．（1）解：由題意知，故，則