山東省聊城市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故.故選：C.2.下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯誤；對于B，若，首先定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是偶函數(shù)，又，所以是周期函數(shù)，故B正確；對于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.3.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，且，所以，則，，則.故選：A.4.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，利用誘導(dǎo)公式可得，所以.故選：D.5.如圖，一個半徑為米的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，筒車的軸心距離水面的高度為米．設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計(jì)算時間，則與時間（單位：）之間的關(guān)系可以表示為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，由題意可知，，，解得，，函數(shù)的最小正周期為，則，當(dāng)時，，可得，又因?yàn)?，則，故.故選：A.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)可知定義域?yàn)?，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)B；因?yàn)?，故排除選項(xiàng)A；因?yàn)?，故排除選項(xiàng)D.故選：C.7.若是三角形的一個內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，，由于是三角形的一個內(nèi)角，所以，則，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，即的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)a，b，c，且，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗畫出的圖象和的圖象，如下：由題意得，，且，即，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.以下說法正確的是（）A.“，”的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要條件C.若一扇形弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為D.“，”是真命題，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，“，”的否定是“，”，故A正確；對于B，即，解得，因?yàn)樗浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故B錯誤；對于C，扇形弧長為，圓心角為，所以扇形的半徑長為，則該扇形面積為，故C正確；對于D，因?yàn)椤?，”是真命題，即，對恒成立，當(dāng)時，命題成立；當(dāng)時，，解得，綜上可得，，故D正確.故選：ACD.10.若實(shí)數(shù)、滿足，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，由，可得，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，A錯；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，可得，所以，，因?yàn)閷?shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，故，C對；對于D選項(xiàng)，，D錯.故選：BC.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.若、，且，則D.把的圖象向右平移個單位長度，然后再把所得曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項(xiàng)，由圖可知，，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，則，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，則，所以，，可得，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，所以，上不單調(diào)，B錯；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象關(guān)于直線對稱，若、，且，則，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，把的圖象向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則，D對.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意，都有，當(dāng)時，，且，則（）A.，都有B.當(dāng)時，C.是減函數(shù)D.若，則不等式的解集為〖答案〗BCD〖解析〗令，則，又，所以，當(dāng)時，，所以，又，所以，即，A錯誤，B正確；設(shè)，則，又，所以，所以，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，C正確；因?yàn)?，所以，所以，即，又在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以不等式的解集為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題．13.已知冪函數(shù)的圖象通過點(diǎn)，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)冪函數(shù)的〖解析〗式為，∵冪函數(shù)過點(diǎn)，∴，∴，∴該函數(shù)的〖解析〗式為，∴.故〖答案〗為：.14.若，且，則的最小值為__________．〖答案〗8〖解析〗因?yàn)槿簦?，則，又因?yàn)?，所以，令，則，即，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以最小值為8.故〖答案〗為：8.15.在中，，邊上的高等于，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)為邊上的高，，又，所以，所以垂足必定落在線段上面，如圖所示：，，又，所以.故〖答案〗為：.16.定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越小，所以由得，由于，所以，可得，即時恒成立，可得，由于在時單調(diào)遞增，，在時單調(diào)遞減，，所以恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.函數(shù)的值域?yàn)椋亩x域?yàn)椋?）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，當(dāng)時有最大值，且最大值為，當(dāng)時，有最小值，最小值為，所以．（2）由，得，解得，所以，，因?yàn)?，所以，解得，故?shí)數(shù)的取值范圍．18.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．（1）求的值；（2）已知為銳角，，求．解：（1）因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，則，，，．（2）因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以為第四象限角，即，又因?yàn)闉殇J角，則，可得，因?yàn)?，則，因，所以，則，所以．19.為了鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)的成果，振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某地政府利用電商平臺為脫貧鄉(xiāng)村進(jìn)行直播帶貨，既方便了人們購物和交流，又有效地解決了農(nóng)產(chǎn)品銷售困難的問題．為了支持家鄉(xiāng)的發(fā)展，越來越多的人注冊成為某電商平臺的會員進(jìn)行購物和交流．已知該平臺建立前3年的會員人數(shù)如下表所示：建立平臺年數(shù)工x123會員人數(shù)y（千人）142029為了描述建立平臺年數(shù)與該平臺會員人數(shù)y（千人）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)選出最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并說明理由，同時求出該函數(shù)的〖解析〗式；（2）根據(jù)第（1）問選擇的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)平臺建立t年的會員人數(shù)將超過100.2萬人，求t的最小值．參考數(shù)據(jù)：，，．解：（1）從表中數(shù)據(jù)可知，所選函數(shù)必須滿足兩個條件：增函數(shù)，增長速度越來越快，因?yàn)槟Ｐ廷贋闇p函數(shù)，模型②增長速度越來越慢，所以不能選擇模型①和②，模型③符合兩個條件，所以選擇模型③，將數(shù)據(jù)代入可得，解得，所以，函數(shù)為，．（2）由（1）知，，則．得，，故t的最小值為12．20.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明你的判斷；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)．依據(jù)上述結(jié)論，證明：的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形．解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，，因?yàn)椋?，所以，，所以，即，故函?shù)在上單調(diào)遞減．（2）證明：設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，故的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形．21.已知函數(shù)，、是的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)，且．（1）求的值及函數(shù)在上的最小值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)，則，因?yàn)?、是函?shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)，且，所以，函數(shù)的最小正周期為，則，可得，由，得，所以，所以，故函數(shù)在上的最小值為．（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲO(shè)，所以在上恒成立，則，即，解得，故的取值范圍為．22.若存在實(shí)數(shù)、使得，則稱函數(shù)為函數(shù)，的“函數(shù)”．（1）若函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求函數(shù)、的〖解析〗式；（2）設(shè)函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)、使得函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，且同時滿足：①是偶函數(shù)；