初中數(shù)學(xué)圖形的相似易錯(cuò)題匯編

（易錯(cuò)題精選）初中數(shù)學(xué)圖形的相似難題匯編

一、選擇題

1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,E在BC邊上運(yùn)動(dòng)，DE的中點(diǎn)G,EG繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。得EF,問CE為多少時(shí)A、C、F在一條直線上（）

3453

A-5B-3C-3D-4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先延長(zhǎng)BC,做FNLBC,構(gòu)造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出RSFNEs

RtAECD,再利用相似比得出NE=；CO=2.5,運(yùn)用正方形性質(zhì)，得出ACNF是等腰直角三

角形，從而求出CE.

【詳解】

解：過F作BC的垂線，交BC延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，

；NDCE=NENF=90°,ZDEC+ZNEF=90°,ZNEF+ZEFN=90°,

NDEC=NEFN,

RtAFNE^RtAECD,

：DE的中點(diǎn)G,EG繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得EF,

.??兩三角形相似比為L(zhǎng)2,

.,.可以得至IJCE=2NF,NE=gcD=2.5

：AC平分正方形直角，

，NNFC=45°,

...△CNF是等腰直角三角形,

；.CN=NF,

丁2“255

二.CE=—NE=—x—=—.

3323

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定等知識(shí)，求線段的長(zhǎng)度

經(jīng)常運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決，同學(xué)們應(yīng)學(xué)會(huì)這種方法.

2.如果兩個(gè)相似正五邊形的邊長(zhǎng)比為1：10,則它們的面積比為（）

A.1：2B.1：5C.1：100D.1：10

【答案】C

【解析】

根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，由兩個(gè)相似正五邊形的相似比是1：10,可

知它們的面積為1：100.

故選：C.

點(diǎn)睛：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方.

3.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于e。，AB為直徑，AD=CD,過點(diǎn)。作。E,AB于點(diǎn)

3

E,連接AC交OE于點(diǎn)F.若sin/C4B=m，DF=5,則A8的長(zhǎng)為（）

A.10B.12C.16D.20

【答案】D

【解析】

【分析】

連接8。，如圖，先利用圓周角定理證明NAOE=NZMC得到尸。=必=5,再根據(jù)正

弦的定義計(jì)算出EF=3,則AE=4,OE=8,接著證明AAOESADBE,利用相似比得

到BE=16,所以A8=20.

【詳解】

解：連接8D,如圖，

。43為直徑，

ZADB^ZACB^9Q0,

QAD=CD,

:.^DAC=ZDCA,

而ZDCA=ZABD,

:.ZDAC=ZABD,

DEIAB,

：.ZABD+ZBDE=W°,

而ZADE+NBDE=90°,

:.ZABD=ZADE,

：.ZADE=ZDAC,

FD=FA=5,

EF3

在RtAAEF中，OsinNCAB=—=-,

AF5

:.EF=3,

=32=4,DE=5+3=8,

QZADE=NDBE,ZAED=ABED,

:.\ADE^\DBE,

DE:BE=AE:DE,即8:8E=4:8,

:.BE=16,

A8=4+16=20.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的

弦是直徑.也考查了解直角三角形.

4.如圖，在x軸的上方，直角/BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).若NBOA的兩邊分別與

12

函數(shù)y=——、y=-的圖象交于B、A兩點(diǎn)，則NOAB大小的變化趨勢(shì)為（）

A.逐漸變小B.逐漸變大C.時(shí)大時(shí)小D.保持不變

【答案】D

【解析】

【分析】

BEOE1

如圖，作輔助線；首先證明ABEOs/\OFA,,得到x=:六；設(shè)B為（a,一一），A為

7OrFAFa

717

（b,-）,得到OE=-a,EB=--,OF=b,AF=-,進(jìn)而得到a2b2=2,此為解決問題的關(guān)

bab

/2

鍵性結(jié)論；運(yùn)用三角函數(shù)的定義證明知tan/OAB=Y為定值，即可解決問題.

2

【詳解】

解：分別過B和A作BE_Lx軸于點(diǎn)E,AF_Lx軸于點(diǎn)F,

則ZlBEOsZ^OFA,

.BE_OE

'''OF~~AF'

1?

設(shè)點(diǎn)B為（a,——），A為（b,士），

ab

12

貝l」OE=a,EB=--,OF=b,AF=",

ab

2

可代入比例式求得成從=2,即。"加

根據(jù)勾股定理可得：0B=JOE2+E82=Ja2+一，OA=J。尸2+AF2=」從+—,

Va2Vb2

2b2也占⑹廠

一+一

b222b20

AtanZOAB=

,4r_r-2

枕+—膽+一

b?\h2

，ZOAB大小是一個(gè)定值，因此/OAB的大小保持不變.

故選D

【點(diǎn)睛】

該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問

題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判

定等知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答.

5.如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)交BC邊的延長(zhǎng)線于E

點(diǎn)，對(duì)角線BD交AG于F點(diǎn).已知FG=2,則線段AE的長(zhǎng)度為（）

C.10D.12

【答案】D

【解析】

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB〃CD,進(jìn)而可得出AABFsaGDF,根據(jù)相似三角形的性

AFAB

質(zhì)可得出KK=KK=2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長(zhǎng)度，由CG〃AB、AB=2CG可得出

Gr(JD

CG為AEAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長(zhǎng)度，此題得解.

詳解：?.?四邊形ABCD為正方形，

；.AB=CD,AB〃CD,

.\ZABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,

.".△ABF^AGDF,

AFAB

-G---F--=GD=2,

；.AF=2GF=4,

AAG=6.

；CG〃AB,AB=2CG,

.'.CG為AEAB的中位線，

；.AE=2AG=12.

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的中位線，利用相

似三角形的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

k

6.如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為6,D為AB中點(diǎn)，OB交CD于點(diǎn)Q,(1是丫=一上一點(diǎn),

x

C.16D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)根據(jù)相似三角形得到80:0。=1:2,再過點(diǎn)。作垂線，利用相似三角形的性質(zhì)求出

QF.0F,進(jìn)而確定點(diǎn)。的坐標(biāo)，確定k的值.

【詳解】

解：過點(diǎn)。作。尸，垂足為尸，

。。48c是正方形，

0A=AB=BC=0C=6,ZABC=Z0AB=90°=NDAE,

。。是AB的中點(diǎn)，

2

QBD//0C,

:.\0CQ^\BDQ,

BQBD1

"'0Q~'0C~2'

又。QF//AB,

:.\OFQ^\OAB,

,QFOF0Q22

QAB=6,

22

/.QF=6x—=4,OF=6x-=4,

33

/.2(4,4),

Q點(diǎn)。在反比例函數(shù)的圖象上，

％=4x4=16,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形性質(zhì)求

出點(diǎn)。的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

k

7.如圖，點(diǎn)A在雙曲線y-------(x>0)上，過點(diǎn)A作AB，x軸，垂足為點(diǎn)B,分別以點(diǎn)。

X

1

和點(diǎn)A為圓心，大于爹0A的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D,E兩點(diǎn)，作直線DE交X軸于

點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)F(0,2),連接AC.若AC=1,則k的值為()

小

?？疿

A.2BTC.326+2

2555

【答案】B

【解析】

分析：如圖，設(shè)OA交CF于K.利用面積法求出OA的長(zhǎng),再利用相似三角形的性質(zhì)求出

AB、OB即可解決問題；

詳解：如圖，設(shè)OA交CF于K.

L

。飛X

由作圖可知，CF垂直平分線段OA,

AOC=CA=1,OK=AK,

在R3OFC中，CF=，0/2+0。2=有，

1x22^5

AAK=OK=—=r=,

x/55

45

.-.OA=—i—,

5

由△FOCS/\OBA,可得

OF_OC_CF

~OB~~AB~'dA，

2_1_75

，7)B~AB~475，

丁

84

32

"k"25,

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查作圖-復(fù)雜作圖，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，線段的垂直平分線的

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

8.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板。EF測(cè)量樹的高度4B,他調(diào)整自己的位

置，設(shè)法使斜邊。尸保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊

DE=40cm,EF=20cm,測(cè)得邊。尸離地面的高度AC=15〃，CD=Sm,則樹高

AB是（）

A.4米B.4.5米C.5米D.5.5米

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長(zhǎng)后加上小明的身高即可求得樹高

AB.

【詳解】

解：ZDEF=ZBCD-900ZD=ZD

AAADEF^ADCB

.BCDC

"'~EF~~DE

DE=40cm=0.4m,EF-20cm=0.2m,AC-1.5m,CD=8m

=-解得：BC=4

0.20.4

.e.AB=AC+BC=1.5+4=5.5米

故答案為：5.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型。

9.如圖，A3為e。的直徑，C為e0上一點(diǎn),弦AO平分N8AC,交弦8c于點(diǎn)E,

則AE的長(zhǎng)為()

B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)角平分線的定義得到NCAD=NBAD,根據(jù)圓周角定理得到/DCB=NBAD,證明ADCES

△DAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AD,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【詳解】

解：：AD平分/BAC,

.\ZCAD=ZBAD,

由圓周角定理得,ZDCB=ZBAD,

；./CAD=/DCB,又/D=/D,

/.△DCE^ADAC,

DEDC24

：'DC=DA,即/加

解得，AD=8,

；.AE=AD-DE=8-2=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)

定理是解題的關(guān)鍵.

10.在RtAABC中，NBAC=90。，AD是△A8C的中線，Z4DC=45°,把△AOC沿對(duì)折，

BQ

使點(diǎn)C落在U的位置，CD交A8于點(diǎn)Q,則7萬(wàn)的值為()

A.右B.V?C.—D.—

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊得到對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半，可

得出AD=DC=BD,AC=AC',NADC=NADC'=45°,CD=CD,進(jìn)而求出NC、NB的度

BQBQ

數(shù)，求出其他角的度數(shù)，可得AQ=AC,將7K轉(zhuǎn)化為:A，再由相似三角形和等腰直角

AC

三角形的邊角關(guān)系得出答案.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E,

,/NADC=45°,

/2

.?.△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE="AD,

2

在R3ABC中，

VZB4C=90°,AD是AABC的中線，

：.AD=CD=BD,

由折疊得：AC=AC,ZADC=ZADC=45),,CD=CD,

.?.NCDU=45°+45°=90°,

：.ZDAC=ZDCA=(180°-45°)+2=67.5°=NCAD,

：.ZB=90°-ZC=ZCAE=22.5°,Z6QD=900-ZB=ZCQA=67.5°,

：.AC=AQ=AC,

BQBD

由△AECs/iBDQ得：,

ACAE

.BQBQAD0AE_

【點(diǎn)睛】

考查直角三角形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及等腰三角形與相似三角形的性質(zhì)和判定

等知識(shí)，合理的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵.

11.如圖，己知一組平行線a〃b〃c,被直線機(jī)、”所截，交點(diǎn)分別為A、B、C和

D、E、F,且A3=1.5,BC=2,￡>￡=1.8,則￡7^=()

a

A.4.4B.4C.3.4D.2.4

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線等分線段定理列出比例式，然后代入求解即可.

【詳解】

解：：a//b〃c

ABDE1.51.8

-TTTr=即~右U

BCEF2EF

解得：EF=2.4

故答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是平行線分線段成比例定理，利用定理正確列出比例式是解答本題的關(guān)

鍵.

12.如圖，。是AC的中點(diǎn)，將面積為16cm2的菱形ABC。沿AC方向平移A。長(zhǎng)度得

到菱形則圖中陰影部分的面積是（）

C.4cm2D.2cm2

【答案】C

【解析】

【分析】

"ABCDsnOECF,且AO=OC=；AC,故四邊形OECF的面積是。ABCD面積的

根據(jù)題意得,

1

4

【詳解】

解：如圖,

DD'

由平移的性質(zhì)得，。ABCDsoOECF,且AO=OC=]AC

1

故四邊形OECF的面積是。ABCD面積了

4

即圖中陰影部分的面積為4cm2.

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)和平移性質(zhì)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是應(yīng)用相

似多邊形的性質(zhì)解答問題.

13.如圖，小明在地面上放了一個(gè)平面鏡，選擇合適的位置，剛好在平面鏡中看到旗桿的

頂部，此時(shí)小明與平面鏡的水平距離為2米，旗桿底部與平面鏡的水平距離為12米，若小

明的眼晴與地面的距離為1.5米，則旗桿的高度為（）

A.9B.12C.14D.18

【答案】A

【解析】

【分析】

如圖，BC=2m,CE=12m,AB=1.5m,利用題意得NACB=NDCE,則可判斷AACBs4

DCE,然后利用相似比計(jì)算出DE的長(zhǎng).

【詳解】

解：如圖，BC=2m,CE=12m,AB=l.Sm,

由題意得/ACB=/DCE,

ADEC,

：.”CBs

ABBC1.5DE

"DE^CE'即三=正’

：.DE=9.

即旗桿的高度為9m.

故選A.

D

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度.利用桿或直尺測(cè)量物體

的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性

質(zhì)求物體的高度.

14.如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（）.

A.平移變換B.相似變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)放大鏡成像的特點(diǎn)，結(jié)合各變換的特點(diǎn)即可得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同,

所以屬于相似變換.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出.

15.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，G,F分別為A。、BC邊上的點(diǎn)，若

AG=1,BF=2,ZGEF=90°,則GF的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【解析】

:四邊形ABCD是正方形，

Z.ZA=ZB=90°,

NAGE+NAEG=90",ZBFE+ZFEB=90°,

；/GEF=90°,

ZGEA+ZFEB=90°,

，NAGE=NFEB,NAEG=NEFB,

.?.△AEG^ABFE,

.AE_AG

又；AE=BE,

；.AE2=AG?BF=2,

:(舍負(fù))，

，GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=l+2+2+4=9,

AGF的長(zhǎng)為3,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，利用勾股定理即可得解，解題的關(guān)鍵是證

明AAEGs/^BFE.

16.已知線段MN=4cm,P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，MP>NP,那么線段A4P的長(zhǎng)度等

于()

A.(2>/5+2)cmB.(2>/5-2)cmC.(y/5+1)cmD.(y/5-1)cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行作答.

【詳解】

由黃金分割的定義知，竺=近二1,又MN=4,所以，(\^=2"-2.所以答案選8

MN2

【點(diǎn)睛】

本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義是本題解題關(guān)鍵

17.如圖，正方形48DC中，AB=6,E在CD上，DE=2,將AADE沿AE折疊至AAFE,延

長(zhǎng)EF交8c于G,連AG、CF,下列結(jié)論：①AABG出ZXAFG；②8G=CG；③AG〃CF；

④S^CG=3,其中正確的有()?

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用折疊性質(zhì)和HL定理證明RtAABG絲RtAAFG,從而判斷①；設(shè)BG=FG=x,則CG=6-x,

GE=x+2,根據(jù)勾股定理列方程求解，從而判斷②；由②求得AFGC為等腰三角形，由此推

出NFCG=I"—",由①可得NAGB=弛二，從而判斷③；過點(diǎn)F作

FM1CE,用平行線分線段成比例定理求得FM的長(zhǎng)，然后求得AECF和AEGC的面積，從而

求出AFCG的面積，判斷④.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，由折疊性質(zhì)可知DE=EF=2,AF=AD=AB=BC=CD=6,ZB=ZD=ZAFG=

ZBCD=90"

又：AG=AG

.?.RtZkABG絲RtZkAFG,故①正確；

由R3ABG出RSAFG

，設(shè)BG=FG=x,則CG=6-x,GE=GF+EF=x+2,CE=CD-DE=4

...在RtAEGC中,(6-X)2+42=(x+2”

解得：x=3

；.BG=3,CG=6-3=3

/.BG=CG,故②正確;

又BG=CG,

.?.N"GJ80"GC

2

又：R3ABG絲RtaAFG

IS^-ZFGC

：.Z.AGB=-------------

2

；./FCG=NAGB

；.AG〃CF,故③正確;

過點(diǎn)F作FM±CE,

，F(xiàn)M〃CG

.?.△EFM^AEGC

FMEFFM2

?*,----=即=-

GCEG35

解得FM=三

：'S^CG=S~S=^x3x4-lx4x1=3.6,故④錯(cuò)誤

正確的共3個(gè)

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角

形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵.

18.如圖，某河的同側(cè)有A,8兩個(gè)工廠，它們垂直于河邊的小路的長(zhǎng)度分別為

AC=2km,BD=3km,這兩條小路相距5公”.現(xiàn)要在河邊建立一個(gè)抽水站，把水送到

A,8兩個(gè)工廠去，若使供水管最短，抽水站應(yīng)建立的位置為（）

B

A

clD

A.距。點(diǎn)1攵相處B.距C點(diǎn)2%相處C.距C點(diǎn)3七%處D.。的中點(diǎn)處

【答案】B

【解析】

【分析】

作出點(diǎn)A關(guān)于江邊的對(duì)稱點(diǎn)E,連接交CD于尸，則

PA+PB=PE+PB=EB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)供水站在點(diǎn)尸處時(shí)，供水管

路最短.再利用三角形相似即可解決問題.

【詳解】

作出點(diǎn)A關(guān)于江邊的對(duì)稱點(diǎn)E,連接交于P,則尸4+尸8=25+尸8=后8.根

據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)供水站在點(diǎn)P處時(shí)，供水管路最短.

根據(jù)APCE:APOB,設(shè)PC=x,則尸。=5—x,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得

PCCEX2

--------=---------