廣東省廣州市科學(xué)城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省廣州市科學(xué)城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)

D．當(dāng)時(shí)，取極大值

參考答案：C略2.某?，F(xiàn)有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人，高三學(xué)生人，學(xué)校學(xué)生會(huì)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取數(shù)名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為（

）． A． B． C． D．參考答案：A設(shè)高三抽取人，由此例可，．故選．3.等比數(shù)列中,若公比,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A4.已知異面直線a與b所成的角為500，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P與a、b所成的角都是300的直線有且僅有（

）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4條

參考答案：B略5.．函數(shù)f（x）=x3﹣x2+x+1在點(diǎn)（1，2）處的切線的斜率是（）A．B．1C．2D．3參考答案：C6.若一個(gè)底面是正三角形的直三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于(

)A．

B．2

C．

D．6參考答案：D7.設(shè)有直線m、n和平面α、β．下列四個(gè)命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；直線與平面平行的判定．【分析】由題意設(shè)有直線m、n和平面α、β，在此背景下對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷找出正確選項(xiàng)，A選項(xiàng)可由線線平行的條件作出判斷，B選項(xiàng)可由面面平行的條件作出判斷，C選項(xiàng)可由線面垂直的條件作出判斷，D選項(xiàng)可由線面平行的條件作出判斷．【解答】解：當(dāng)兩條直線同時(shí)與一個(gè)平面平行時(shí)，兩條直線之間的關(guān)系不能確定，故A不正確，B選項(xiàng)再加上兩條直線相交的條件，可以判斷面與面平行，故B不正確，C選項(xiàng)再加上m垂直于兩個(gè)平面的交線，得到線面垂直，故C不正確，D選項(xiàng)中由α⊥β，m⊥β，m?α，可得m∥α，故是正確命題故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了線線平行的判定，面面平行的判定，線面垂直的判定，線面平行的判定，解題的關(guān)鍵是有著較強(qiáng)的空間想像能力，能根據(jù)題設(shè)條件想像出實(shí)物圖形，本題考查了空間想像能力，推理判斷的能力，命題真假的判斷與應(yīng)用題是近幾年高考的熱點(diǎn)，主要得益于其考查的知識(shí)點(diǎn)多，知識(shí)容量大，符合高考試卷命題精、博的要求8.如圖，莖葉圖記錄了某校“春季運(yùn)動(dòng)會(huì)”甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)，他們的平均成績(jī)均為82分，則x+y=（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：A【考點(diǎn)】莖葉圖．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙二人的平均數(shù)，求出x、y的值即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得；甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)均為82分，∴（75+76+84+80+x+85+90）=82，解得x=2；（72+70+y+84+86+87+91）=82，解得y=2；∴x+y=4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)求平均數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．9.直線在軸上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b參考答案：B10.拋物線的準(zhǔn)線方程為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“任取x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定為________．參考答案：存在x0∈R，x－2x0＋4>0略12.某工程由下列工序組成，則工程總時(shí)數(shù)為_________天．工序 a b c d e f前工序 — — a、b c c d、e工時(shí)數(shù)（天） 2 3 2 5 4 1

參考答案：11略13.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意都有成立，則不等式的解集是______.參考答案：【分析】令，可證為偶函數(shù)且為上的增函數(shù)，考慮當(dāng)時(shí)，的解及當(dāng)時(shí)，的解，它們的并是所求不等式的解集.【詳解】等價(jià)于，令，則，當(dāng)時(shí)，有，故為上的增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，的解為，故當(dāng)時(shí)，的解為，因，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，因?yàn)榕己瘮?shù)，故當(dāng)時(shí)，的解為即當(dāng)時(shí)，的解為，綜上，的解集是，填.【點(diǎn)睛】如果題設(shè)中有關(guān)于函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的不等式，我們應(yīng)具體該式的形式構(gòu)建新函數(shù)并且新函數(shù)的單調(diào)性可根據(jù)題設(shè)中的不等式得到，構(gòu)建新函數(shù)時(shí)可借鑒導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則.14.已知直線b//平面，平面//平面，則直線b與的位置關(guān)系為

.參考答案：平行或在平面內(nèi)15.復(fù)數(shù)z＝（i為虛數(shù)單位），則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第▲象限．參考答案：四

略16.已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是__________．參考答案：解：圓心與關(guān)于對(duì)稱，∴，圓為．17.圓在點(diǎn)處的切線方程為，類似地，可以求得橢圓在處的切線方程為A．

B.

C.

D.參考答案：C三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.求證：． 參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明． 【專題】證明題；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】將，，相加，再求其倒數(shù)，即可證得結(jié)論． 【解答】證明：∵， ∴ ∴ ∴ 【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的證明，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題． 19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）．（1）寫出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式．參考答案：【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法；F1：歸納推理．【分析】（1）先根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分別是等差數(shù)列進(jìn)而可猜想出Sn．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有Sk=，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．【解答】解：（1）：∵a1=1，Sn=n2an，∴S1=a1=1，當(dāng)n=2時(shí)，S2=a1+a2=4a2，解得a2=，S2=1+=，當(dāng)n=3時(shí)，S3=a1+a2+a3=9a3，解得a3=，S3=1++==，當(dāng)n=4時(shí)，S4=a1+a2+a3+a4=16a4，解得a4=，S4=，∴Sn=（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即Sk=，則當(dāng)n=k+1時(shí)，則Sk+1=（k+1）2ak+1=（k+1）2（Sk+1﹣Sk），∴（k2+2k）Sk+1=（k+1）2Sk=（k+1）2，∴Sk+1=故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有Sn=，∵Sn=n2an，∴an===20.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè)平面平面，，，求二面角的平面角的正弦值.參考答案：（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，所以，又為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以?）由（1）知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，，所以，由為中點(diǎn)，，，得，，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，即取，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，∴，設(shè)二面角的大小為，則所以，∴二面角的平面角的正弦值為.21.命題p：實(shí)數(shù)x滿足a＜x＜3a，其中a＞0；q：實(shí)數(shù)x滿足2＜x≤3．（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（Ⅱ）若q是p的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】（I）當(dāng)a=1時(shí)，命題p：實(shí)數(shù)x滿足1＜x＜3；q：實(shí)數(shù)x滿足2＜x≤3．p∧q為真，可得，解得x范圍．（II）由于q是p的充分條件，可得，解出即可．【解答】解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，命題p：實(shí)數(shù)x滿足1＜x＜3；q：實(shí)數(shù)x滿足2＜x≤3．∵p∧q為真，∴，解得2＜x＜3．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2，3）．（II）∵q是p的充分條件，∴，解得1＜a≤2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、不等式的解法、集合的運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．22.如圖示，給出的是某幾何體的三視圖，其中正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2