數(shù)學(xué)建模的多種作戰(zhàn)模型

數(shù)學(xué)建模中的作戰(zhàn)模型在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn)·W蘭徹斯特〔Lanchester〕投身于作戰(zhàn)模型的研究，他建立了一些可以從中得到交戰(zhàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)模型，并得到了一個很重要的“蘭徹斯特平方定律”：作戰(zhàn)部隊的實力同投入戰(zhàn)斗的戰(zhàn)士人數(shù)的平方成正比。對于一次局部戰(zhàn)斗，有些因素可以不考慮，如氣候，后勤供給，士氣的上下，而有些因素我們把雙方看成是相同的，如武器配備，指揮藝術(shù)。還可簡單地認(rèn)為兩軍的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的士兵人數(shù)。兩軍士兵都處于對方火力范圍內(nèi)，由于戰(zhàn)斗緊迫，短暫，也不考慮支援部隊。一、正規(guī)戰(zhàn)模型：令表ｔ時刻甲軍人數(shù),表ｔ時刻乙軍人數(shù)：在以上假設(shè)下，顯然甲軍人數(shù)的減員率與乙軍人數(shù)成正比，同樣乙軍減員率與甲軍人數(shù)成正比．可得正規(guī)部隊對正規(guī)部隊的作戰(zhàn)模型為(1)其中a>0，b>0均為常數(shù)，積分〔1〕得(2)這就是“蘭徹斯特平方定律”，〔2〕式在X-Y平面上是一族雙曲線。如圖17.8所示，雙曲線上的箭頭表示戰(zhàn)斗力隨著時間而變化的方向。由圖17.8可知，乙軍要想獲勝，即要使不等式成立?？刹捎脙煞N方式：(1)增加a，即配備更先進(jìn)的武器；(2)增加最初投入戰(zhàn)斗的人數(shù)。但是，值得注意的是：在上式中，a增大兩倍，結(jié)果也增大兩倍，但增大兩倍那么會使增大四倍。這正是兩軍擺開戰(zhàn)場作正規(guī)戰(zhàn)時蘭徹斯特平方定律的意義，說明兵員增加戰(zhàn)斗力將大大增加。如果考慮兩軍作戰(zhàn)時有增援，令和分別表示甲軍和乙軍t時刻的增援率，所謂增援率，就是增援戰(zhàn)士投入戰(zhàn)斗或戰(zhàn)士撤離戰(zhàn)斗的速率。此時正規(guī)部隊對正規(guī)部隊的作戰(zhàn)模型為(3)現(xiàn)在答復(fù)一開始時提出的問題，設(shè)甲軍有m=100人，乙軍有n=50人，兩軍裝備性能相同，y(t)y(t)c>0:乙軍勝c<0:甲軍勝c=0:不分勝負(fù)x(t)圖17圖17.8即令，沒有援軍，將(2)變?yōu)?4)將y=100，x=50代入(4)式得(5)再將c/a=7500代入(17.29)式得(6)戰(zhàn)斗結(jié)束一方人數(shù)為零，顯然這里乙軍x=0，代入(6)式得即甲軍戰(zhàn)死13人，剩下87人，乙軍50人全部被消滅。二、混合戰(zhàn)模型：如果甲軍是游擊隊，乙軍是正規(guī)部隊，由于游擊隊對當(dāng)?shù)氐匦问?，常常位于不易發(fā)現(xiàn)的有利地形。設(shè)游擊隊占據(jù)區(qū)域R，由于乙軍看不清楚甲軍，只好向區(qū)域R射擊，但并不知道殺傷情況。我們認(rèn)為如下的假設(shè)是合理的：游擊隊x的戰(zhàn)斗減員率應(yīng)當(dāng)與x(t)成正比，因為x(t)越大，目標(biāo)越大，被敵方子彈命中的可能性越大；另一方面游擊隊x(t)的戰(zhàn)斗減員率還與y(t)成正比，因為y(t)越大，火力越強，x的傷亡人數(shù)也就越大。因此游擊隊x的戰(zhàn)斗減員率等于cx(t)y(t)，常數(shù)c稱為敵方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。如果f(t)和g(t)分別為游擊隊和正規(guī)部隊增援率，那么游擊隊和正規(guī)部隊的作戰(zhàn)模型為(7)假設(shè)無增援f(t)和g(t)，那么(7)式為(8)積分(8)式得M>0：乙勝M=0:不分勝負(fù)圖17.9x(t)M<0:甲勝圖17.9x(t)y(t)(9)y(t)(9)式在x-y平面上定義了一族拋物線，如圖17.9所示：如果M>0，那么正規(guī)部隊勝，因為當(dāng)y(t)減小到，部隊x已經(jīng)被消滅。同樣，如M<0，那么游擊隊勝。三、游擊戰(zhàn)模型：0假設(shè)甲乙雙方都是游擊部隊，那么雙方都隱蔽在對方不易發(fā)現(xiàn)的區(qū)域內(nèi)活動。由混合戰(zhàn)局部的分析，得游擊戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型0(10)其中f(t)和g(t)分別是甲軍和乙軍的增援率，常數(shù)c是乙軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù)，常數(shù)d是甲軍的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。如果甲乙雙方增援率均為零，那么游擊戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型為(11)y(t)(11)的解為(12)y(t)0L<0:X獲勝圖17.10線性解L=0:平局L>0:Y獲勝x(t)0L<0:X獲勝圖17.10線性解L=0:平局L>0:Y獲勝x(t)(12)式在x-y平面上定義了一族直線。如圖17.10所示：如果m>0，那么乙方勝；如果m<0，那么甲方勝；如m=0那么雙方戰(zhàn)平。幾點說明：在模型(3)中，如果a、b、f(t)和g(t)，那么可用顯式求解。但在模型(7)中，因方程組是非線的，求解困難，可利用計算機求解。(2)事前確定戰(zhàn)斗有效系數(shù)a、b、c和d的數(shù)值通常是不可能的，但是如果對已有的戰(zhàn)役資料來確定a和b(或者c和d)的適當(dāng)系數(shù)值，那么對于其他類似于同樣條件下進(jìn)行的戰(zhàn)斗，a和b(或c和d)這些系數(shù)就可以認(rèn)為是的了。因此，在以上意義下，蘭徹斯特作戰(zhàn)模型仍然具有普遍意義。J·H·Engel將第二次世界大戰(zhàn)時美國和日本為爭奪硫磺島所進(jìn)行的戰(zhàn)斗資料進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)與蘭徹斯特作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型非常吻合，這就說明了蘭徹斯特作戰(zhàn)數(shù)學(xué)模型是能夠用來描述實際戰(zhàn)爭的。下面介紹二戰(zhàn)時期著名的硫磺島戰(zhàn)役：四、硫磺島戰(zhàn)役硫磺島位于東京以南1062km，面積僅有20.7km，是日軍的重要軍事基地。美軍想要奪取硫磺島作為轟炸日本外鄉(xiāng)時的轟炸機基地，而日本需要硫磺島作為戰(zhàn)斗機基地，以便攻擊美國的轟炸機。美軍從1945年2月19日開始進(jìn)攻，劇烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個多月，雙方傷亡十分沉重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人，戰(zhàn)爭進(jìn)行到28天時美軍宣布占領(lǐng)該島，實際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員和增援情況的戰(zhàn)地記錄，日軍沒有后援，戰(zhàn)地記錄全部遺失。用x(t)和y(t)表示美軍和日軍在第七天的人數(shù)，在正規(guī)戰(zhàn)模型(1)中加上初始條件，得(13)(14)由增援率和每天的傷亡人數(shù)可算出x(t),t=1,2,…,36(見圖17.11中虛線)，將已有數(shù)據(jù)代入(13)式，算出x(t)的理論值并與實際值作一比擬。對方程(13)用求和代替積分得(15)(16)為估計b值在(17.41)式中取t=36，因為y(36)=0，且由x(t)的實際數(shù)據(jù)可得=2037000，于是從(16)式估計出b==0.0106，再把這個值代入(16)式即可算出y(t)，t=1，2，…，36．由(15)式估計a值，令t=36，得(17)其中分子為美軍總的傷亡人數(shù)20265人，分母可由(16)算出的y(t)，得372500，由(17)式可解出，將a值代入(15)式得(18)由(18)式可算出美軍人數(shù)x(t)的理論值．圖17.11中用實線表示．與虛線表示的實際值比擬，吻合情況相當(dāng)好。4812162024283236t700006600062000580005400050000實際值理論值4812162024283236t700006600062000580005400050000實際值理論值x(t)x(t)圖圖17.11美軍兵力實際數(shù)據(jù)與理論結(jié)果的比擬習(xí)題17.41．方程組是正規(guī)部隊對游擊隊作戰(zhàn)的一個蘭徹斯特數(shù)學(xué)模型，其中游擊隊y的非戰(zhàn)斗減員率與y(t)成正比．〔1〕求方程組的軌線．〔2〕試問哪一方勝利．作戰(zhàn)部隊的非戰(zhàn)斗減員率是指非戰(zhàn)斗的原因〔如開小差、疾病等〕減員。問題：兩軍對壘，現(xiàn)甲軍有m個士兵，乙軍有n個士兵，試計算戰(zhàn)斗過程中雙方的死亡情