概率論與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系

概率論與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系摘要:概率論和高等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的兩大分支，高等數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)，它在概率論的基本定義中起到了非常重要的作用，其積分思想，極限思想在概率論中的概率密度，隨機(jī)變量的分布以及大數(shù)定理中得到了充分展現(xiàn)。而概率論是高等數(shù)學(xué)進(jìn)一步的延伸和拓展，運(yùn)用概率論的解題思路和方法能夠輕松解決高等數(shù)學(xué)中的某些難題。關(guān)鍵詞：概率論思想積分思想極限思想級數(shù)應(yīng)用TherelationshipbetweenprobabilitytheoryandhighermathematicsAbstract:theprobabilitytheoryandmathematicsarethetwobranchofmathematics,mathematicsisthefoundation,itisthebasicdefinitionofprobabilitytheorywhichplaysaveryimportantrole,thethoughtofintegral,probabilitydensitylimitthoughtinprobabilitytheory,randomvariablesandlargenumbertheoremhavebeenfullydemonstrated.Whiletheprobabilityofhighermathematicsistoextendandexpandfurther,thethinkingandmethodofprobabilitytheorycaneasilysolvesomeproblemsinhighermathematicsproblems.Keywords:ThethoughtofprobabilitytheoryTheintegralthoughtLimitthoughtSeriesApplication1高等數(shù)學(xué)思想在概率論定義中的應(yīng)用1.1積分思想在概率論定義中的應(yīng)用下面我們通過積分思想在概率密度中的定義進(jìn)行說明定義：若對隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)函數(shù)f（x），使對于任意實(shí)數(shù)x有F（x）=，（1）則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)(Densityfunction)。由（1）式知道連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù).即其是通過在函數(shù)上積分得出來的，由分布函數(shù)的性質(zhì)F（∞）=0，F(xiàn)（+∞）=1及F（x）單調(diào)不減，知F（x）是一條位于直線y=0與y=1之間的單調(diào)不減的連續(xù)（但不一定光滑）曲線，且具有以下性質(zhì)：1°f(x)≥0；2°=1；3°P{x1＜X≤x2}=F(x2)F(x1)=(x1≤x2)；4°若f(x)在x點(diǎn)處連續(xù)，則有F′(x)=f(x).由2°知道，介于曲線y=f（x）與y=0之間的面積為1.由3°知道，X落在區(qū)間間（x1，x2］的概率P{x1＜X≤x2}等于區(qū)（x1，x2］上曲線y=f（x）之下的曲邊梯形面積.由4°知道，f（x）的連續(xù)點(diǎn)x處有f(x)=積分思想的應(yīng)用實(shí)例：設(shè)隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)f(x)=（1）確定常數(shù)k；（2）求X的分布函數(shù)F（x）；（3）求P{1<X≤}.解（1）由=1,得=1,解得k=1/6,故X的密度函數(shù)為f(x)=(2)當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=P{X≤x}==0;當(dāng)0≤x<3時(shí)，F(xiàn)（x）=P{X≤x}===;當(dāng)3≤x<4時(shí)，F(xiàn)（x）=P{X≤x}===當(dāng)x≥4時(shí)，F(xiàn)（x）=P{X≤x}====1.即F（x）=P{1<X≤7/2}=F（7/2）F(1)=41/48.1.2極限思想在概率論定義中的應(yīng)用大數(shù)定律中的極限思想：伯努利大數(shù)定律：設(shè)是n重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1）,則，有（5）此定理表明：當(dāng)n很大時(shí)，n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率幾乎等于事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，這個(gè)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。有些隨機(jī)事件無規(guī)律可循，但不少卻是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機(jī)事件”中在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計(jì)特性，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律。也就是說，當(dāng)N趨于無限大的時(shí)候，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。很顯然，這正是極限的思想。2概率論思想在解決高等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用極限、積分、級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，而這些內(nèi)容也是后續(xù)課程復(fù)變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到求極限求積分，判斷級數(shù)的斂散性及級數(shù)求和的問題，這些問題同樣可以運(yùn)用概率論中的知識求解。2.1概率思想在極限中的應(yīng)用極限是研究高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以也是學(xué)習(xí)微分、積分的基礎(chǔ)，有關(guān)極限的計(jì)算尤為重要。在高等數(shù)學(xué)中曾探討過許多有關(guān)極限的求法，比如定義法，等價(jià)無窮小量代換法，泰勒公式法等等用于解決一些比較簡單的極限問題。對于某些特殊的極限問題，可以尋找特殊的解法，用一種全新的思想審視極限問題-把概率方法應(yīng)用到極限的求法中會有意想不到的效果。在學(xué)習(xí)過的概率論中，隨機(jī)變量是貫穿始終的知識點(diǎn)。隨機(jī)變量分為兩種，一種是離散型的隨機(jī)變量，它們的分布列有代表的是0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布，此種分布列具有正則性，即，可以利用它的這種性質(zhì)來解決一些極限問題。例如我們可以利用離散型隨機(jī)變量的正則性求極限詳細(xì)例子如：設(shè)，求解這是一個(gè)求數(shù)列極限較復(fù)雜的問題，首先把寫成兩個(gè)數(shù)列的積。令=，，而現(xiàn)在構(gòu)造概率模型，設(shè)隨機(jī)變量X服從=1的泊松分布由離散型隨機(jī)變量的概率分布列的正則性即，那么，所以=，==1所以，我們所舉得例子中用到了泊松分布，泊松分布是離散型隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要分布，利用它的一些性質(zhì)以及中心極限定理來處理一些非常復(fù)雜的極限計(jì)算問題，可使計(jì)算的難度大大減小，提高解題效率。2.2概率思想在級數(shù)中的應(yīng)用級數(shù)也是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，數(shù)項(xiàng)級數(shù)的問題一般包含兩個(gè)：判斷級數(shù)的斂散性；求收斂級數(shù)的和。如果把概率的思想運(yùn)用到級數(shù)中，級數(shù)是無窮多項(xiàng)序列的和，那么要用到離散型的隨機(jī)變量的特殊分布及一些性質(zhì)。2.2.1利用概率論知識去判斷級數(shù)的斂散性例如：判斷級數(shù)的斂散性.解對于級數(shù)，當(dāng)時(shí)有,故由極限審斂法知，收斂.對于級數(shù),若用純高等數(shù)學(xué)中的方法,也很容易判斷它是收斂的，由正項(xiàng)級數(shù)的達(dá)朗貝爾判別法知：現(xiàn)在用概率的方法判斷級數(shù)的斂散性，不僅能判斷出它是收斂的，還能計(jì)算出它的值。因?yàn)榧墧?shù)是泊松分布和，故可知，因此，，所以顯然級數(shù)是收斂的，故原級數(shù)是收斂的.級數(shù)的求和問題是高等數(shù)學(xué)中的一大難點(diǎn)，因?yàn)橛行┘墧?shù)序列即使發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律，但是仍找不到正確的方法求和，這使很多學(xué)生在做這一類題目中陷入困境。有一種方法即構(gòu)造概率模型法可以輕松應(yīng)付這類題。2.2.2構(gòu)造古典概率模型求級數(shù)的和例如：求無窮級數(shù)的和解創(chuàng)造概率背景：現(xiàn)有一個(gè)黑暗的箱子，箱子里放有大小型號完全相同的黑、白、紅三個(gè)顏色的小球。有放回地讓一個(gè)學(xué)生取球兩次。如果兩次取的都是紅球，那么他將獲獎(jiǎng)，活動(dòng)結(jié)束，否則他將受到懲罰。這時(shí)，再向箱中加一個(gè)白球，再次讓此生有放回地摸球兩次，若都是紅球，則活動(dòng)結(jié)束，否則受到懲罰，并向箱中再加一白球，如此循環(huán)至無窮，求此生獲獎(jiǎng)的概率。這時(shí)就把級數(shù)求和題轉(zhuǎn)換成了求概率的應(yīng)用題。如果該生第一次就獲獎(jiǎng)，那么獲獎(jiǎng)的概率如果該生第一次沒獲獎(jiǎng)，第二次獲了獎(jiǎng)，那么他獲獎(jiǎng)的概率若該生前兩次連續(xù)受到懲罰，第三次獲獎(jiǎng)的概率那么該生獲獎(jiǎng)的概率為這恰好是要求的級數(shù)的和。在每次不同的試驗(yàn)中，該生沒獲獎(jiǎng)的概率分別為：，，，，則沒有一次獲獎(jiǎng)的概率為：=====因?yàn)闆]有一次獲獎(jiǎng)的概率為，所以獲獎(jiǎng)的概率為.所以無窮級數(shù)的和為隨機(jī)變量的另一種形式是連續(xù)型的，代表性分布有正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布。連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的正則性，期望公式，及方差公式。觀察上式三個(gè)公式都含有積分號，這就把概率的知識與積分巧妙聯(lián)系在一起。2.3概率思想在積分中的應(yīng)用由概率論中的連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)的正則性即，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，期望和方差都與積分有著密切的聯(lián)系，二者相互補(bǔ)充，相互滲透。因此可以借助于隨機(jī)變量的這些特點(diǎn)求某些積分的計(jì)算。我們將通過討論如何利用連續(xù)型隨機(jī)變量的正則性求積分來說明例如：求積分的值解從此積分形式上看出,接近指數(shù)函數(shù)，可以把它的形式轉(zhuǎn)化成,再利用正則性去處理.設(shè)X是隨機(jī)變量，且服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。那么由正則性知=，所以=.此題中的定積分也可以用簡單的換元法得出結(jié)果,所以顯示不出利用概率方法的優(yōu)越性。但還有一些定積分形式非常復(fù)雜,用純高等數(shù)學(xué)的方法就不能得心應(yīng)手,這時(shí)可以考慮用某個(gè)分布的期望與方差來解決，經(jīng)常用到的是正態(tài)分布。3總結(jié)概率論和高等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的兩個(gè)分支，它們之間有本質(zhì)的區(qū)別也有密切的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)概率論時(shí)，高等數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)。概率論學(xué)完后又反過來補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)。本文給出了概率思想在解決極限、積分和級數(shù)中的應(yīng)用,可以看出概率論的知識點(diǎn)與高等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)融合在一起,的確能為計(jì)算帶來簡潔。概率思想在解決極限、積分、級數(shù)問題時(shí)，總是利用這些問題構(gòu)造概率模型，使問題落在某一個(gè)分布或某一事件上，再利用這些分布的性質(zhì)或事件的屬性完成對問題的解決。在學(xué)習(xí)中應(yīng)多挖掘它們內(nèi)在的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的博大精深。4[參考文獻(xiàn)][1]峁詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社,2004年7月.1-459.[1]Maopoemsong,ChengMing,PuXiaoLong.Probabilitytheoryandmathematicalstatistics[M].Beijing:HigherEducationPress,2004July.1-459.[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2001年10月.1-354.[2]oftheTongjiUniversityDepartmentofAppliedMathematics.Mathematics[M].Beijing:HigherEducationPress,2001October.1-354.[3]熊丹.例談概率論在積分計(jì)算中的其巧妙應(yīng)用[J].科技信息,2007年第9期:142-142.[3]XiongDanonprobabilitytheoryinthecalculationoftheingeniousapplicationof[J].scienceandtechnologyinformation,2007ninthperiod:142-142.[4]卓澤強(qiáng)，魏文玲，李小龍。概率思想在高等數(shù)學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用研究[J].科技資[4]ZhuoZeqiang,WeiWenling,BruceLee.TheideaofprobabilitycalculationofHigherMathematicsintheapplicationresearchof[J].technology.訊,2010年第20期:196-197.News,201