傳輸線理論-重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院教材

第2章

傳輸線理論

2―1引言2―2無(wú)耗傳輸線方程及其解2―3無(wú)耗傳輸線的基本特性2―4均勻無(wú)耗傳輸線工作狀態(tài)的分析2―5阻抗圓圖及其應(yīng)用

2―6傳輸線阻抗匹配2―1引言傳輸微波能量和信號(hào)的線路稱為微波傳輸線。微波線種類很多,本章討論微波傳輸線(如雙線、同軸線)的基本理論。這些理論不僅適用于TEM波傳輸線,而且也是研究非TEM波傳輸線的理論基礎(chǔ)。

研究傳輸線上所傳輸電磁波的特性的方法有兩種。一種是“場(chǎng)”的分析方法,即從麥?zhǔn)戏匠坛霭l(fā),解特定邊界條件下的電磁場(chǎng)波動(dòng)方程,求得場(chǎng)量(E和H)隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律,由此來(lái)分析電磁波的傳輸特性;另一種方法是“路”的分析方法,它將傳輸線作為分布參數(shù)來(lái)處理,得到傳輸線的等效電路,然后由等效電路根據(jù)克?；舴蚨蓪?dǎo)出傳輸線方程,再解傳輸線方程,求得線上電壓和電流隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律,最后由此規(guī)律來(lái)分析電壓和電流的傳輸特性。這種路的分析方法,又稱為長(zhǎng)線理論。事實(shí)上,“場(chǎng)”的理論和“路”的理論既是緊密相關(guān)的,又是相互補(bǔ)充的。有些傳輸線宜用“場(chǎng)”的理論去處理,而有些傳輸線在滿足一定條件下可以歸結(jié)為“路”的問(wèn)題來(lái)處理,這樣就可借用熟知的電路理論和現(xiàn)成方法,使問(wèn)題的處理大為簡(jiǎn)化。

一、分布參數(shù)及其分布參數(shù)電路傳輸線可分為長(zhǎng)線和短線,長(zhǎng)線和短線是相對(duì)于波長(zhǎng)而言的。所謂長(zhǎng)線是指?jìng)鬏斁€的幾何長(zhǎng)度和線上傳輸電磁波的波長(zhǎng)的比值(即電長(zhǎng)度)大于或接近于1。反之稱為短線。在微波技術(shù)中,波長(zhǎng)以m或cm計(jì),故1m長(zhǎng)度的傳輸線已長(zhǎng)于波長(zhǎng),應(yīng)視為長(zhǎng)線;在電力工程中,即使長(zhǎng)度為1000m的傳輸線,對(duì)于頻率為50Hz(即波長(zhǎng)為6000km)的交流電來(lái)說(shuō),仍遠(yuǎn)小于波長(zhǎng),應(yīng)視為短線。傳輸線這個(gè)名稱均指長(zhǎng)線傳輸線。

二、均勻傳輸線的分布參數(shù)及其等效電路所謂均勻傳輸線是指?jìng)鬏斁€的幾何尺寸、相對(duì)位置、導(dǎo)體材料以及周圍媒質(zhì)特性沿電磁波傳輸方向不改變的傳輸線,即沿線的參數(shù)是均勻分布的。一般情況下均勻傳輸線單位長(zhǎng)度上有四個(gè)分布參數(shù):分布電阻R1、分布電導(dǎo)G1、分布電感L1和分布電容C1。它們的數(shù)值均與傳輸線的種類、形狀、尺寸及導(dǎo)體材料和周圍媒質(zhì)特性有關(guān)。幾種典型傳輸線的分布參數(shù)計(jì)算公式列于表2―1―1中。表中μ0、ε分別為雙導(dǎo)線周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)。

表2―1―1幾種雙導(dǎo)線傳輸線的分布參數(shù)有了分布參數(shù)的概念,我們可以將均勻傳輸線分割成許多微分段dz(dz<<λ),這樣每個(gè)微分段可看作集中參數(shù)電路,其集中參數(shù)分別為R1dz、G1dz,L1dz及C1dz,其等效電路為一個(gè)Γ型網(wǎng)絡(luò)如圖2―1―1(a)所示。整個(gè)傳輸線的等效電路是無(wú)限多的Γ型網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián),如圖2―1―1(b)所示。

圖2―1―1

2―2無(wú)耗傳輸線方程及其解

無(wú)耗傳輸線是指R1=G1=0的傳輸線。無(wú)耗傳輸線實(shí)際上是不存在的,但由于傳輸線的導(dǎo)體均采用良導(dǎo)體,周圍介質(zhì)又是低耗介質(zhì)材料,因此傳輸線的損耗比較小,故在分析傳輸線的傳輸特性時(shí)可以近似看成是無(wú)耗線。無(wú)耗傳輸線方程是研究傳輸線上電壓、電流的變化規(guī)律及其相互關(guān)系的方程。它可由無(wú)耗傳輸線的等效電路導(dǎo)出。

一、傳輸線方程傳輸線的始端接角頻率為ω的正弦信號(hào)源,終端接負(fù)載阻抗ZL。坐標(biāo)的原點(diǎn)選在始端。設(shè)距始端z處的復(fù)數(shù)電壓和復(fù)數(shù)電流分別為U(z)和I(z),經(jīng)過(guò)dz段后電壓和電流分別為U(z)+dU(z)和I(z)+dI(z)。如圖2―2―1所示。

其中增量電壓dU(z)是由于分布電感L1dz的分壓產(chǎn)生的,而增量電流dI(z)是由于分布電容C1dz的分流產(chǎn)生的。根據(jù)克希霍夫定律很易寫(xiě)出下列方程:

圖2―2―1(2―2―1)(2―2―2)即式(2―2―2)是一階常微分方程,亦稱傳輸線方程。它是描寫(xiě)無(wú)耗傳輸線上每個(gè)微分段上的電壓和電流的變化規(guī)律,由此方程可以解出線上任意點(diǎn)的電壓和電流以及它們之間的關(guān)系。因此式(2―2―2)即為均勻無(wú)耗傳輸線的基本方程。二、均勻傳輸線方程的解將式(2―2―2)兩邊對(duì)z微分得到

(2―2―3)將式(2―2―2)代入上式,并改寫(xiě)為

(2―2―4)式(2―2―4)稱為傳輸線的波動(dòng)方程。它是二階齊次微分方程,其通解為(2―2―5)將式(2―2―5)代入式(2―2―2),便得

(2―2―6)(2―2―7)具有阻抗的單位,稱它為無(wú)耗傳輸線的特性阻抗。

(2―2―8)稱為相位常數(shù),表示單位長(zhǎng)度上的相位變化。式(2―2―5)中A1和A2為常數(shù),其值決定于傳輸線的始端和終端邊界條件。通常給定傳輸線的邊界條件有兩種:一是已知終端電壓U2和電流I2;二是已知始端電壓U1和電流I1。下面分別討論兩種情況下沿線電壓和電流的表達(dá)式。

(一)已知終端電壓U2和終端電流I2

如圖2―2―2所示,這是最常用的情況。只要將z=l,U(l)=U2、I(l)=I2代入式(2―2―5)和式(2―2―6)求得

(2―2―9)圖2―2―2將上式代入式(2―2―5)和式(2―2―6),并整理求得

(2―2―10)

式中z′=l-z是由終端算起的坐標(biāo)。應(yīng)用公式

(2―2―11)可將式(2―2―10)寫(xiě)成三角函數(shù)表達(dá)式

(2―2―12)

(二)已知始端電壓U1和始端電流I1

將z=0、U(0)=U1、I(0)=I1代入式(2―2―5)和式(2―2―6)便可求得

(2―2―13)

將上式代入式(2―2―5)和式(2―2―6),即得到

(2―2―14)

同樣可以寫(xiě)成三角函數(shù)表達(dá)式(2―2―15)

三、入射波和反射波的疊加由式(2―2―5)和式(2―2―6)兩式可以看出,傳輸線上任意位置的復(fù)數(shù)電壓和電流均有兩部分組成,即有

(2―2―16)根據(jù)復(fù)數(shù)值與瞬時(shí)值的關(guān)系,并假設(shè)A1、A2為實(shí)數(shù),則沿線電壓的瞬時(shí)值為

式中ui(z,t)、ii(z,t)是由信號(hào)源向負(fù)載方向傳播的行波,稱為入射波,其振幅不隨傳輸方向變化,其相位隨傳播方向z的增加而滯后;ur(z,t)和ir(z,t)是由負(fù)載向信號(hào)源方向傳播的行波,稱為反射波,其振幅不隨傳播方向變化,其相位隨z′的增加而滯后。因此入射波和反射波都是隨傳播方向振幅不變和相位滯后的行波。線上任意位置的電壓和電流均是入射波和反射波的疊加。

2―3無(wú)耗傳輸線的基本特性

傳輸線的基本特性包括:傳輸特性、特性阻抗、輸入阻抗、反射系數(shù)和傳輸功率。下面分別討論。

一、傳輸特性

(一)相位常數(shù)β

相位常數(shù)表示單位長(zhǎng)度上的相位變化,其值為

(2―3―1)

(二)相速度vp

傳輸線上的入射波和反射波以相同的速度向相反方向沿傳輸線傳播。相速度是指波的等相位面移動(dòng)的速度。入射波的等相位方程為

ωt-βz=常數(shù)

上式對(duì)t求導(dǎo)可得入射波的相速度為

(2―3―2)將代入式(2―3―2),便得行波的相速度為

(2―3―3)將表2―1―1中的雙線或同軸線的L1和C1代入上式,使得雙線和同軸線上行波的相速度均為

(2―3―4)式中v0為光速。由此可見(jiàn),雙線和同軸線上行波電壓和行波電流的相速度等于傳輸線周圍介質(zhì)中的光速,它和頻率無(wú)關(guān),只決定周圍介質(zhì)特性參量ε,這種波稱為無(wú)色散波。

(三)相波長(zhǎng)λp

相波長(zhǎng)λp是指同一個(gè)時(shí)刻傳輸線上電磁波的相位相差2π的距離,即有(2―3―5)

式中f為電磁波頻率,T為振蕩周期,λ0為真空中電磁波的工作波長(zhǎng)。可見(jiàn)傳輸線上行波的波長(zhǎng)也和周圍介質(zhì)有關(guān)。二、特性阻抗所謂特性阻抗Z0是指?jìng)鬏斁€上入射波電壓Ui(z)和入射波電流Ii(z)之比,或反射波電壓Ur(z)和反射波電流Ir(z)之比的負(fù)值。即

由式(2―2―7)得知(2―3―6)

(2―3―7)由此可見(jiàn),無(wú)耗傳輸線的特性阻抗與信號(hào)源的頻率無(wú)關(guān),僅和傳輸線的單位長(zhǎng)度上的分布電感L1和分布電容C1有關(guān),是個(gè)實(shí)數(shù)。

由表2―1―1查得雙線的分布電感和分布電容,然后代入式(2―3―7),便得到雙線傳輸線的特性阻抗計(jì)算公式為(2―3―8)式中εr為雙導(dǎo)線周圍介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。雙導(dǎo)線的特性阻抗一般為250Ω~700Ω。同理得同軸線的特性阻抗公式為

(2―3―9)常用同軸線的特性阻抗值為50Ω和75Ω兩種。

三、輸入阻抗和反射系數(shù)

(一)輸入阻抗Zin(z)

無(wú)耗傳輸線上的電壓和電流的表達(dá)式為

(2―3―10)如圖2―3―1所示的傳輸線,其終端接負(fù)載阻抗ZL時(shí),則距終端為z′處向負(fù)載看去的輸入阻抗定義為該點(diǎn)的電壓U(z′)與電流I(z′)之比,并用Zin(z′)表示。即

化簡(jiǎn)得到

(2―3―11)圖2―3―1將z′=l代入上式便得到傳輸線始端的輸入阻抗為

因?yàn)閷?dǎo)納與阻抗互為倒數(shù),故可方便地得到輸入導(dǎo)納與負(fù)載導(dǎo)納的關(guān)系式為

(2―3―12)(2―3―13)式中YL=1/ZL,Y0=1/Z0。

(二)反射系數(shù)傳輸線上任意點(diǎn)的電壓和電流均為入射波和反射波的疊加。反射波的大小和相位可用反射系數(shù)Γ(z′)來(lái)描寫(xiě)。

距終端為z′處的電壓反射系數(shù)ΓV(z′)定義為該點(diǎn)的反射電壓與該點(diǎn)的入射波電壓之比,即

同理z′處的電流反射系數(shù)ΓI(z′)為

(2―3―14)(2―3―15)

將式(2―3―16)代入式(2―2―15),可得

(2―3―16)可見(jiàn),傳輸線上任意點(diǎn)的電壓反射系數(shù)和電流反射系數(shù)大小相等,相位相反。因常采用電壓反射系數(shù)來(lái)描寫(xiě)反射波的大小和相位,故以后提到反射系數(shù),如果未加指明,都表示電壓反射系數(shù),并用Γ(z′)表示。

由式(2―2―10)可以得到無(wú)耗線上離終端z′處的電壓反射系數(shù)為

(2―3―17)式中Γ2為終端的反射系數(shù),其值為

(2―3―18)可見(jiàn),終端電壓反射系數(shù)僅決定于終端負(fù)載阻抗ZL和傳輸線的特性阻抗Z0;終端電壓反射系數(shù)的模表示終端反射波電壓與入射波電壓振幅的比值,其相位φ2表示終端反射波電壓與入射波電壓之間的相位差。

將式(2―3―18)代入式(2―3―17),便得到無(wú)耗傳輸線離終端z′處的電壓反射系數(shù)為

因此,無(wú)耗線上任意點(diǎn)的反射系數(shù)的大小等于終端負(fù)載的反射系數(shù),其相位比終端處的反射系數(shù)相位φ2落后2βz′。

即(2―3―19)(2―3―20)

上面兩式相比,便得到線上某點(diǎn)的輸入阻抗和該點(diǎn)的電壓反射系數(shù)的關(guān)系式為(2―3―21)上式表明,線上任意點(diǎn)的反射系數(shù)和該點(diǎn)向負(fù)載看去的輸入阻抗有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。將z′=0代入上式,便得終端負(fù)載阻抗與終端反射系數(shù)的關(guān)系,即為(2―3―22)

四、駐波系數(shù)和行波系數(shù)當(dāng)電磁波在終端負(fù)載阻抗不等于傳輸線特性阻抗的傳輸線上傳輸時(shí),會(huì)產(chǎn)生反射波。反射波的大小除了用電壓反射系數(shù)來(lái)描寫(xiě)外,還可用駐波系數(shù)(VSWR)或行波系數(shù)K來(lái)表示。駐波系數(shù)ρ定義為沿線合成電壓(或電流)的最大值和最小值之比,即

(2―3―23)傳輸線上合成電壓(或電流)振幅值的不同,是由于各處入射波和反射波的相位不同而引起的?？梢?jiàn),當(dāng)入射波的相位與該點(diǎn)反射波的相位同相時(shí),則該處合成波電壓(或電流)出現(xiàn)最大值,反之兩者相位相反時(shí),合成波出現(xiàn)最小值,故有

由此可得到駐波系數(shù)和反射系數(shù)的關(guān)系式為(2―3―24)或行波系數(shù)K定義為沿線電壓(或電流)的最小值與最大值之比,即駐波系數(shù)的倒數(shù)。

(2―3―25)因此,傳輸線的反射波的大小,可用反射系數(shù)的模、駐波系數(shù)和行波系數(shù)來(lái)表示。反射系數(shù)模的范圍為0≤|Γ|≤1;駐波系數(shù)的范圍為1≤ρ≤∞;行波系數(shù)的范圍為0≤K≤1。當(dāng)|Γ|=0、ρ=1和K=1時(shí),表示傳輸線上沒(méi)有反射波,即為匹配狀態(tài)。五、傳輸功率傳輸線主要用來(lái)傳輸功率。無(wú)耗傳輸線上任意點(diǎn)z處的電壓、電流為

因此傳輸功率為對(duì)于無(wú)耗線Z0為實(shí)數(shù),而上式中括號(hào)內(nèi)第三與第四項(xiàng)之差為虛數(shù),因此上式變?yōu)?/p>

(2―3―26)式中Pr(z)和Pi(z)分別表示通過(guò)z點(diǎn)處的反射波功率和入射波功率,兩者之比|Γ(z)|2為功率反射系數(shù)。

式(2―3―26)表明,無(wú)耗傳輸線上通過(guò)任意點(diǎn)的傳輸功率等于該點(diǎn)的入射波功率與反射波功率之差。由于是無(wú)耗線,因此通過(guò)線上任意點(diǎn)的傳輸功率都是相同的,即傳輸線始端的輸入功率等于終端負(fù)載吸收功率,也等于電壓波腹點(diǎn)或電壓波節(jié)點(diǎn)處的傳輸功率。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),一般在電壓波腹點(diǎn)或電壓波節(jié)點(diǎn)處計(jì)算傳輸功率,即

(2―3―27)

式中|U|max決定傳輸線線間擊穿電壓Ubr,在不發(fā)生擊穿情況下,傳輸線允許傳輸?shù)淖畲蠊β史Q為傳輸線的功率容量,其值應(yīng)為

(2―3―28)可見(jiàn),傳輸線的功率容量與行波系數(shù)K有關(guān),K愈大,功率容量愈大。2―4均勻無(wú)耗傳輸線工作狀態(tài)的分析一、行波工作狀態(tài)(無(wú)反射情況)

由式(2―3―18)可以得到傳輸線上無(wú)反射波的條件為

ZL=Z0(2―4―1)

此時(shí),令式(2―2―14)中右邊第二項(xiàng)為零,便得到行波狀態(tài)時(shí)沿線電壓和電流的表達(dá)式為

式中U1和I1分別表示始端的電壓和電流,U1i和I1i分別表示始端的入射波電壓和電流,φ1為始端入射波電壓(或電流)的初相位。由式(2―4―2)中兩式之比,便得到行波工作狀態(tài)時(shí),沿線某點(diǎn)的輸入阻抗為(2―4―2)

(2―4―3)由上面的分析可知,當(dāng)負(fù)載阻抗等于傳輸線特性阻抗時(shí),均勻無(wú)耗傳輸線上傳播的波為行波,沿線各點(diǎn)電壓和電流的振幅不變;相位隨z增加不斷滯后;沿線各點(diǎn)輸入阻抗均等于傳輸線的特性阻抗,如圖2―4―1所示。圖2―4―1二、駐波工作狀態(tài)(全反射情況)

由式(2―3―18)可以得到傳輸線上產(chǎn)生全反射(即|Γ2|=1)的條件為:ZL=0、∞、±jX,即終端短路、開(kāi)路或接純電抗負(fù)載。由于終端沒(méi)有吸收功率的電阻元件,傳輸線將會(huì)產(chǎn)生全反射而形成駐波,故稱它為駐波工作狀態(tài)。四種終接情況下線上電壓和電流均為駐波分布。所不同的僅是駐波分布的位置不同。

(一)終端短路(ZL=0,Γ2=-1)

因ZL=0,則有U2=0,即可得到

(2―4―4)

將U2=0代入式(2―3―10),便得到終端短路時(shí),沿線電壓、電流分布表達(dá)式為

(2―4―5)上式取絕對(duì)值(2―4―6)則沿線電壓和電流的瞬時(shí)值表示式為

(2―4―7)沿線電壓、電流的振幅值和瞬時(shí)值分布分別如圖2―4―2中(c)和(b)所示。圖2―4―2由圖可見(jiàn),瞬時(shí)電壓或電流在某個(gè)固定位置上隨時(shí)間t作正弦或余弦變化,而在某一個(gè)時(shí)刻t時(shí)隨距離z作余弦或正弦變化,即瞬時(shí)電壓和電流的時(shí)間相位差和空間相位差均為π/2,這表明傳輸線上沒(méi)有功率的傳輸。在離終端距離z′=λ/4的奇數(shù)倍處,電壓振幅值永遠(yuǎn)最大,電流振幅值永遠(yuǎn)為零,稱為電壓的波腹點(diǎn)和電流的波節(jié)點(diǎn);而在z′=λ/2的整數(shù)倍處,電壓為波節(jié)點(diǎn)和電流為波腹點(diǎn)。

由式(2―4―5)中兩式相比,可以得到終端短路時(shí),沿線的阻抗分布的表達(dá)式為(2―4―8)終端短路的傳輸線上的阻抗為純電抗,沿線阻抗分布如圖2―4―2(d)所示。

(二)終端開(kāi)路(ZL=∞,Γ2=1)

將ZL=∞,I2=0代入式(2―3―10),可得終端開(kāi)路時(shí)沿線電壓、電流分布的表達(dá)式為

(2―4―9)上面兩式相比,可得沿線阻抗分布的表達(dá)式

(2―4―10)圖2―4―3給出了終端開(kāi)路時(shí)沿線電壓、電流振幅值和阻抗的分布。

圖2―4―3由圖可見(jiàn)終端為電壓波腹點(diǎn)、電流波節(jié)點(diǎn),阻抗為無(wú)窮大。和終端短路的情況相比,可以得到這樣一個(gè)結(jié)論:只要將終端短路的傳輸線上電壓、電流及阻抗分布從終端開(kāi)始去掉λ/4線長(zhǎng),余下線上的分布即為終端開(kāi)路的傳輸線上沿線電壓、電流及阻抗分布。這就啟發(fā)我們將終端短路(或終端開(kāi)路)的傳輸線上電壓、電流及阻抗分布自終端起去掉小于λ/4線長(zhǎng),即可得到終接純感抗(或純?nèi)菘?負(fù)載時(shí)的沿線電壓、電流及阻抗分布。

三、行駐波工作狀態(tài)(部分反射情況)

當(dāng)均勻無(wú)耗線終接除上面所述負(fù)載以外情況時(shí),信號(hào)源給出的一部分能量被負(fù)載吸收、另一部分能量將被負(fù)載反射,從而產(chǎn)生部分反射而形成行駐波。研究行駐波狀態(tài)下沿線電壓、電流的分布規(guī)律,也可以采用上面的解析方法來(lái)分析,但比較麻煩。這里介紹一種矢量圖的分析方法,這種方法比較直觀,而且也是下面將要討論的阻抗圓圖的基礎(chǔ)。為了清楚起見(jiàn),將式(2―3―20)重寫(xiě)如下:(2―4―11)(2―4―12)上面兩式之比即為歸一化阻抗

(2―4―13)現(xiàn)在,我們將上式用矢量來(lái)表示,并畫(huà)在一個(gè)復(fù)平面上。式(2―4―12)中第一式的第一項(xiàng)為實(shí)數(shù)1,表示在實(shí)軸方向的單位矢量,它是始終不變的。第二項(xiàng)為反射系數(shù)的旋轉(zhuǎn)矢量,它的模為|Γ|,在終端處反射系數(shù)的相角為φ2,即在復(fù)平面上終端處的反射系數(shù)和實(shí)軸的夾角。圖2―4―4

(一)電壓波腹和波節(jié)點(diǎn)的位置和大小由圖2―4―4可見(jiàn),當(dāng)反射系數(shù)矢量旋轉(zhuǎn)到與軸重合時(shí),合成的歸一化電壓為最大(或歸一化電流最小),故軸為電壓波腹點(diǎn)(或電流波節(jié)點(diǎn))的軌跡。由式(2―4―12)可知,終端到第一個(gè)電壓波腹點(diǎn)的距離z′max1應(yīng)滿足

(2―4―14)此時(shí)電壓最大值為由式(2―4―12)可知終端到第一個(gè)電壓波節(jié)點(diǎn)的距離z′min1應(yīng)滿足(2―4―15)即此時(shí)電壓的最小值為(2―4―16)(2―4―17)因此式(2―4―15)和(2―4―17)的比值為線上的駐波系數(shù),即為

(2―4―18)

(二)阻抗特性由圖2―4―4(c)可見(jiàn),當(dāng)反射系數(shù)矢量落在上半平面內(nèi),則電壓超前電流,阻抗為感性,故上半平面為感性阻抗的軌跡;當(dāng)反射系數(shù)矢量落在下半面內(nèi),則電流超前電壓,阻抗為容性,故下半平面為容性阻抗的軌跡;當(dāng)反射系數(shù)矢量落在實(shí)軸上,則電壓和電流同相。阻抗為純阻且最大,此處電壓為波腹點(diǎn)而電流為波節(jié)點(diǎn),故該處的歸一化電阻

(2―4―19)當(dāng)反射系數(shù)矢量落在負(fù)實(shí)軸上,則電壓和電流同相,阻抗為純阻且最小,此處為電壓波節(jié)點(diǎn)和電流波腹點(diǎn),故該處歸一化電阻

(2―4―20)2―5阻抗圓圖及其應(yīng)用為了使阻抗圓圖適用于任意特性阻抗的傳輸線的計(jì)算,故圓圖上的阻抗均采用歸一化值。由式(2―3―22)可得歸一化阻抗與該點(diǎn)反射系數(shù)的關(guān)系為

(2―5―1)(2―5―2)

或(2―5―3)

(2―5―4)(2―5―5)

根據(jù)上述基本公式,在直角坐標(biāo)系中繪出的幾組曲線圖稱為直角坐標(biāo)圓圖;而在極坐標(biāo)系中繪出的曲線圖稱為極坐標(biāo)圓圖,又稱為史密斯(Smith)圓圖。其中以Smith圓圖應(yīng)用最廣,故這里只介紹Smith圓圖的構(gòu)造和應(yīng)用。一、阻抗圓圖阻抗圓圖是由等反射系數(shù)圓族、等電阻圓族、等電抗圓族及等相位線族組成。下面分別討論之。

(一)等反射系數(shù)圓無(wú)耗傳輸線上離終端距離為z′處的反射系數(shù)為

(2―5―6)上式表明,在Γ=Γa+jΓb復(fù)平面上等反射系數(shù)模的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、|Γ2|為半徑的圓。不同的反射系數(shù)模,就對(duì)應(yīng)不同大小的圓。因?yàn)閨Γ|≤1,因此所有的反射系數(shù)圓都位于單位圓內(nèi)。這一組圓族稱為等反射系數(shù)圓族。又因?yàn)榉瓷湎禂?shù)模和駐波系數(shù)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,故又稱它為等駐波系數(shù)圓族。半徑為零,即坐標(biāo)原點(diǎn)為匹配點(diǎn);半徑為1,表示最外面的單位圓為全反射圓。

(二)等相位線離終端距離為z′處反射系數(shù)的相位為

(2―5―7)上式為直線方程,即表明在Γ復(fù)平面上等相位線是由原點(diǎn)發(fā)出的一系列的射線。若已知終端的反射系數(shù)為Γ2=|Γ2|ejφ2,則離開(kāi)終端z′處的反射系數(shù)為

(2―5―8)

上式表明,Γ(z′)的相位比終端處的相位滯后2βz′=4πz′/λ弧度,即由Γ2處沿|Γ2|圓順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2βz′弧度;反之如果已知z′處的反射系數(shù)Γ(z′),那么終端處的反射系數(shù)Γ2為

(2―5―9)表示終端處的反射系數(shù)Γ2的相位超前Γ(z′)處2βz′弧度,即由Γ(z′)處沿等反射系數(shù)圓逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)2βz′弧度。

傳輸線上移動(dòng)距離與圓圖上轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系為

(2―5―10)式中Δθ=Δl/λ為電長(zhǎng)度的增量,當(dāng)Δθ=05時(shí),則Δφ=360°。圖2―5―1

(三)等阻抗圓將Γ=Γa+jΓb代入式(2―5―1),并將實(shí)部和虛部分開(kāi),得到式中(2―5―11)(2―5―12)

將式(2―5―11)和式(2―5―12)分別整理化簡(jiǎn),得到兩個(gè)方程

(2―5―13)(2―5―14)圖2―5―2圖2―5―3二、導(dǎo)納圓圖導(dǎo)納是阻抗的倒數(shù),故歸一化導(dǎo)納為

注意式中的Γ(z′)是電壓反射系數(shù)。如果上式用電流反射系數(shù)ΓI(z′)來(lái)表示,因ΓV(z′)=-ΓI(z′),故有

(2―5―15)(2―5―16)

兩個(gè)圓圖上參量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2―5―1所示。導(dǎo)納圓圖如圖2―5―5所示。但把阻抗圓圖作為導(dǎo)納圓圖使用時(shí)必須注意下列幾點(diǎn):

表2―5―1

(1)阻抗圓圖的上半面為+j

平面(為正值),故為感性平面,下半平面為-j

平面,故為容性平面;而導(dǎo)納圓圖的上半平面為+j

平面(為正值),故為容性平面,下半平面為-j

平面,故為感性平面。

(2)在阻抗圓圖上,直線為電壓波腹點(diǎn)的軌跡,

直線為電壓波節(jié)點(diǎn)的軌跡;而導(dǎo)納圓圖上直線為電流波腹點(diǎn)(即電壓波節(jié)點(diǎn))的軌跡,

直線為電流波節(jié)點(diǎn)(即電壓波腹點(diǎn))的軌跡。

圖2―5―5

(3)在阻抗圓圖上,D點(diǎn)為=∞、=∞的開(kāi)路點(diǎn),C點(diǎn)為=0、=0的短路點(diǎn);而導(dǎo)納圓圖上,D點(diǎn)為=∞、=∞的短路點(diǎn),C點(diǎn)為=0、=0的開(kāi)路點(diǎn)。

三、阻抗圓圖的應(yīng)用舉例阻抗圓圖是微波工程設(shè)計(jì)中的重要工具。利用圓圖可以解決下列問(wèn)題:根據(jù)終接負(fù)載阻抗計(jì)算傳輸線上的駐波比;根據(jù)負(fù)載阻抗及線長(zhǎng)計(jì)算輸入端的輸入導(dǎo)納、輸入阻抗及輸入端的反射系數(shù);根據(jù)線上的駐波系數(shù)及電壓波節(jié)點(diǎn)的位置確定負(fù)載阻抗;阻抗和導(dǎo)納的互算等等。下面舉例來(lái)說(shuō)明圓圖的使用方法。例題2―5―1已知雙線傳輸線的特性阻抗Z0=300Ω,終接負(fù)載阻抗ZL=180+j240Ω,求終端反射系數(shù)Γ2及離終端第一個(gè)電壓波腹點(diǎn)至終端距離lmax1。

解:(1)計(jì)算歸一化負(fù)載阻抗:(2)確定反射系數(shù)的模|Γ2|。

圖2―5―6

(3)計(jì)算Γ2的相角φ2。(4)確定第一個(gè)電壓波腹點(diǎn)離終端的距離lmax1。

2―6傳輸線阻抗匹配一、阻抗匹配概念阻抗匹配是傳輸線理論中的重要概念。在由信號(hào)源、傳輸線及負(fù)載組成的微波系統(tǒng)中,如果傳輸線與負(fù)載不匹配,傳輸線上將形成駐波。有了駐波一方面使傳輸線功率容量降低,另一方面會(huì)增加傳輸線的衰減。

(一)共軛匹配要使信號(hào)源給出最大功率,達(dá)到共軛匹配,必須要求傳輸線的輸入阻抗和信號(hào)源的內(nèi)阻抗互為共軛值。設(shè)信號(hào)源的內(nèi)阻抗為Zg=Rg+jXg,傳輸線的輸入阻抗為Zin=Rin+jXin,如圖2―6―1所示。

(2―6―1)在滿足以上共軛匹配條件下,信號(hào)源給出的最大功率為(2―6―2)圖2―6―1

(二)阻抗匹配阻抗匹配是指?jìng)鬏斁€的兩端阻抗與傳輸線的特性阻抗相等,使線上電壓與電流為行波。

為了要使傳輸線的始端與信號(hào)源阻抗匹配,由于傳輸線的特性阻抗為實(shí)數(shù),故要求信號(hào)源的內(nèi)阻抗也為實(shí)數(shù),即Rg=Z0,Xg=0,此時(shí)傳輸線的始端無(wú)反射波,這種信號(hào)源稱為匹配信號(hào)源。當(dāng)始端接了這種信號(hào)源,即使終端負(fù)載不等于特性阻抗,負(fù)載產(chǎn)生的反射波也會(huì)被匹配信號(hào)源吸收,不會(huì)再產(chǎn)生新的反射。

實(shí)際上始端很難滿足Zg=Rg的條件。一般在信號(hào)源與傳輸線之間用阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)來(lái)抵消反射波。同理,終端也不可能滿足ZL=Z0的條件,必須用阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)使傳輸線和負(fù)載阻抗匹配。下面討論阻抗匹配的方法。二、阻抗匹配方法