云南省昆明市西山區(qū)2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山區(qū)2024屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.故選：A2.設(shè)集合，，若，則（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因，且，所以或，解得或或，當(dāng)時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)集合、，滿足，符合題意.故選：C3.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，則（）A.10 B.20C.30 D.40〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)得①，②，由①得，代入②得，解得，故，故.故選：C4.華為云“盤古”氣象大模型是世界上首個(gè)精度超過傳統(tǒng)數(shù)值預(yù)報(bào)方法的AI模型，對比傳統(tǒng)方法，預(yù)測速度提高10000倍以上，可秒級(jí)完成對全球氣象的預(yù)測．由“盤古”模型預(yù)測，某地某天降雨的概率是0.5，連續(xù)兩天降雨的概率是0.3，已知某地某天降雨，則隨后一天降雨的概率是（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6〖答案〗D〖解析〗記事件A為“某地某天降雨”,事件B為“隨后一天降雨”，由題意知，則.故選：D.5.已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓C上，若的最大值是最小值的2倍，則橢圓C的離心率（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令橢圓C的半焦距為c，由橢圓的幾何性質(zhì)知，，依題意，，解得，所以橢圓C的離心率.故選：B6.已知角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與圓相交于點(diǎn)，將的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后與圓的交點(diǎn)為B，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由三角函數(shù)定義得，的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后圓的交點(diǎn)為B，則，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.故選：B7.每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個(gè)花蕾，第一天有10個(gè)花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗設(shè)第天水塘中的荷花朵數(shù)為，則，到第m天的時(shí)候，，令，解得：，因?yàn)?，所以荷花的?shù)量在第8天達(dá)到最大.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）A B. C.e D.〖答案〗A〖解析〗由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A二、多選題9.已知直線a，b，c與平面，，，下列說法正確的是（）A.若，，，則a，b異面B.若，，，則C.若，，則D.若，，則〖答案〗AC〖解析〗若，，，則a，b異面，故A正確；若，，，則與異面或平行或相交，故B錯(cuò)誤；若，，則，故C正確；若，，則或相交，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.直線與函數(shù)有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，從左往右依次記作點(diǎn)A，B，C，則下列說法正確的是（）A.的取值范圍是B.有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)滿足題意，直線與函數(shù)有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，解得，A正確；對B，結(jié)合A選項(xiàng)，令，則，如圖所示：此時(shí)函數(shù)只有1個(gè)極大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對D，由題意知，所以，則，解得，故D正確；故選：ACD.11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過拋物線C：的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），，l為C的準(zhǔn)線，，垂足為M，，則下列說法正確的是（）A.B.的最小值為C.若，則D.x軸上存在一點(diǎn)N，使為定值〖答案〗ABD〖解析〗如圖，對于A項(xiàng)，因直線經(jīng)過點(diǎn),故當(dāng)且僅當(dāng)為通徑時(shí)，最短，即，即，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由拋物線定義知，故，由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即,故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因,在中，由可得：,即得點(diǎn)，于是代入中，整理得：，解得：，即得，故,即C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，設(shè)直線，代入中，整理得：，設(shè)，則得：，設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)，則，故當(dāng)時(shí)，，即存在點(diǎn)使得為定值0.故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題12.已知向量，滿足，，則______．〖答案〗2〖解析〗由，兩邊同時(shí)平方，有，化簡得，由，兩邊同時(shí)平方，有，即，所以.故〖答案〗為：213.今年哈爾濱冰雪旅游格外火爆，哈爾濱市某公園為歡迎往來游客，設(shè)計(jì)了一個(gè)卡通雪人，雪人放置在上底邊長為3m，下底邊長為4m，高為1m的正四棱臺(tái)冰雕底座上，那么冰雕底座需要______立方米水制成．（制作過程的損耗忽略不計(jì)，冰和水均為理想狀態(tài)，，）〖答案〗11.1〖解析〗由題意，該正四棱臺(tái)冰雕底座的體積為：，即冰的質(zhì)量為：，故需要的水的質(zhì)量也是，其體積為：.故〖答案〗為：11.1.14.函數(shù)的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意得，所以，令，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；，,所以的最小值為，故〖答案〗為：.四、解答題15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，且成等差數(shù)列，，．（1）求a，c；（2）點(diǎn)D在AC上，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求BD的長．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）由，且成等差數(shù)列，則（Ⅰ）又，，則，代入得（Ⅱ）聯(lián)立（Ⅰ）、（Ⅱ）得，，（2）若選①，過點(diǎn)B作AC邊上的高BE，因?yàn)锽D平分，所以，得，所以，；在中，，所以；在中，，則．若選②，過點(diǎn)B作AC邊上的高BE，由可得，，則，又，所以，；在中，，所以；在中，，則．若選③，由，所以，；在中，，所以；在中，，則．16.直三棱柱中，，M為AC的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：設(shè)直線與相交于點(diǎn)O，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，又，所以，，，所以，所以，又，則，即；又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以；?）解：由（1）得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，則，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令得，則平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，解得，令，則，則平面的法向量，，所以平面與平面所成角的余弦值為．17.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，原則上至少有2個(gè)正確選項(xiàng)，至多有3個(gè)正確選項(xiàng)．題目要求：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確〖答案〗有2個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得3分；若正確〖答案〗有3個(gè)選項(xiàng)，則只選1個(gè)選項(xiàng)且正確得2分，只選2個(gè)選項(xiàng)且都正確得4分．（1）若某道多選題的正確〖答案〗是AB，一考生在解答該題時(shí)，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個(gè)選項(xiàng)，至多三個(gè)選項(xiàng)，請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得分的概率；（2）若某道多選題的正確〖答案〗是2個(gè)選項(xiàng)或是3個(gè)選項(xiàng)的概率均等，一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的，其他選項(xiàng)均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：方案一：只選擇A選項(xiàng)；方案二：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)；方案三：選擇A選項(xiàng)的同時(shí)，再隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)．解：（1）由題意，該考生所有選擇結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為：設(shè)“某題的〖答案〗是AB，該考生得分”，則．（2）設(shè)方案一、二、三的得分分別為X，Y，Z．①∵，．∴X的分布列為：X23P則．②∵，，，∴Y的分布列為：Y046P則．③∵，，∴Z的分布列為：Z06P則．∵，∴以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)選擇方案一更恰當(dāng)．18.已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線E的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．解：（1）因?yàn)殡p曲線E的一條漸近線方程為，所以，又，因此，又，，；則E的方程為．（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，設(shè)，，中點(diǎn)為，又，由可知為等腰三角形，，且直線l不與x軸重合，于是，即，因此，，（Ⅰ）點(diǎn)在雙曲線上，所以，①②化簡整理得：，，即，可得，（Ⅱ）聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，解得（舍去），適合題意，則；由得，所以直線l的方程為：，即．19.我們把（其中,）稱為一元n次多項(xiàng)式方程.代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程（即，，，…，為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得,任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.即，其中k，,，，，……，為方程的根．進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即，，，…，為實(shí)數(shù)），方程的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，．（1）解方程：；（2）設(shè)，其中，，，，且．（i）分解因式：；（ii）記點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)時(shí)，．（1）解：觀察可知：是方程的一個(gè)根；所以，由待定系數(shù)