中考數(shù)學復(fù)習重難點專項突破訓練專題09 圓的綜合問題（重點突圍）(教師版)

專題09圓的綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一利用圓性質(zhì)求角的度數(shù)】 1【考向二利用圓性質(zhì)求線段的長度】 3【考向三利用圓性質(zhì)求圓的半徑】 11【考向四利用圓性質(zhì)求線段的最值】 12【考向四利用圓性質(zhì)求陰影部分的面積】 15【考向五切線的證明綜合應(yīng)用】 16【直擊中考】【考向一利用圓性質(zhì)求角的度數(shù)】例題：（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形內(nèi)接于，，A為中點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，A為中點求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，即可求出答案．【詳解】解：∵A為中點，∴，∴，∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故選B．【點睛】此題考查圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補．【變式訓練】1．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？级＃┤鐖D，一塊直角三角板的角的頂點落在上，兩邊分別交于兩點，連結(jié)，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理解決問題即可．【詳解】解：，，，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，屬于中考常考題型．2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？级＃┤鐖D，、、、四個點均在上，，，則的度數(shù)為___________．【答案】##度【分析】首先連接，由、、、四個點均在上，，，可求得與的度數(shù)，然后由圓的內(nèi)接四邊新的性質(zhì)，求得答案．【詳解】解：連接，，，，，，，．故答案為：．【點睛】此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題比較適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）如圖所示，已知四邊形是的一個內(nèi)接四邊形，且，則_______．【答案】##55度【分析】先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：，．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是四邊形的一個外角，．故答案為：．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理等內(nèi)容，熟知圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．【考向二利用圓性質(zhì)求線段的長度】例題：（2022·四川綿陽·東辰國際學校?？寄M預(yù)測）如圖，點A，B，C，D在上，點A為的中點，交弦于點E．若，，則的長是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓周角定理求得，在中可得，可得的長度，故長度可求得，即可求解．【詳解】解：連接，∵，∴，在中，，∴，∴∵，∴，∴∵點A為的中點，∴，故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理和垂徑定理，解直角三角形，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學（鹽城市藝術(shù)高級中學、鹽城市逸夫中學）?？寄M預(yù)測）如圖，以為直徑的與相切于點，點、在上，連接、、，連接并延長交于點，與交于點．(1)求證：；(2)若點是弧的中點，的半徑為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再由為的直徑，可得，從而得到，再由圓周角定理，即可求證；（2）根據(jù)點是弧的中點，可得，再由，可得，從而得到，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：∵與相切，∴，即，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵點是弧的中點，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)，則，∵的半徑為，∴，在中，，∴，解得：，即．【點睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用同角的余角相等求得．2．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）如圖，與的邊相切于點，與、邊分別交于點、，，是的直徑．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用“邊角邊”證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可證明是的切線；（2）設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理解求出r，進而求出的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的長度，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．與的BC邊相切于點B，是的直徑，．，，.，，，在與中，，，，是的切線；（2）解：設(shè)的半徑為r，．，．，，，解得：，．，，，，，，由（1）知，，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，是的外接圓，是的直徑，F(xiàn)是延長線上一點，連接，，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，是的直徑，則，得到，由得到，又由得到，即可得到結(jié)論；（2）解直角三角形得到，，得到，再證明，得到＝＝＝，設(shè)，，，進一步求得，即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，又∵．∴，即，∴是的切線；（2）∵，∴，在中，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴＝＝＝，設(shè)，，，又∵，即，解得（取正值），∴．【點睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川綿陽·東辰國際學校校考模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，為弦，過點C的切線與的延長線交于點P，E為上一點，且，連接并延長交于點H．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接,由切線的性質(zhì)可知,再證明,則,可得；（2）連接,根據(jù)為的直徑得，根據(jù)得，得，利用勾股定理，解得或（舍去），則，證明，則，設(shè)，則，，可得，解，則，，由（1）可得，，從而可得．【詳解】（1）解：如圖①，連接，在和中，，，，，，，又，，，與相切，，．（2）解：如圖②，連接，為的直徑，，，，，，，解得或（舍去），，為切線，．為的直徑，，，又，，，設(shè)，則，，，，解，，，由（1）可得，，．【點睛】此題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的化簡等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性質(zhì)以及勾股定理求得結(jié)果．【考向三利用圓性質(zhì)求圓的半徑】例題：（2022·福建福州·校考一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，則的半徑為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，由圓周角定理得出，根據(jù)可得出答案．【詳解】連接，，∵四邊形內(nèi)接于，∴∴由勾股定理得：∵，∴∴的半徑為：故選：B．【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理．1．（2022·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，P為延長線上的一點，過P作的切線，A為切點，，則的半徑等于___________．【答案】3【分析】連接，因為是的切線，得，結(jié)合已知在中運用勾股定理即可求解．【詳解】連接，∵是的切線，∴，，在中，，即，∴，解得，故答案為：3．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理的運用；掌握切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，點A，B，C在上，，，則的半徑為_____．【答案】【分析】過點A作交的延長線于點E，連接，先求出，則，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，則，利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】解：過點A作交的延長線于點E，連接．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·云南文山·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，D、E分別是AB、BC上的點，過B、D、E三點作，交延長線于點F，，，．(1)求證：；(2)當與相切于點D時，求的半徑；(3)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，即可證明；（2）連接，過點O作，垂足為M，求出，，再證明，從而求出求的半徑（3）過點D作，垂足為H，過點B作，垂足為G，利用等積法求出，設(shè)，則，利用，即可求出的值．【詳解】（1）∵四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴；（2）連接，過點O作，垂足為M，，∴，∵，，∵，∴，，在中，，∵與相切于點D，∴，∴，∴，∵，∴，，，，∴的半徑為；（3）過點D作，垂足為H，過點B作，垂足為G，∵的面積，∴，，，∵，，∴，，，∴設(shè)，則，由（1）得：，，，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，，∴的長為．【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題目的條件，進行推理證明．【考向四利用圓性質(zhì)求線段的最值】例題：（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，是的直徑，，點在上，是的中點，是直徑上的一動點，若，則周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)動點最值，將軍飲馬模型，如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接交于，周長為，由對稱性知周長為，根據(jù)兩點之間線段最短可知周長的最小為，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)進行計算即可得到答案．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，則點在上，連接交于，由對稱性知，周長為，根據(jù)兩點之間線段最短可知周長的最小為，∵點是的中點，，∴，∴，∴，∴，∴是正三角形，∴，∵，∴周長的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查動點最值問題-將軍飲馬模型，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱性質(zhì)，掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·廣東江門·校考一模）矩形中，，，點P為矩形內(nèi)一個動點且滿足，則線段的最小值為________．【答案】##【分析】通過矩形的性質(zhì)和等角的條件可得，所以P點應(yīng)該在以為直徑的圓上，根據(jù)兩邊之差小于第三邊及三點共線即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵四邊形為矩形，，，，，，，∴點P在以為直徑的上，在中，，，由勾股定理得，，，∴當P，D，O三點共線時，最小，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段最小值問題及圓的性質(zhì)，分析出P點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東江門·校考一模）中，，，點為的對稱軸上一動點，過點作與相切，與相交于點，那么的最大值為______________．【答案】##【分析】設(shè)的對稱軸交于F，連接，根據(jù)圓周角定理及題意得出點E在以為直徑的圓上，由勾股定理得出，結(jié)合圖形即可得出最大值．【詳解】解：設(shè)的對稱軸交于F，連接，∵，∴的對稱軸，∴切于F，∵是的直徑，∴，∴，∴點E在以為直徑的圓上，∵，，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】題目主要考查圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．【考向四利用圓性質(zhì)求陰影部分的面積】例題：（2022·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)，求解即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用分割法解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓練】1．（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，在半徑為2，圓心角為的扇形內(nèi)，以為直徑作半圓，交弦于點D，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知為直徑，則，在等腰直角三角形中，垂直平分，，為半圓的中點，陰影部分的面積可以看作是扇形的面積與的面積之差．【詳解】解：在中，AB2，∵是半圓的直徑，∴，在等腰中，垂直平分，，∴D為半圓的中點，∴．故選：A．【點睛】本題考查扇形面積的計算公式及不規(guī)則圖形面積的求法，掌握面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，矩形中，，，是中點，以點為圓心，為半徑作弧交于點，以點為圓心，為半徑作弧交于點，則圖中陰影部分面積的差為______．【答案】【分析】根據(jù)圖形可以求得的長，然后根據(jù)圖形即可求得的值．【詳解】解：在矩形中，，是中點，，，．故答案為：【點睛】本題考查了扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2022秋·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，，分別是的直徑和弦，半徑于點．過點作的切線與的延長線交于點，，的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可以證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)定理可以得到，即，即可證得是的切線；（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，是的切線，是的直徑，，于點，，，在和中，，（SAS），，，是的半徑，是的切線．（2）解：于點，，，是的切線，，，，，，，，，，，在中，，．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇揚州·?？既＃┤鐖D，Rt△ABC中，，，為上一點，，以為圓心，以為半徑作圓與相交于點，點是⊙O與線段BC的公共點，連接，并且．(1)求證：是⊙O的切線；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由是直徑，得出，進而得出，由圓周角定理得出，進而得出，然后得出，再證明，得出，再證明是等邊三角形，進而得出，證明，即可得出，即可得出結(jié)論．（2）先求出等邊三角形的面積為：，由（1）可得出，求出扇形的面積為：，再由勾股定理得出，求出的面積為：，然后可求得陰影部分的面積．【詳解】（1）如圖，連接，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴∴，∵是半徑，∴是⊙O的切線．（2）∵是等邊三角形，∴，∵，∴的面積為：，∵，∴扇形的面積為：，∵，，，∴，∴，∴，∴由勾股定理可得：，∴的面積為：，∴陰影部分的面積為：．【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知，為的直徑，過點A作弦垂直于直徑于F，點B恰好為的中點，連接，．(1)求證：；(2)若，求的半徑；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見詳解；(2)2；(3)．【分析】（1）連接，，為的直徑，得到兩個直角及兩條線段相等，再根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到角相等，證明兩個三角形全等即可得到答案；（2）連接，根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到圓周角圓心角的關(guān)系，結(jié)合平角，求出的度數(shù)，在中根據(jù)勾股定理即可得到答案；（3）由（2）可得圓心角度數(shù)直接求扇形面積，再算出的面積即可得到陰影部分面積．【詳解】（1）證明：連接，∵，為的直徑，∴，，∵點B是的中點，∴，∴，在與中，∵，，，∴≌，∴；（2）解：連接，∵點B是的中點，∴，∴，，∵垂直于直徑于F，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，解得：；（3）由（2）可得，，在中，∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、扇形的面積以及解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【考向五切線的證明綜合應(yīng)用】例題：（2022·湖南株洲·?？级＃┤鐖D，在菱形中，是對角線上一點，，垂足為，以為半徑的分別交于點，交的延長線于點，與交于點．(1)求證：是的切線；(2)若是的中點，，．①求扇形的面積；②求的長．【答案】(1)見解析(2)①，②【分析】（1）過點作于點，證明即可；（2）①先求出，再求出，，代入扇形面積公式即可；②過作，由，對應(yīng)邊成比例求出的長．【詳解】（1）解：證明：如圖，過點作于點，是菱形的對角線，，，，，是的切線．（2）①是的中點，，，，，，，，，，即，，，扇形的面積；②如圖，過作于點，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了圓的切線判定定理、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握證明是圓的切線的方法、菱形的性質(zhì)以及