2022-2023學(xué)年安徽省皖北縣高一年級下冊5月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年安徽省皖北縣高一下冊5月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

α+i

Z----------

1.若復(fù)數(shù)l-i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)α的值是（）

A.1B.0C.-1D.-2

【正確答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)分類可得答案.

S+i)(l+i)α-l+(α+l)i

【詳解】依題意Z=由于Z是純虛數(shù),

(Ji)(l+i)2

α-l=0

所以《，解得α=l.

0+l≠0

故選:A.

2.下列敘述正確的是（）

A.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺

B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

C.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺

D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)棱臺的定義以及性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】對于A,當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，A錯(cuò)誤;

對于B,C,如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺，B,C錯(cuò)

誤；

對于D,由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，D正確.

故選：D.

3.已知向量M=(2sin8,-COS0),B=(LcosO),若￡〃刃，貝IJSine+cos。=()

A.-2B.-1C.0D.1

【正確答案】C

【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】由々〃I，得2sin6cose-(-CoSo)Xl=0,得2sin1cos6=T.

所以(Sine+cos6)-=1+2SineCOSe=0,即sin。+CoSe=O.

故選：C.

4.如圖所示，AH6'C'是水平放置的ΔT48C的斜二測直觀圖，其中O'C'=。W=2。'6',

則“6C是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形D.以上選項(xiàng)都不對

【正確答案】C

【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，以及AZ'8'C'的邊長關(guān)系，即可得出A∕BC邊長關(guān)系,

進(jìn)而得出答案.

【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，。為C/的中點(diǎn)，ACLOB.

因?yàn)镺'C=O'A'=2O'B',所以CO=Zo==,力。，

2

則AZ8C是以ZC為斜邊的等腰直角三角形，如圖所示:

5.已知平面a、β?7兩兩垂直，直線a、b、C滿足：a三a,b三β,cQy,則直線a、b、C不

可能滿足以下哪種關(guān)系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異

面

【正確答案】B

【分析】通過假設(shè)a∕∕b,可得a,6平行于a,夕的交線，由此可得C與交線相交或異面，由

此不可能存在a/∕6/∕c,可得正確結(jié)果.

【詳解】設(shè)a∏4=/,且/與。力均不重合

假設(shè)：a/Ibllc,由a∕∕b可得:a∕∕β,b∕∕a

又aCβ=l,可知a/〃,bill

又a∕∕b∕∕c,可得：dll

因?yàn)閍,￡/兩兩互相垂直，可知/與/相交，即/與C相交或異面

若/與?；?重合，同理可得/與C相交或異面

可知假設(shè)錯(cuò)誤，由此可知三條直線不能兩兩平行

本題正確選項(xiàng)：B

本題考查空間中的直線、平面之間的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于能夠通過線面關(guān)系得到第三條直線

與前兩條線之間的位置關(guān)系，從而得到正確結(jié)果.

6.已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l-i)=i,則下列結(jié)論正確的是()

A.Z——I—ZB.z的虛部與實(shí)部相等

22

C.∣z∣=lD.存在復(fù)數(shù)Z—使ZZ]<O

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，化簡可得z=-2+Li,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.

22

ii(l+i)i+i211.

【詳解】對于A項(xiàng)，由Z(I—i)=i,--------------------=------=--+--?故A

1-i(l-i)(l+i)2-------22

項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于B項(xiàng)，Z的實(shí)部為-,，虛部為I，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

22

對于C項(xiàng),,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于D項(xiàng)，當(dāng)Zl=L+^i時(shí)，ZZl=-L-L=一"L<o,故D項(xiàng)正確.

22442

故選：D.

7.位于某港口/的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時(shí)，海輪

位于港口A北偏東30。且與該港口相距30海里的B處，并正以20海里/時(shí)的速度沿正西方

向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以V海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與海輪相

遇.若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度(單位：海里/時(shí))應(yīng)為()

A.10√3B.20C.30√3D.20√3

【正確答案】D

【分析】利用垂線段最短，結(jié)合三角函數(shù)值求出最小距離，即可求出答案.

【詳解】如圖所示，ZBAC=30°,ZABC=60o,Z8=30,

當(dāng)4C上BD時(shí),即小艇往正北方向航行時(shí)航行的距離最小，

最小值為/C=∕8cos30°=15海里，

153

從而海輪航行的距離為6C=15海里，故航行時(shí)間為一=一小時(shí)，

204

=-206

所以小艇的航行速v度"3ZUVJ海里/時(shí).

故選：D.

JT

8.在邊長為6的菱形ABCD中，ZBAD=現(xiàn)將菱形ABCD沿對角線BD折起，當(dāng)

3

4。=3指時(shí)，三棱錐4-6C0外接球的表面積為()

A.24πB.48πC.60πD.72兀

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定三棱錐

外接球的球心位置，求得外接球半徑，即可求得答案.

Tr

【詳解】由題意在邊長為6的菱形ZBCO中，N"。=—知，

3

△4BD和ABCD為等邊三角形,如圖所示，

取8。中點(diǎn)E,連接∕E,CE,則NEL6。，AE=y∣AD2-DE2=√62-32=3√3-

同理可得CE=3√5,又ZC=3指，則/￡2+。石2=4。2,則〃￡，CE,

又8。ACE=E,BD,CEU平面CB。，故/E_L平面CBD,

而CEU平面CBD,故4E工CE,

由于ABCD為等邊三角形，故三棱錐A-BCD外接球球心O在平面BCD內(nèi)的投影為

△8C。的外心0∣,即OaJ■平面CBD,故OOAE,

過。作ZE于，，則”為AZBZ）的外心，則OQ]〃//E,即共面，

則OH//OIE,則四邊形OOxEH為矩形，

則在RtAO///中，OH=O?E=-CE=乖＞,Z"=—∕E=2√I,

33

222

所以外接球半徑R=yJθH+AH=715，則外接球表面積為S=4πR=60π，

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得O分.

9.下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z=3i-2iz的虛部為一2

B.方程4χ+5=0的復(fù)數(shù)根為2±i

C.若z=(l+i)2,則復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D.復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)

【正確答案】BD

【分析】化簡即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)韋達(dá)定理，即可得出B項(xiàng)；化簡得出z=2i,求出共朝

復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出D項(xiàng).

2

【詳解】對于A,z=3i-2i=2+3i＞虛部為3,A錯(cuò)誤；

對于B,2+i+(2-i)=4,(2+i)?(2—i)=5,B正確；

對于C,z=(l+i)2=2i,則1=_2i，復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，C不正確；

對于D,復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，D正確.

故選：BD.

10.已知“8C的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為α,b,c則下列說法正確的是()

aα+Z?+C

A.—----=----------；---------；----

sinASin力+sin5+sinC

B.若/BC為斜三角形，貝∣Jtan∕+tan8+tanC=tan∕tan8tanC

C.若祝?赤〉0,則“1BC是銳角三角形

D.若一^=’一=—^,則“8C一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

【正確答案】ABD

【分析】由正弦定理和比例性質(zhì)可以判斷A,D選項(xiàng)，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和公式判斷B

選項(xiàng)，由平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀判斷C選項(xiàng)，

【詳解】對于A,由正弦定理和比例性質(zhì)得，一=——-+z'+c'——，故A正確；

SirL4SirL4+sin5+sinC

tart4+ta∏5

對于B,由題意，tanC=tan[π-(J+8)]=-tan(√4+5)=則

1-tarb4ta∏5

tan?i+ta∏5=tanC(tarUtan5-1),

所以tan4+tan6+tanC=tanC(tantanβ-1)÷tanC=tanAtanBtanC,故B正確；

對于C,因?yàn)閄?麗>0，所以4。。8=%葉]。3卜05(兀-0)=-4氏050>0,所以

cosC<0,

所以C為鈍角，/8C是鈍角三角形，故C錯(cuò)誤;

I十E。bcLL…SlrL4SmBSinC分

對于D,因?yàn)?---=-----=-----,所以-----=-----=-----,所以tanA=tan5=tanC,

cosAcosBcosCCoS/COSBcosC

且N,B,C∈(0,π),所以∕=8=C,所以-8C為等邊三角形，故D正確.

故選:ABD.

11.如圖，正四棱柱ZBCZ)-Z4GA中，AA]=2AB,E,尸分別為CC∣,44∣的中點(diǎn)，

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

B.直線4E與直線8尸所成的角為90“

C.平面8EF與平面ZBCD的夾角為45°

D.直線。尸與平面ZBC。所成的角為45°

【正確答案】ABC

【分析】對于A,若BlE上平面BEF,則/與M=90°,與BF=BIE矛盾;對于B,假設(shè)

直線4后與直線BF所成的角為90°，可得用平面所以AE〃與G，顯然這

是不可能的；對于C,可證得/082即為平面BEF與平面ABCD的夾角，求tanNDBDl判

斷即可；對于D：直線與平面/8C。所成的角即為直線BE與平面/8C。所成的角

ZEBC.

【詳解】對于A,如圖，連接4/，由題意4與=3￡,又E,尸分別為CG，力4的中

點(diǎn)，可得BlE=BIF,若BlEl平面BEF,則8∣E，跖，進(jìn)而N8∣EE=NB/E=90°.這

顯然不成立，故4E與平面BEE不垂直，A錯(cuò)誤；

對于B,假設(shè)直線4E與直線8尸所成的角為90。，即4E，瓦"由正四棱柱的性質(zhì)可知

βlAl，平面BlBCCl,而BVEU平面BIBCCI,所以耳耳上B∣E,又AλBλ與BF相交，44、

BFU面4BBM,所以AE，平面488/,而由正四棱柱的性質(zhì)可知B∣C∣_L平面

ABBiAl,所以B[E∕∕B]G,顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此B錯(cuò)誤；

對于C,分別延長DiF,DA交于點(diǎn)P,連接PB,則直線PB即為平面BEDlF與平面ABCD

7

的交線.連接8。，BDx,因?yàn)?7∕QQ且,所以ZP=NO=ZB,所以

PBVBD,又。。，平面ABCD,PBu面ABCD,所以DDjPB,又

DDl∩BD=D,DDy">u面BDDx,所以_L平面BDDx,又SZ)IU面BDD,,所

以BDJPB,所以NDBDl即為平面BE尸與平面ABCD的夾角，易知

tanNDBDl=^?=忘>1,故ZDBD1>45°,C錯(cuò)誤；

對于D,可證RF//BE,則直線。或與平面ZBCC所成的角為NEBC,又根據(jù)題意易知

NEBC=45°，D正確.

故選：ABC.

12.已知正-8C的邊長為26，中心為。，P是ABC的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則()

A.(Λ4+P5)±(PC+Pδ)B.滿足I蘇+而卜4的點(diǎn)尸只有1

個(gè)

C.fPA+PB)-PC≥OD.滿足(蘇+方)//5的點(diǎn)尸有2

個(gè)

【正確答案】ABD

【分析】設(shè)例為/8的中點(diǎn)，的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,先作圖推出R=2r

進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得I蘇+方I=2∣而卜結(jié)

合內(nèi)切圓的半徑以及已知條件，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)向量加法運(yùn)算的法則，結(jié)合圖象以及

數(shù)量積的定義，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)向量加法運(yùn)算的法則，結(jié)合圖象，即可得出D項(xiàng).

【詳解】對于A,法一：設(shè)M為48的中點(diǎn),

圖1

連接。則C,O,M三點(diǎn)共線.

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,則&=2八

因?yàn)椤?48C的中心，故雙=一2。必，

而α+礪=2兩,故方+麗+反=6

又用+闿?（定+網(wǎng)=（刀+礪-2而）.盧-2而）

=04?δc+05?δc-2δp?（S4+δB+δc）+4∣δp∣2

=--R2--R2+Ar2

22

=4r2-7?2=0>A正確；

法二：記CO的中點(diǎn)為N,設(shè)AZBC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為A,則及=2八

由正三角形的性質(zhì)知N在內(nèi)切圓上且MN為內(nèi)切圓圓。的直徑，如圖2,連接PM,PN,

從而有（沙+方）?（定+而）=4兩?麗=0,A正確；

對于B,I2+方|=2］而卜因?yàn)锳Z8C的邊長為2石，所以內(nèi)切圓半徑為1,當(dāng)且僅當(dāng)

產(chǎn)為OC中點(diǎn)N時(shí)，I莎+而I=4,B正確；

對于C,當(dāng)尸與M重合時(shí)，Λ4+PB=0>此時(shí)（P4+尸B）?PC=0,滿足；

當(dāng)尸與M不重合時(shí)，PA+PB=2PM-由圖象易知A而與定的夾角

ZMPC＞ZMPN=^,所以而.斤＜0,所以(蘇+麗)?定＜0，故C錯(cuò)誤;

對于D,^PA+^PB=2PM`要使A必//03，則NoRW=60°,分析可知此時(shí)P恰為線

段。8與內(nèi)切圓的公共點(diǎn)，又當(dāng)尸與A/重合時(shí)，也滿足題意，故這樣的點(diǎn)有2個(gè)，D正確.

故選：ABD.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：結(jié)合圖象以及向量加法的運(yùn)算法則，即可簡化運(yùn)算.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知復(fù)數(shù)Z滿足l+zi=z—i，貝IJlZl=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、模長計(jì)算可得答案.

.1+i(l+i)(l+i).

【詳解】法一：由l+zi=z-i,得(z1—ix)z=l+i,所以z=?^7-^7^―τττ:一ττ-?,

''1-1(l-ι)(l+ι)

IZl=W=1；

法二：由l+zi=z-i,得(l-i)z=l+i,所以Z=^4，∣z∣=p4=∣p~τ∣==1.

故L

14.若單位向量3,B滿足萬,加且(2萬+3否),(奶一4可，則實(shí)數(shù)4的值為.

【正確答案】6

【分析】根據(jù)兩向量垂直，可得到(2之+3辦(奶—46=0,展開化簡即可求出左值.

【詳解】因?yàn)槿f小，所以展5=0,因?yàn)?2萬+35)?L(后一46，所以

(2萬+3分(初一4楊=0,

即2%2_i2^=0,又比石是單位向量，所以2左=12,即％=6.

故6

15.已知正方體力3CD-44C∣2的棱長為3,則G到平面48。的距離為.

【正確答案】2也

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，可得出ZG，平面4瓦).

構(gòu)造輔助線得出ZG與平面的交點(diǎn)E,然后根據(jù)相似三角形，即可得出答案.

【詳解】

如圖，連接4C∣,AD1,

由正方體的性質(zhì)可知，GAJ■平面ADLAD,.

因?yàn)?。U平面AD。/,所以GAJ.4D.

因?yàn)镚AU平面力GA，ZDlU平面4CQ1，∩C1-D1=-D1.

所以4。，平面/GA.

因?yàn)閆ClU平面/G2,所以4。

同理可得NC∣_L/田.

因?yàn)?∑)u平面4瓦？，Z∣3U平面4瓦)，A}D(~\A↑B=A1,

所以ZG，平面430.

連接/C交8。于。，連接4。交ZG于點(diǎn)E，

則C1到平面AiBD的距離即等于CIE的長.

因?yàn)?4"∕CG,且14=CG,所以四邊形ZCC∣4為平行四邊形.

I4EAO1

又AO=—AC,所以則T^=^77Γ=7,

2CIEA1C12

所以GE=IZG=2√3,即C1到平面ABD的距離為2石.

故答案為.2√3

TT

16.在A∕8C中，ABAC=-,NM是/R4C的角平分線，且交BC于點(diǎn)M.若AZBC的

3

面積為√J,則ZM的最大值為.

【正確答案】√3

【分析】根據(jù)已知可推得歷=4.根據(jù)sjβw+SΔACM=SA.BC，即可得出AM=逆”.根

b+c

據(jù)基本不等式，即可得出答案.

設(shè)角4,B,C的對邊分別為α,b,c.

因?yàn)镾2**=5所以bc=4?

π

由已知可得，NMAB=NMAC=—.

6

又SAABM+SdACM=SetABC，

ITT1or1π

—×AB×AMXSin-+—x/CxAMXSin-=—xZCxAB×sin—,

262623

即LcXZΛ∕+1∕>x∕Λ∕=^~bc，

444

整理得ZAl=立蛆≤母=百，

b+c2Jbe

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號成立.

故/用的最大值為√L

故答案為.√3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

17.已知復(fù)數(shù)Z滿足(l+3i)z=5+5i.

(1)求z—z；

ZZ?2023

(2)求

、2z—3,

【正確答案】(1)-2i

(2)i

【分析】(1)(2)根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)Z,代入所求運(yùn)算求解即可.

【小問1詳解】

/、5+5i(5+5i)(l-3i).

因?yàn)?"3∣)Z=5+5'所以Z=T73Γ=^^=2T'

所以W=2+i，所以z—1=(2T)-(2+i)=-2i.

【小問2詳解】

20232023,2023

Z2-i

?2z-32(2+i)-3

2023

(2-i)(l-2)/.X2023/,×2020/.?3/.?101°/???

=(T)=(T)?(-ι)=(ι2^)?∈*y=ι?

(l+2i)(l-2i)

18.在zU8C中，角4,B,C的對邊分別為α,b,c,且2αsin?-e2b+c.

(1)求角4

(2)若A∕8C的面積為主8,求α的最小值.

4

【正確答案】(1)—

3

(2)3

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角可得2siMcosC=2sin8+sinC.然后根據(jù)兩角和的正弦

公式化簡整理可得SinC(2CoS+1)=0,根據(jù)A的范圍，即可得出答案；

(2)根據(jù)已知可求得A=3.進(jìn)而根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可得出〃的范圍.

【小問1詳解】

由2。Sin(?∣?-C)=2b+c,得2shυICOSC=2sin5+sinC.

又4+8+C=π,所以2sin4cosC=2sin(4+C)+sinC,

所以2sinCcos/+sinC=0，

整理得sinC(2cos∕+1)=0,

因?yàn)镃∈(0,兀)，所以SinCW0,故cosZ=—；，

又∕e(0,兀)，所以N=g.

【小問2詳解】

因?yàn)閊ABC的面積S—?^esin^=?-^e-sin-^-=??^?-，所以be=3.

2234

由余弦定理可得/-H+°?—2Λccos∕i=h2+c2+bc≥3bc，

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=√3時(shí)等號成立.

即6≥9,a≥3.

故。的最小值為3.

21

19.如圖所示，在YZBCD中，AB=a，AD=b?BM=-BC1AN=-AB.

(1)試用向量〃，B來表示Z)N，AM?

—3——

(2)若∕O=-OΛ∕,求證：D,O,N三點(diǎn)共線.

8

-----1--------2-

【正確答案】(1)DN=-a-b,AM=a+-b

33

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合圖象以及向量的運(yùn)算法則，即可表示出兩，AM；

—■3-2--.―.

(2)根據(jù)已知可推得/。=打〃+打6,然后根據(jù)向量的運(yùn)算即可得出OO,ON,進(jìn)而得

出證明.

【小問1詳解】

因?yàn)楱MN=L∕8,

3

所以麗=，存=LZ，

33

所以麗=而-15=匕

3

2

因?yàn)锳W=—BC,

3

——?2—?2—?2-

所以BM=—BC=—4D=—b,

333

__________2

所以府=益+就=Z+—B.

3

【小問2詳解】

__3___-?3——■3(→2-、3-2-

因?yàn)?0=—0Λ∕,所以4。=—AM--a+-b--a+—b,

811l?3J1111

---.—.3-2--3-9-

則DO=AO-AD=—aHb-b=——a----b,

111111Il

DN=JN-~AD=-a-b,

3

——9——

所以DO=—DN,即證。，O,N三點(diǎn)共線.

11

20.如圖，在直三棱柱NBC-4片￡中，AB=BC=AAλ=?,NZBC=90°,D,E分別

是棱4G，/C的中點(diǎn).

（1）判斷多面體ABEDByCx是否為棱柱并說明理由；

（2）求多面體ABEDBG的體積；

（3）求證：平面8C∣E∕/平面/SD

【正確答案】（1）多面體力BEDgG不是棱柱，理由見解析

（2）-

3

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)棱柱的特征判斷即可；

（2）利用三棱錐體積減兩個(gè)三棱錐體積可得；

（3）根據(jù)面面平行判定定理，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)線面平行問題，再將線面平行轉(zhuǎn)化為線線

平行，結(jié)合條件即可證明.

【小問1詳解】

多面體Z8EQ8∣G不是棱柱.理由如下：

因?yàn)槔庵膫?cè)面必為平行四邊形，故棱柱的面至少有3個(gè)平行四邊形，而多面體ZBEQMG

只有1個(gè)面是平行四邊形，故不是棱柱.

【小問2詳解】

易知三棱柱力BC-NfC的體積K=gxZ6x8Cx∕4=；,

三棱錐工—44。的體積匕=LXLXLX∕8x8Cx44∣=」-,

32212

易知三棱錐Cl-BCE的體積等于三棱錐Z-的體積，

故多面體48EQ8C的體積匕=修一2匕=∣-2×-^=∣.

【小問3詳解】

因?yàn)镈,E分別是4G，/C的中點(diǎn)，所以DE∕∕AA"∕BB∣,DE=AAι=BB∣,

所以四邊形E為平行四邊形

所以BE〃BQ.又BEe平面/8Q,BQU平面/BQ,所以BE//平面為8Q.

易知CyD∕/AE,C}DAE,得四邊形ADGE為平行四邊形.

所以C∣E∕∕4D,又GEZ平面NBQ,/OU平面力4。，所以GE〃平面ZBQ.

而BECC1E-E,BE,C[EU平面BC1E,

所以平面BGE//平面4δ∣D.

21.已知空間幾何體Z8C0E中，48CZ)是邊長為2的等邊三角形，/8C是腰長為2的

等腰直角三角形，四邊形/CDE是正方形.

(1)設(shè)平面ZBEc平面8C。=/,求證：AEHl；

(2)求三棱錐E—ZBC的體積.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由線面平行的判定定理可得AEH平面BCD,線面平行的性質(zhì)定理可得AEHl,

(2)法一：取8的中點(diǎn)尸，由線面垂直的判定定理得ZC_L平面BCQ,性質(zhì)定理得

ACLBF,再由線面垂直的判定定理得3b_L平面ZCDE,再由棱錐的體積公式可得答

案；法二：由線面垂直的判定定理得NCL平面BCO,根據(jù)三棱錐E-ZBC的體積與三

棱錐0-/8C的體積相等求出/TBL

【小問1詳解】

???四邊形/CDE是正方形，.?./E〃CZ),

又COu平面8C0,2￡^平面8。。，二/七〃平面8。。,

又NEU平面Z8E,平面/8￡6平面8。。=/,二？1￡7〃；

【小問2詳解】

法一：取CA的中點(diǎn)尸，連接5尸,

???△8CD是邊長為2的等邊三角形，.?.8C。，且易得BF=6，

???△8CZ)是邊長為2的等邊三角形，四邊形NCz)E是正方形,

AC=BC=2,

而AZ8C是腰長為2的等腰直角三角形，.?.ZC18C,

又由題意知4C?LCD,BCCCD=C,BC,C。U平面8C0,

.?./C，平面8C。，而8∕u平面8C0，???∕CL8E,

ACΓ?CD=C,AC,CDU平面ZCoE,

所以6/，平面〃CZ)E，

三棱錐E-ABC的體積即為三棱錐B-ACE的體積,

=LXLXAC×AE×BF=-

323

故三棱錐E-ABC的體積為2叵；

3

A

法二：?.?48CO是邊長為2的等邊三角形，四邊形NeDE是正方形，

，AC=BC=2,

而A∕8C是腰長為2的等腰直角三角形，.?.ZC18C,

又由題意知4C?LCD,BCCCD=C,BC,Cz）U平面BCO,

.?.ZC_L平面5CD,

易知DE"AC,???三棱錐￡一〃8。的體積與三棱錐。—/6。的體積相等,

即%尼=匕.牖=；X4C*；XBCXSXSi咤=挈,

故三棱錐E-ABC的體積為巫.

22.如圖，在梯形NBCz)中，