2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練4　平面向量的基本運(yùn)算和應(yīng)用

微專題4平面向量的基本運(yùn)算和應(yīng)用

高考定位1.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的數(shù)量積、夾角及模的運(yùn)算，

難度中低檔；2.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義，

難度中低檔.

真題演練感悟高考練真題明方向

l.(2022?新高考I卷)在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2D4.記南=/〃，右力=〃，

則麗=()

A.3m~2nB.~2m+3n

C.3m+2nD.2∕n÷3n

答案B

解析因?yàn)?D=2D4,所以協(xié)=3病，

所以而=0+屈=①+3疝

=CA+3(CD-C?)

=—2點(diǎn)+3前=—2機(jī)+3〃.故選B.

2.(2022全國乙卷)已知向量α,方滿足IaI=L∣?∣=√3,?a-2b?=3,則。仍=()

A.-2B.—1

C.lD.2

答案C

解析由Ia—2加=3,

可得|a—2加2=層-40》+4。2=9,

又⑷=1,?b?=y∣3,所以“?Z>=l,故選C.

3.(2022?新高考∏卷)已知向量α=(3,4),6=(1,O),c=a+tb,若<α,c)=(b,

c〉，則f=()

A.-6B.—5

C.5D.6

答案C

解析由題意，得c="+法=(3+f,4),

所以a?c=3X(3+f)+4X4=25+3f,

6?C=1×(3+∕)+0×4=3+Λ

因?yàn)椤碼,c〉=(b,c〉，

所以CoS(a,c)=cos〈b,c〉，

削匹=也G

1同IenWCr

即號(hào)且=3+?,解得『=5,故選C.

4.(2021?全國乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∕∕b,貝∣J%=.

.士8

答案5

解析法一(定義法)因?yàn)閍〃6

所以存在實(shí)數(shù)使。=心，

即(2,5)=k(λ,4),

-8

午

kλ-2,2=

得口=5,解得

.T?

法二(結(jié)論法)因?yàn)?/p>

所以2X4—52=0,

Q

解得4=2

熱點(diǎn)聚焦分類突破研熱點(diǎn)析考向

熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算

I核心歸納

1.平面向量加減求解的關(guān)鍵是：對平面向量加法抓住“共起點(diǎn)”或“首尾相連”；

對平面向量減法抓住“共起點(diǎn)，連兩終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)”，再觀察圖形

對向量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

2.在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的向量當(dāng)作一個(gè)字母看待，其運(yùn)算方法

類似于代數(shù)中合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行類比.

例1(1)在AABC中，AO為BC邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，則而等于()

B.∣Aβ-^AC

D.∣AB+∣AC

(2)已知aABC的重心為G,經(jīng)過點(diǎn)G的直線交AB于0,AC于E,若Ab=瓶瓦

AΣ=μAC,則:+"=.

答案(I)A(2)3

解析(1)作出示意圖如圖所示.

A

4\

BDC

EB=Eb+DB=?+?=∣×?AB+ΛC)+l(AB-AC)=?-?.

(2)如圖，設(shè)F為BC中點(diǎn)，

2fIff

則屐r?=WQ'=gG值+公)，

又油=!量)，AC=~AE,

?IA,

.,.AG=^AD+^ιAE,

又G,D,E三點(diǎn)共線，

.,./+；=1,即;+，=3.

3Z3μλμ

易錯(cuò)提醒在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理恰當(dāng)?shù)剡x取基

底，變形要有方向，不能盲目轉(zhuǎn)化.

訓(xùn)練1(1)(2022?廣州模擬)在梯形ABCD中,AB//CD,AB=4CD,M為ID的中

點(diǎn)，BM=λBA+UBC,則2+〃等于（）

A-8BI

-5>3

c?4D2

(2)在AABC中，AB=5,AC=2√5,BC邊上的高AO=4,且垂足。在線段BC

上，”為aABC的垂心，S.AH=xAB+yAC(x,y∈R),則I=.

答案(I)A(2)|

解析(1)如圖，連接80,

DC

因?yàn)镸為A。的中點(diǎn)，

所以前=g麗+g就)，

因?yàn)榍埃?比+?=病+"麗,

1

2-Bc

519

所以2+∕∕=Ro+5Z=Ro?

(2)因?yàn)锳B=5,ΛC=2√5,AD=4,A。，BC于。，

由勾股定理得30=3,CD=I,

則Ab=屈+防=屈+|肥=卷+|(/一砌=|磊+嬴，

又因?yàn)辄c(diǎn)”為aABC的垂心，AO為三角形的高，

所以點(diǎn)H在AO上，

23

則存在實(shí)數(shù)九使得初=%屐)=/?+？沅=用+y危，

23X2

貝!]x=0,產(chǎn)列所以

熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積

I核心歸納

1.數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的幾何意義.

2.可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進(jìn)

行計(jì)算.

例2⑴已知向量6滿足Q?b=0,IaI=網(wǎng)=2,則|2a—臼=()

A.0B.2√5

C.√5D.20

(2)已知向量”,Z>滿足⑷=5,步∣=6,ab=~6,則COS<α,a+b)=()

(3)已知正三角形的邊長為2,P是邊AB上一點(diǎn)，且麗=2或，則1?(E+為)=

()

A.lB.2

C.4D.6

答案(I)B(2)D(3)D

解析(l)∣2α—b]=^?∣(2。一b)?=74a2—4。1+爐=#4*4—0+4=2^?/^.故選B.

(2)V∣α+6∣2=(α+?)2=α2+2α?6+62=25-12+36=49,

Λ∣α+*∣=7,

.a?(α+Z>)層+々必25—619、二

.?.cos(?,a+b)=⑷心十例=IaUa+加=5X7=行.故選D.

(3)法一(基底法)由題意可得，P是邊AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，

2?

故。=/

顯然不!?癰=2.

因此，CP?(C?+CB)

=+∣CfiJ(CA+CB)

2?

=^CA2+-jCB2+CACB=6,故選D.

法二(坐標(biāo)法)以AB的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，OB,。。所在直線分別為X軸、y軸建立

平面直角坐標(biāo)系(圖略)，

則4—1,0),8(1,0),C(0,√3),p(-?0),

則行=(一；，一⑹，C?=(-l,-√3),CB=(1,-√3).

因此，C>?(C?+CB)=f-∣,一同(0,-2√3)=6,故選D.

易錯(cuò)提醒兩個(gè)向量的夾角的范圍是［0,兀］,在使用平面向量解決問題時(shí)要特別

注意兩個(gè)向量的夾角可能是0或兀的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不

僅要求其數(shù)量積小于零，而且不能反向共線.

訓(xùn)練2(1)(2022?長沙模擬)在矩形ABCO中，AB=I,AD=2,AC與8。相交于點(diǎn)

O,過點(diǎn)A作AE_LB。，則能.反■等于()

1224

A-25B-2?

124

e.?Dg

(2)(2022?蘭州模擬)已知向量α,1的夾角為120。,∣α∣=2,?b?=?,若(a+3b)_L(2a

+λb),則實(shí)數(shù)A=.

答案(I)D(2)-1

解析(1)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,1),8(0,0),C(2,0),0(2,1),

設(shè)E(x,y),

所以屈=(x,?-l),詼=(χ,y),

BD=(2,1),

'：AELBD,且麗〃町,

,??雅病=IXXw)X(T)=*

(2)因?yàn)橄蛄俊?《的夾角為120。,Ial=2,∣Z>∣=1,且(α+3b)<L(2α+勸),

所以(α+3))?(2α+勸)=0,

即2屋+(6+/1)。0+3/沒2=8+(6+/1)*2*1X(—g)+32=0,

解得A=-L

熱點(diǎn)三平面向量的綜合應(yīng)用

I核心歸納

三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角

函數(shù)交匯點(diǎn)較多，如向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識(shí)都可以與三角函數(shù)

進(jìn)行交匯.

例3已知(υ>0,a=(y∣3sinωx,—cosωx),Z>=(cosωx,cosωx),fl^x)=a?b,x?,

X2是y=/U)—T的兩個(gè)零點(diǎn)，且Wl—X2∣min=兀

(I)求/U)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若aG(0,3,右)=會(huì)，求sin2α的值.

解(l)AΛ)=√3sin①XCOSωx-cos1ωx

-?1+cos2OJX

√23sn2ωx-2

-√23Sn2ωχ-^cos2fωχ-?

2ωχ-

Vxi,X2是函數(shù)y=兀r)—T

=Sin(23X—1的兩個(gè)零點(diǎn)，

即汨，X2是方程sin(2/x=1的兩個(gè)實(shí)根,

且M—X2Imin=兀，

???T/一_22①L一_兀，???co-—1.

二,*X)=Sin,一聿)一去

'兀7ΓJT

由一2^^2?π≤2x—%W]+2E,ZeZ,

JTTT

得-d+E≤九WQ+EJ∈Z?

.?Λχ)的單調(diào)遞增區(qū)間為

兀I,兀I,

一5+A兀，§+欠兀(keZ).

??八,,π?兀,兀/兀

?OVaV??一《Va一不〈§，

4+3√54√3-324+7√3

Λsin2a=2sinacosα=2×10X10=50

規(guī)律方法對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識(shí)將條件“脫去外衣”轉(zhuǎn)

化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

訓(xùn)練3人轉(zhuǎn)。的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為α,b,c.向量機(jī)=(α,√3?)?n

=(cosA9sin3)平行.

(1)求A的大?。?/p>

Q)若a=幣,b=2,求4A3C的面積.

解(1)因?yàn)闄C(jī)〃〃，所以αsin5—，§bcosA=O,

由正弦定理，得sinAsinB一小SinBcosA=O,

又sinB≠09從而tanA=??∫3,

兀

由于OVA<兀，所以A=1.

(2)法一由余弦定理，得/=/+,2-2/?CCOSA,

而a=巾,b=2,A=三，得7=4+C2-2C,

即C2-2C-3=0,

因?yàn)閏>0,所以c=3,

故ZxABC的面積為S=^?csinA=^

法二由正弦定理，得"Z=熹，

./L?111U

sιn3

、歷

從而sinB=當(dāng)一，

又由a>b,知A>8,

所以COSB=手，

故sinC=Sin(A+3)=Sin(8+目

π..π3^?f∏

=sιnBcos§十CoSBSInW=以.

所以aABC的面積為S=^absinC=乎.

高分訓(xùn)練對接高考重落實(shí)迎高考

一'基本技能練

1.已知向量α,方滿足IaI=Lab=~?,則α?(2α-b)=()

A.4B.3

C.2D.0

答案B

解析a(2a~b)=2a2—ab—2—(—1)=3,故選B.

2.已知向量。與8的夾角為60。，?a?=2,向=6,則為一8在。方向上的投影向量

為()

1

A.]αB.4

C.bD.∣6

答案A

解析?.?向量”與?的夾角為60。，⑷=2,網(wǎng)=6,

Λ(2α-6)?α=2∣α∣2-β?6=2×22-2×6×∣=2,

Λ2a—b在a方向上的投影向量為ga.

3.設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，I而∣=6,MbI=4,若點(diǎn)、M,N滿足麗/=3彘，

DN=INC,則西麗=()

A.20B.15

C.9D.6

答案C

?—3、

解析AM=AB+^AD,

NM=CM-CN=-∣AD+∣Aβ,

：.AM-NM

=?δ2-?AD2

3Io

13

=τ×36-77×16=9,選C.

?Io

4.如圖，在aABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于

不同的兩點(diǎn)M,N,若筋=〃以拓AC=nAN,則機(jī)+〃等于()

A.0

C.2D.3

答案C

解析如圖，連接AO,由。為BC的中點(diǎn)可得,

A

N

B

OC

M

f1→,-→利f,λz→

Ao=](A8+AC)=,AM+]AM

'：M,0,N三點(diǎn)共線，

?%+J

,,22

.?.機(jī)+〃=2.

5.(多選)(2022?廣州模擬)設(shè)向量α=(-l,1),b=(0,2),則()

A.∣α∣=網(wǎng)B.(a-b)∕∕b

Tl

C.(a-b)±aD.a與b的夾角為了

答案CD

解析Va=(-1,1),b=(U,2),

?—6=(—1,—1),

對于A,∣α∣=6,?b?=2,

∣a∣≠∣6∣,故A錯(cuò)誤；

對于B,-l×2-(-l)×0≠0,

.??。一方與)不平行，故B錯(cuò)誤；

對于C,(a-Z>)?a=-1×(-1)+(-1)×1=0,

Λ(a-6)±a,故C正確；

H干C/.?ab__2__Vz

對于D,cos〈a,b>一麗一步一2,

又“與》的夾角范圍是[0,π],

Tr

與Z>的夾角為W，故D正確.

6?(2022?九江模擬)我國東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，利用一幅“弦

圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角

三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若比

=a,BA=b,BE=3EF,則濟(jì)=()

A

Λ12,916,12,

A?25Λ+256B25a+25b

C.^α+∣634

D.gα+g>

答案B

333

解析BF=BC+&=BC+^=BC+^EB+BA)=BC+^=BC-

蓊+泅,

解得濟(jì)=得病+及成，

即而=^la+吳。，故選B.

7.(2022?全國乙卷改編)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|“一臼=.

答案5

解析由題意知。一》=(2,1)一(一2,4)=(4,-3),所以|0一。I=產(chǎn)F7F^1

=5.

8.(2022.泰安模擬)已知向量α=(l,3),?=(~2,1),c=(3,2).若向量Q與向量

歷+c共線，則實(shí)數(shù)女=.

答案1

解析已知向量α=(l,3),)=(—2,1),c=(3,2),

所以Λ?+c=(-2&+3,&+2),

因?yàn)橄蛄喀僚c向量kb+c共線，

所以女+2=3義(-2左+3),解得Z=L

9.已知非零向量α,5滿足囪=2∣α∣,且(α+))L”,則。與》的夾角為.

2

答案fπ

解析設(shè)“與力的夾角為仇

由(α+5)J_a,

得(α+5)?α=0,

即ab--a2,

ab—a2—a2

又cosJ=麗i=⑷2⑷=玄

-~2,且0W9Wπ,

2

貝。=邳.

10.在同一平面中，AD=DC,旗=2發(fā)).若施=加值+〃危(〃?，∏∈R),則m+n

答案I

解析由題意得，AD=^AC,DE=^DB,

故屐:=Ab+踮=證+抽=荻G布一屐＞）

=^4C+∣^AB-^A,C^

=∣ΛB+∣AC,

所以m=yn=y

故∕n÷n=∣.

IL已知向量Q=（COS尤，Sinx）,b=（一?β,?∣2）,x∈fO?π].

（D若a，。,求X的值；

（2）記yu）=Q?4求yu）的最大值和最小值以及對應(yīng)的X的值.

解（1）由題意，得一,CoSX+6SinX=0,

所以tanx=y∣3,

兀

又x∈[0,π],所以X=

(2)f(x)=a?b=—#CoSx+y∣2s?nx

=2啦Sinb一§,

τr71

因?yàn)橛菺K),π],所以x—g∈—;

所以Sin(X-第∈—乎，?,

所以於）∈L,,2√2],

即於）的最大值為2媚,此時(shí)LU，則X=年；

段）的最小值為一,，此時(shí)》一號(hào)=一去則X=0?

12.在平面四邊形ABCD中，AB=4,ΛD=2√2,對角線AC與BD交于點(diǎn)E,E

是8。的中點(diǎn)，且翁=2比.

JT

(1)若NABO=不求BC的長;

(2)若AC=3,求COSNBAD

解(1)在AABD中，AB=4,AD=2y∣2,NABo=去

L…、口ABAD

由正弦定理傳一：=~/人Rn9

SinZzAλDnBpSinZABD

兀

4XSInZ

所以SinZADB=^Ξ√Γ=1

因?yàn)?<NAD8<τι,

Jr

所以NADB=

所以BD=2小,

所以DE=BE=巾,AE=y[T?.

β

所以cosZAED=cosZBEC=y?.

因?yàn)楦?2病，

所以EC=千

由余弦定理得

BC2=BE2+FC2-2BE?￡C?COSZBEC=2+∣-2×√2×^×^=∣,

所以BC=嚶

（2）法一因?yàn)锳C=3,AE=2EC,

所以AE=2.

設(shè)DE=BE=X,在AABD中，由余弦定理得

(2交)2+4f—42

cosZADB=

2×2√2×2x

在AAED中，由余弦定理得

(2/)2+f-22

COSZADB=

2×2√2×Λ

蔭以它二心_如

所以8√2x^4√2A-'

解得x=2\[2,

所以BD=4√2.

在AABO中，由余弦定理得

AB2+AD1-BD2

COSZBAD=

2×AB×AD

16+8-32_

―16√2--4-

法二因?yàn)锳C=3,AE=IEC,

所以的=2,

在"BD中，E為8。的中點(diǎn)，

所以筋+屐）=2前，

平方得IA自2+IADI2+2ABAD

=4∣ΛE∣2,

即16+8+2X4X2√^Xcos∕8AD=16,

也

解得COSZBAD=-4,

二、創(chuàng)新拓展練

13.點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足I麗一對一|麗+無一2萩|=0,則4ABC

一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

答案B

解析因?yàn)辄c(diǎn)P是aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，

S-?PB-PC?~?PB+PC-2^?=0,

所以|油|一|（而一慶）+（無一項(xiàng)）|=0,

gp∣CB∣=∣AB+AC∣,

所以以方一危I=?AC+AB?,

等式兩邊平方并化簡得/?荏=0,

所以危，荏，NBAC=90。，

則AABC一定是直角三角形.

14.（多選）（2022?武漢質(zhì)檢）已知AABC是邊長為2的等邊三角形,E分別是AC,

AB上的兩點(diǎn)，且靠=或，AD=2DC,BD與CE交于點(diǎn)O,則下列說法正確的是

（）

?.ABCE=-1

B.OE+OC=0

C.?OA+OB+OC?=^?

7

D.應(yīng)）在比方向上的投影向量的長度為％

答案BCD

解析因?yàn)楸?或，AABC是等邊三角形,

所以CfLLAB,

所以油.走=0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA,或的方向分別為X軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

如圖所示,

所以E(0,O),A(l,0),B(-l,0),C(0,?砥

設(shè)。(0,y),y∈(0,√3),

則的=(1,y),Db=f-∣,

又舒〃及）,

2√31

所以

y33?y,

v?

解得y=2，

即。是CE的中點(diǎn)，（9E+<9C=0,

所以選項(xiàng)B正確；

I宓+為+?t∣=∣2無+花|=|西=號(hào)-.所以選項(xiàng)C正確；

ED=乎）,BC=（1,√3）,