云南省曲靖市2024屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省曲靖市2024屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)，則，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：D.2.已知集合，，則中元素個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.36 B.54 C.28 D.42〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，易知；由可得，兩式相除可得，即；所以.故選：D.4.已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由可得，如下表所示：由表格中的數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當(dāng)時(shí)，.故選：C.5.為努力推進(jìn)“綠美校園”建設(shè)，營(yíng)造更加優(yōu)美的校園環(huán)境，某校準(zhǔn)備開(kāi)展校園綠化活動(dòng)．已知栽種某綠色植物的花盆可近似看成圓臺(tái)，圓臺(tái)兩底面直徑分別為18厘米，9厘米，母線長(zhǎng)約為7.5厘米．現(xiàn)有2000個(gè)該種花盆，假定每一個(gè)花盆裝滿營(yíng)養(yǎng)土，請(qǐng)問(wèn)共需要營(yíng)養(yǎng)土約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1.702立方米 B.1.780立方米C.1.730立方米 D.1.822立方米〖答案〗B〖解析〗令（單位厘米），則花盆高，所以花盆的體積為，故2000個(gè)該種花盆共需要營(yíng)養(yǎng)土約為立方厘米，即1.780立方米.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，因此?故選：A.7.已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)作一條直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)作出圖形，雙曲線漸近線為，，則直線，故，可得，故，即，又三角形BOF為等腰三角形，所以，則，整理得，即雙曲線的漸近線方程為.故選：B8.已知，若點(diǎn)為曲線與曲線的交點(diǎn)，且兩條曲線在點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則由可得，又可得，且兩條曲線在點(diǎn)處的切線重合，所以切線的斜率，解得或（舍去），即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由點(diǎn)為曲線：與曲線：的交點(diǎn)，所以，即，令，則，令可得，由知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、選擇題9.函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)的最小正周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度以后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗由圖可知，，函數(shù)的最小正周期滿足，則，，B錯(cuò)；所以，，，可得，因?yàn)?，所以，，則，可得，所以，，則，A對(duì)；，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C對(duì)；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度以后，得到函數(shù)的圖象，所得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò).故選：AC.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.為奇函數(shù) B.為周期函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意由為奇函數(shù)可得，即；由為奇函數(shù)可得，即；所以可得，即，即可得為周期是4的周期函數(shù)，且，可得不是奇函數(shù)，即A錯(cuò)誤；B正確；由周期性可知，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以也為奇函數(shù)，即C正確；因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，即D.錯(cuò)誤；故選：BC11.下列不等式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，即，即，即，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，令，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，其中，則，令，由C選項(xiàng)可知，對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則函數(shù)上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)椋?，D錯(cuò).故選：ABC.12.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱交于點(diǎn)，以下四個(gè)命題中正確的是（）A.四邊形一定為菱形B.四棱錐體積C.平面平面D.四邊形的周長(zhǎng)最小值為4〖答案〗ACD〖解析〗由題意，正方體截面的性質(zhì)易知，即為平行四邊形，取為中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，則為正方形，所以，則，故為菱形，A對(duì)；由到面的距離之和為底面對(duì)角線為，又為定值，B錯(cuò)；由菱形性質(zhì)知，由正方體性質(zhì)知面，面，則，又，面，故面，而面，所以平面平面，C對(duì)；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，僅當(dāng)它們?yōu)閷?duì)應(yīng)線段中點(diǎn)時(shí)，菱形各邊最短且為1，此時(shí)為正方形，周長(zhǎng)為4，D對(duì).故選：ACD.三、填空題13.若向量，，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.故〖答案〗為：.14.如圖，在第一象限內(nèi)，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，分別在函數(shù)的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是______．〖答案〗〖解析〗由題意，縱坐標(biāo)都為2，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)為，由為矩形及題圖知：D點(diǎn)的坐標(biāo)是.故〖答案〗為：15.已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，且，若外接圓半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為，則的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意，在中，所以其外接圓半徑，內(nèi)切圓的半徑為，故.故〖答案〗為：16.大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程．已知大衍數(shù)列滿足，，則______，數(shù)列的前50項(xiàng)和為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，由①②可得，，所以，累加可得，，所以，令且為奇數(shù))，，當(dāng)時(shí)，成立，所以當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)為奇數(shù)，，所以當(dāng)為偶數(shù)，，所以故；根據(jù)所以的前項(xiàng)的和.故〖答案〗為：；四、解答題17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）線段上一點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng)度．解：（1）由題設(shè)及余弦定理知：，所以，又，，所以.（2）由題設(shè)，且，，在中，則，在中，則，綜上，可得，則，故.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，則，而，所以，故是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，所以.（2）由，所以，要使，即，由且，則.所以使得成立的的最小值為10.19.2023年9月23日至10月8日、第19屆亞運(yùn)會(huì)在中國(guó)杭州舉行．樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)舉辦了“亞運(yùn)在我心”乒乓球比賽活動(dòng)．比賽采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率．（1）若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即，求的取值范圍．解：（1），即采用3局2勝制，所有可能值為，，，的分布列如下，23所以.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為，則，得.20.在圖1的直角梯形中，，點(diǎn)是邊上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出線段的長(zhǎng)度，若不存在說(shuō)明理由．（1）證明：根據(jù)題意，由直角梯形邊長(zhǎng)可知；又點(diǎn)是邊上靠近于點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，可得為等邊三角形；連接，交于點(diǎn)，如下圖所示：可得四邊形為菱形，所以，即折起后，如下圖所示：易知，又，滿足，即；又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則；可得，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，所以，則，由（1）可知平面，利用易得平面的一個(gè)法向量可取為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得；所以，解得或（舍），此時(shí)，可得；即線段的長(zhǎng)度為.21.已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)、處作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）解：設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€的斜率為，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，可得，所以，拋物線的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則直線的方程為，即，同理可知，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，則，，所以，，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的面積存在最小值，且最小值為，此時(shí)，直線的方程為.22.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，求的最大值．解：（1）由題，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，由于曲線在點(diǎn)處