2023年高考模擬考數(shù)學(xué)試卷1（理）（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷1(理)

第I卷

一、選擇題

I.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=(z+l)(2iT),則復(fù)數(shù)Z的實(shí)部與虛部的和為()

A.1B.—1C.-D.—

55

[答案DD

K解析》z(l+i)=z(2i-l)+(2i-l)

S.、?..2i-l(2i-l)(2+i)-4+3i43.

z(2-ι)=2ι-l,z=-----=--------------=-------=——+-I,

2-i5555

故實(shí)部與虛部的和為=4+]3==1,

故選：D.

2.已知F(X)=47m的定義域?yàn)?,集合B={xeR∣l<αr<2},若B=A,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

A.[-2,IJB.[-1,1]C.(F,-2]H,+∞)D.(-∞,-lJu[l,+∞)

K答案》B

K解析》/(X)=√7=1的定義域?yàn)锳,所以YT2O,所以X2l或χ≤-1,①當(dāng)α=0

時(shí)，B={xeR∣l<Ox<2}=0,滿足8uA,所以α=O符合題意；

12

②當(dāng)”>O時(shí)，B={Λ∈R∣-<X<-},所以若B=A,

aa

12

則有一≥1或一≤-l,所以O(shè)ca≤1或4≤-2(舍)

aa

2I12

③當(dāng)α<0時(shí)，β={x∈R∣-<x<-},所以若6=A,則有一≤T或一≥1(舍)，

aaaa

—1≤fl<0,綜上所述，ɑe[-1[],故選：B.

3.在研究急剎車的停車距離問題時(shí)，通常假定停車距離等于反應(yīng)距離(4,單位：m)與

制動(dòng)距離(為，單位：m)之和.如圖為某實(shí)驗(yàn)所測得的數(shù)據(jù)，其中“KPH”表示剎車時(shí)汽車

的初速度V(單位：km/h).根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以推測，下面四組函數(shù)中最適合描述4，4與

V的函數(shù)關(guān)系的是()

制動(dòng)距離

3455m

停乍時(shí)間

的溺演

2

A.di=av,S=β8B.dl=av,d2=βv

1

C.d↑-a4v,d2=βvD.<∕l-a?∕v,d1=βv

K答案HB

K解析W設(shè)4?=/?,d2(y)^g(y).

由圖象知，4?=/(V)過點(diǎn)(40,8.5),(50,10.3),(60,12.5),(70,14.6),(80,16.7),

(90,18.7),(l∞,20.8),(110,22.9),(120,25),(130,27.1),(140,29.2),(150,31.3),

(160,33.3),(170,35.4),(180,37.5),

作出散點(diǎn)圖，如圖1.

”單位：km/h

40-.,

30"....*

20-..***

單位：m

O204060801∞1201401601804

圖1

由圖1可得，4與V呈現(xiàn)線性關(guān)系，可選擇用4=αv.

4(v)=g(v)過點(diǎn)(40,8.5),(50,16.2),(60,23.2),(70,31.4),(80,36),(90,52),

(100,64,6),(110,78.1),(120,93),(130,108.5),(140,123),(150,144.1),(160,164.3),

(170,183.6),(180,208).

作出散點(diǎn)圖，如圖2.

y單位：km/h

200-

150

100

50■

**

?單位：m

~040801201601804

圖2

由圖2可得，4與V呈現(xiàn)非線性關(guān)系，比較之下，可選擇用人=4

R解析2當(dāng)ι-χ>o,即x<l時(shí)，y=∕(Jχ)JMD,

1-x

,=一占(一)+∣n(lτ)=_1+皿一),

y=(I-X)2=(I-X)2

令y'>0,得XVI—e,令y'<0,得l-ev%vl,

所以函數(shù)y=∕(l-x)在(-∞,l-e)上為增函數(shù)，在(l-e,l)上為減函數(shù)，由此得A和C和D

不正確;

當(dāng)I-X≤0,即x21時(shí)，y=/(1-x)=(1-Λ)e'^r>

y=(l-x),e1^jr+(l-x)(e—j=-e'^v-(l-x)e'^x=-e'^x(2-x),

令y'>0,得x>2,令y'<0,得l≤x<2,

所以函數(shù)y=/(l-力在(2,+∞)上為增函數(shù)，在11,2)上為減函數(shù)，由此得B正確；

故選：B

5.若函數(shù)/(x)存在一個(gè)極大值/(3)與一個(gè)極小值/(々)滿足f(w)>∕(xj,則/(x)至

少有()個(gè)單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

K答案》B

K解析Il若函數(shù)/(X)存在一個(gè)極大值/G)與一個(gè)極小值/(χ2),則/(X)至少有3個(gè)單

調(diào)區(qū)間，

若〃力有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，

不妨設(shè)了(X)的定義域?yàn)?。力)，^a<xt<x2<b,其中。可以為-OO,可以為+∞,

則〃力在(α,xJ,(Λ2,b)上單調(diào)遞增，在(國,切上單調(diào)遞減，(若/(x)定義域?yàn)?。⑼內(nèi)不

連續(xù)不影響總體單調(diào)性)，

故/(w)<"χj,不合題意，

^a<x2<xl<b,則/(x)在(a,Λ2),(x∣⑼上單調(diào)遞減，在(孫％)上單調(diào)遞增，有

不合題意；

/(Λ2)<∕(XI),

若"x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

例如f(x)=x+'的定義域?yàn)閧x∣xxθ},則尸(力=41,

?X

令用x)>0,解得x>l或x<—1,

則“χ)在(9,-D,(ι,+∞)上單調(diào)遞增，在(τ,o),(o,ι)上單調(diào)遞減，

故函數(shù)f(x)存在一個(gè)極大值"T)=-2與一個(gè)極小值F(I)=2,且/(τ)<∕(l),滿足題

意，此時(shí)/(x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，

綜上所述：/（X）至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.

故選：B.

x+y-l≤O

z=9）；8+二］的最小值為（

6.已知實(shí)數(shù)X、)，滿足?χ-y+l≥0,則)

x-2y-2

y≥-l

13

A.

~2b?Tc?id?2

R答案》A

［解析』令'=三’則z=2≡+E=%+;,

x+y-l≤O

由r-y+l≥0作出可行域如圖，則A(—2,T),B(2-l),C(OJ)

y>-1

設(shè)點(diǎn)P（x,y）,0（2,2）,其中P在可行域內(nèi)，.」=）二|=%,

X—2

由圖可知當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，直線Po斜率最小，???g,,=k8="q=:

「1）、1「11

當(dāng)尸在B點(diǎn)時(shí)，直線尸。斜率不存在，???L2）???I在L2J上為增函

113

t—--z——

數(shù)，.?.當(dāng)2時(shí)"?2.故選：A.

7.在正方體AgCo-AEGP中，點(diǎn)P在正方形8CG4內(nèi)，且不在棱上，則（）

A.在正方形。CGA內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得AC

B.在正方形DCGR內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得PQLAC

C.在正方形OCGR內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得平面尸。G〃平面ABC

D.在正方形。CGA內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得AC，平面PQG

R答案XB

K解析RA、假設(shè)在正方形。CGn內(nèi)一定存在一點(diǎn)Q,使得PQ,AC,

作PE_LBe。尸，CO,垂足分別為E,F,連接E,F,則尸E尸。為矩形，且E尸與AC相交,

故PQ〃￡尸,由于PQ/AC,則AC〃所，這與AC,E尸相交矛盾，故A錯(cuò)誤；

B、假設(shè)尸為正方形BCG瓦的中心，Q為正方形。CGA的中心，

作P"LBC,QGLCQ,垂足分別為",G,連接",G,則P"G。為矩形，

則PQ〃HG,且",G為BC,8的中點(diǎn)，連接G4,M,

則G"〃比＞,因?yàn)锳Cl8。，所以GbLAC,即PQLAC,故B正確;

C、在正方形OCGR內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得平面尸。G〃平面ABC,

由于平面ABCC平面DCCR=C2平面PQCi∩平面DCC1D1=QQ,

WCDllCQ,而C?！⊿,則。在GR上，這與題意矛盾，C錯(cuò)誤;

D、假設(shè)在正方形OCGq內(nèi)一定存在一點(diǎn)。，使得AC_L平面PQG,

G。u平面PQq,則AC_LGQ,

又CGJ_平面4BCf>,4Ci平面A8C。，故GCLAC,

而CCC1Q=C1,CC，GQu平面。CClR,故AC_L平面。CCQ,

由于45，平面。CGR,故C，。重合，與題意不符，故D錯(cuò)誤，

故選：B

8.對于平面上點(diǎn)尸和曲線C,任取C上一點(diǎn)。，若線段PQ的長度存在最小值，則稱該值

為點(diǎn)尸到曲線C的距離，記作"(P,C).若曲線C是邊長為6的等邊三角形，則點(diǎn)集

O={P∣d(P,C)≤l}所表示的圖形的面積為()

A.36B.36-3&

C.36-3√3+2πD.36-3√3+π

K答案HD

K解析W根據(jù)題意作出點(diǎn)集O={P∣"(P,c)≤l}的區(qū)域如圖陰影所示，

其中四邊形AOEC,ABKM,BCFG為矩形且邊長分別為1,6,圓都是以1為半徑的，過

點(diǎn)/作/N,AC于N,連接4,則M=l,NNAl=3。，所以AN=>Λ,

則，”〃是以6-26為邊長的等邊三角形，

矩形43KM的面積Sl=IX6=6,

2兀12TUπ

ZDAM=y,扇形4W的面積為S?=于亍*1=§，

2

sASC=LXIAM?.sin60=1×6×?∣=9√3,

222

22

Swy=∣×∣∕∕∕∣?sin60=1×^×(6-2^)=12^-18,

所以S=3S∣+3S?+(SA8C-SMJ)=3×6÷3×∣+9√3-(12√3-18)=36-3^+π.

故選：D.

9.一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請參加一個(gè)節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個(gè)人自行決定.其

中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有()

A.15種B.28利IC.31種D.63種

K答案》C

K解析》若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，

所以滿足條件的去法數(shù)為C+U+C；+C：+C：=16種：

若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有

C；+C；+C：+C：=15種；故該宿舍同學(xué)的去法共有16+15=31種.故選：C.

10.已知橢圓C的焦點(diǎn)為K(O,-D,K(0,1),過B的直線與C交于尸，Q兩點(diǎn)，若

IP周=3住0,∣PQI=I0￡|,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A5x25y2n2產(chǎn)

A.------1------=I1B.XH----=1

232

K答案XB

K解析》如圖，由已知可設(shè)怩QI=閔PR=3機(jī)，又因?yàn)镮PQl=I。用.?.∣。用=5"

根據(jù)橢圓的定義。制=2α,.?.6∕"=2a,.?.α=3M,∣P用=2α-∣P周=2α-α=α=3m

在6中由余弦定理得CoSN耳尸。=聞償I1網(wǎng)=16〃：+：，〃：25,”=0,所以

2?∣PQ??IPFλI2?4rn?3m

〃PQ=90°

222

.?.?PF2^+∣PKf=∣∕7∕7∣ngm+9m=4:.m=$,a=3m=gnb=l

故橢圓方程為：亡+』=1故選：B

2

11.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+J對于任意的α∈[-"l),方程/(x)=α(0<P")恰

有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則用的取值范圍為()

(7π3π"∣Γπ5兀)(π5π"∣「7兀3兀、

A.B.—C.D.——

1124J[26)126JL124)

R答案XD

K解析》方程/(χ)="(O<χ≤%)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)y="χ)的圖象與直線

V=α有且僅有1個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)0<x≤機(jī)得：2x+g∈[m,2nι+y,

6166_

Tr4冗Sjr?

結(jié)合函數(shù)y=∕(x)的圖象可知，2w+-∈y,yj,

「7兀3兀、

解得：m∈—L

12.已知α=0.7e°4,7=elnl.4,c=0.98,則α,6,c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

K答案FA

K解析U構(gòu)造/(x)=InX-JX,x>0,

則廣(力二，一：，當(dāng)O<Jt<e時(shí)，>0,當(dāng)x>e時(shí)，∕r(x)<0,

所以/(x)=ln?r-LX在O<x<e上單調(diào)遞增，在X>e上單調(diào)遞減，

e

所以/(x)≤∕(e)=lne-l=O,

故InX≤Jχ,當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)成立，

e

因?yàn)閒>0,所以Inx2≤-=>21nx≤-=>Inx≤-=>In2x≤=—?2,

ee2e2ee

當(dāng)X=逅時(shí)，等號(hào)成立，

2

2OOR

當(dāng)x=0.7時(shí)，Inl.4<-X(0.7)2==>elnl.4<0.98,所以hvc

ee

構(gòu)造g(x)=e*τ-x,則g<x)F'T-l,當(dāng)x>l時(shí)，g,(x)>O,當(dāng)x<l時(shí)，^,(x)<0,

所以g(x)=e*τ-χ在χ>ι單調(diào)遞增，在χ<l上單調(diào)遞減，

故g(x)≥g(I)=0,所以e-≥x,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),等號(hào)成立，

故e?i≥xne2i≥2x,當(dāng)且僅當(dāng)X=O.5時(shí)，等號(hào)成立，

令X=O.7,則eιw>1.4n0.7eg>0.98,所以4>c,

綜上:“>c>b,

故選：A.

第H卷

二、填空題

13.設(shè)i,j是X,y軸正方向上的單位向量，2a-b=i-3j,a+3b=lli+9j,則向量

a,。的夾角為.

K答案》?

4

K解析U.2a-b=i-3j①,

α+3b=11i+9)②，

①x3+②得74=14i,.?.Q=2i,

-2x②+①得一7∕j=-21i-21∕,.?.6=3i+3j,a-b=2i?j+A=∕d+i?§=

IaI=2,W=g=3√2,???c°s(",?荒=春=與

14.已知雙曲線C：=l（α>0力>0）的焦距為2c?,過C的右焦點(diǎn)尸的直線/與C的兩條

漸近線分別交于AB兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若6=ccoSNAFO且FB=3E4,則C的漸近線

方程為.

K答案》y=±y∕2x

K解析U因?yàn)槭珺=3E4,畫出示意圖如圖，設(shè)NAO尸=Cn

因?yàn)閎=ccosNAR?,則CoSNA∕ΓO=2,

c

所以Sin2ZAFO=「，則SinZAFO=-,

CC

所以tanNAFO=又tana=。，所以NAFO+α=工，

ba2

所以A8J"OA,根據(jù)SinNAFO=螞=0,COSZAFO=畫=2,

CCCC

所以IQ4∣=α,∣E4∣="又因?yàn)镴ra=3以，

所以∣AB∣=2〃.在直角AAOB中，tanZAOB=tan(π-2?)=一,

2h

所以tan2a=-2=/tan,二〃，化簡得：^7=2,所以2=√Σ,

a1-tan^aba~a

?—7

Cr

則漸近線方程為：y=±√2x,

故K答案U為：?=±y∣2x.

5已知數(shù)列&｝滿足首項(xiàng)—"[MU端普，則數(shù)列⑷的前2〃項(xiàng)的和為

K答案H4x3"-4"-4

K解析2當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，?+2=3αn+l=3(απ+2),即?+2+3=3(απ+3),此時(shí)｛α,,+3｝為以

q+3=4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，

故倉^倉(a,+3)=4732,即?！?4?3-3-

uIi-2Dun-4jalD

S2,,=4+%+q+%++%ι+?,=4+(4+2)+4+(%+2)++%τ+(%ι+2)

=2(q+%++4““)+2〃=2(4?3°3+4?3l3++4?3,-13)+2〃

0ι

o3(-η

3〃+2”=4?3"4n-4.

1-3

故K答案H為：4×3,i-4n-4.

16.在三角形48C中，BC=2,AB=2AC,。為8C的中點(diǎn)，貝IjtanZAOC的最大值為

4

R答案Hy

K解析》設(shè)AC=X,則AB=2x,

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，BC=2,

所以5f>=?DC=l,

2

由三角形三邊關(guān)系可知：2x+x>2且2x-x<2,解得：］<x<2,

在三角形450中，由余弦定理得：CoSNAoB=把過匕住匚，

2AD

4D2+1—r2

在三角形ACO中，由余弦定理得：CoSNAQC=.................—,

IAD

因?yàn)閆Ar>8+ZADC=π,

所以cosZADB+cosZADC=""+I?、+=0,

2AD2AD

解得：AD2=-X2-?,

由余弦定理得:

令9*2-1=小(",9),

當(dāng)且僅當(dāng)t=L即f=l時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)=解得：X=巫,

t25

因?yàn)镃oSNAr>C≥∣>0,故NADe∈(θ,]｝

由于/(x)=COSX在(θ,?∣)上單調(diào)遞減，g(X)=tanX在(O今]單調(diào)遞增，

故當(dāng)COSNADC取得最小值時(shí)，tan/AOC取得最大值,

此時(shí)sinZADC=√1-cos2ZADC=:4

tanZADC=-.

3

三、解答題

17.(12分)數(shù)列｛q｝滿足%=5,點(diǎn)P(%,α,,+J在直線x-y+2=0上，設(shè)數(shù)列也｝的前〃

項(xiàng)和為S,,,且滿足2S,=3?,,-3,z2∈N".

(1)求數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在丘N*,使得對任意的N*,都有點(diǎn)≤/

解：(1)點(diǎn)P(%,%+∣)在直線x-y+2=0上，所以4+∣-4=2

又名=5,

??.q=l,則數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

an=2n-l

又當(dāng)"=1時(shí)，2S∣=34-3得4=3,

當(dāng)〃22,由2SΛ,=36,,-3①，

得2S,τ=3%-3②

由①一②整理得：b?=3b?_t,

?/?l=3≠O,/.如≠O

-A_=3

,

'?-l'

???數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，故4=3"

a2n-1

⑵設(shè)％=廣n〒

2H+12∕ι-l2n+1-6π+34—4∕?

由?,ι-c

+n3”3Λ+'

當(dāng)九=］時(shí),C1=C2,當(dāng)?shù)丁?時(shí),CnNVC

所以當(dāng)”=1或2時(shí)，g取得最大值，即系取得最大

所以存在Z=I,2,使得對任意的N*,都有f≤詈

Dnυk

18.（12分）如圖，將等邊ABC繞BC邊旋轉(zhuǎn)90。到等邊408C的位置，連接AZ）.

D

(1)求證：AD-LBC↑

（2）若M是棱D4上一點(diǎn)，且兩三角形的面積滿足SBMCI=2S&MA,求直線與平面

ACD所成角的正弦值.

（1）證明：設(shè)。是BC的中點(diǎn)，

連接A。，DO,由題知：Afi=AC,DB=DC,則BCJ.AO,BClDO,

又AOCDo=O,4。,。。＜=平面48,

所以BC1平面A。。，又ADU平面AOQ,所以AD/8C.

（2）解：由題知，OA.BC、OO兩兩垂直,

以。為原點(diǎn)，0A,0B,。。方向分別為X,y,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

示，

因?yàn)镾BMO=2S.BM*，所以AM=]A。，設(shè)Aβ=2α,則OA=Oz)=百”,

則4(島,0,0),B(0,0,0),C(0,-α,0),D(O,O,√3<Z),Ml半ɑ,θ,^ɑ

√3]

所以C4=(√54,α,θ),DΛ=(√3a,0,-√3α),BM=

Cl,一。,—3ClJ,

設(shè)平面ACD的法向量為。=（x,y,ι）,

n-CA=#IaX+ay=O

取X=1,可得〃M1),

n-DA=?[3ax-垂IaZ=O

設(shè)直線8M與平面Aa）所成的角為凡

BM`n3√10

則sinθ-cos(BM,n

?BM[?n?10

所以直線BM與平面AC。所成角的正弦值為巨叵.

10

19.（12分）甲、乙兩位選手參加一項(xiàng)射擊比賽，每位選手各有〃個(gè)射擊目標(biāo)，他們擊中

每一個(gè)目標(biāo)的概率均為且相互獨(dú)立.甲選手依次對所有〃個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，且每擊中

一個(gè)目標(biāo)可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中一個(gè)目標(biāo)后可繼

續(xù)對下一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊直至有目標(biāo)未被擊中時(shí)為止，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得2顆星.

（I）當(dāng)〃=5時(shí)，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個(gè)目標(biāo)的概率；

（2）若累計(jì)獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰更可能獲勝.

解：（1）當(dāng)〃=5時(shí)，甲擊中3個(gè)目標(biāo)的概率為I=CX（?）3X（!）2=2，

乙擊中3個(gè)目標(biāo)，則前3個(gè)目標(biāo)被擊中，第4個(gè)目標(biāo)未被擊中,

其概率為鳥是加標(biāo)上.

2216

(2)設(shè)X為甲累計(jì)獲得的星數(shù)，則X=0,1,2,,〃，設(shè)y為乙累計(jì)獲得的星數(shù),

則y=0,2,4,,2n,設(shè)擊中了根個(gè)目標(biāo)，其中0≤m≤",

則甲獲得星數(shù)為m的概率為P(X=M=C：(g)"'g)"T"=l?,

所以甲累計(jì)獲得星數(shù)為E(X)=9C+y+,c++.C：.

記

sz,=o?C"ι?C,++〃c;=〃C+(”-i)C++o?c;;,

所以25“=〃(C+C++C：)=〃?2",5'=〃?2'-',

小2"Tn

所以E(X)=

r~2

乙獲得星數(shù)為2，〃(0<m<n-?)的概率為尸(丫=2>n)=(g)'"?g=擊，

當(dāng)ZM=〃時(shí)，P(X=2m)=—,

2"

0242(77-1)2〃

所以乙累計(jì)獲得星數(shù)為E(y)=T+^→尹+lH-------

TT

記τ+>'+竽,則"嶗+〉+爭,

所以7；=2北—7；=2(：+5+.+擊)―2(；」=2一段,

砂)=2-擊，

當(dāng)”=1時(shí)，E(X)=LvE(Y)=I,當(dāng)”=2時(shí)，E(X)=RE(K)=-,

22

37

當(dāng)〃=3時(shí)，E(X)=-<E(Y)=-,當(dāng)“≥4時(shí)，E(X)≥2>E(K)

24

所以當(dāng)"=1,2,3時(shí)，乙更可能獲勝；當(dāng)“≥4時(shí)，甲更可能獲勝.

_22

20.(12分)己知拋物線y2=4√5x的焦點(diǎn)與橢圓Ω:*■+方=l(α>6>0)的右焦點(diǎn)重合,

直線4，+芭=1與圓/+丁=2相切.

(1)求橢圓Ω的方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線4與橢圓Ω相交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為線段AB的中點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM與橢圓C相交于點(diǎn)P,且O點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，記.AOM,

S

t1

△50P的面積分別為S∣,S2,求τ的取值范圍.

解：(1)?.?拋物線y2=4√Ir的焦點(diǎn)為(G,θ),.?.c=石,

從而H=/+3①，

?.?直線/1/+；=1與圓/+9=2相切，，

由①②得：a=?/e,b=?∣3J

.?.橢圓Ω的方程為：?+4=ι

63

⑵為線段48的中點(diǎn)，.?.g?=%絲=蹙1,

SISABOP

①當(dāng)直線4的斜率不存在時(shí)，X軸，由題意知Q4,03,結(jié)合橢圓的對稱性，不妨設(shè)

OA所在直線的方程為N=X,得x：=2,

從而xj=2,￡=6,.4=需卡

②當(dāng)直線4的斜率存在時(shí),

設(shè)直線4：y=H+〃?(WH°)，A(x∣,χ),B(x2,y2)

y=kx+m

22222

?∣<xy可得：(2Z:÷1)X÷4ktwc+2m—6=0,

63

由4=16公加-4(2公+1)(2〃?2-6)>0可得：6k2-m2+3>0(*)

4km2m2-6

%+&=一赤T3=FTT

Y。點(diǎn)在以A3為直徑的圓上，,QzVOB=O，即xw+X%=。，

2

.?xlx2+yiy2=0+/)?T]X2+?rn(χ+x2)+w?=0,

即Im

(1+22)X_e++w=0,

2?2+l

^m2=Ik2+2,(**)滿足(*)式.

；?線段48的中點(diǎn)例-

2k2+Γ2k2+l

S?OM?同√6

若Z=O時(shí)，由(**)可得:∏v2=2,止匕時(shí).??1

岳二方=TrT

若火力0時(shí)，射線OM所在的直線方程為y=-]χ,

S?！?旦

綜上,瓦1W

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e'-以一。

(1)當(dāng)α=l時(shí)，證明:/(xR0.

e2e2

(2)若/S)有兩個(gè)零點(diǎn)xl,x2(與<々)且77∣[-]'求為+W的取值范圍.

(1)證明：當(dāng)。=1時(shí),/(x)=e'-x-1,則r(x)=e*-l.

當(dāng)Xe(-∞,0)時(shí),/'(X)<O,當(dāng)XW(0,+∞)時(shí)J'(x)>O,

所以/(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則F(X)mta=∕(0)=0,故f(x)??°?

(2)解：由題意得e*-Orl-α=e*-0χ2-α=0,

v3

則e'=ajcl+a,e=ax2-t-ai

X+1

1l

從而e"&=jt]^>e`+e也=a(xl+?+2),e--e`'=a(x2-xl),

故…+2=匡坐ex,+e^產(chǎn))=H-j(l+e-τ)

e?2-ex,et2'x'-1

因?yàn)榉╡[2,e],所以e'afe[2,e2],即％-芭∈[ln2,2],

設(shè)F=X)-玉e[ln2,2],則χ+%+2=Y±1

e,-l

設(shè)g⑺二警W⑺=WL.

e-1［c~l)

設(shè)hQ)=e2f-2汨-1,則h'Q)=2e,(e,-r-l),

由(1)可知"(f)=2e'(e'τ-1)..0在R上恒成立，

從而A(r)=e2(-2汨-1在Un2,2］上單調(diào)遞增，

故A(Omin=Λd∏2)=4-4In2-1>0,即g'(f)>0在［in2,2］上恒成立，

2(l+e2)

所以gQ)在Un2,2］上單調(diào)遞增,所以%+x,+2e31n2,?J,

e~-1

-41「4

即玉+七￡3∣n2-2,--,即玉+々的取值范圍為31∏2-2,--.

_eτ-~1JLe^5—1_

(二)選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為卜="+"°sαC為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

y=ts?na

O

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2