6.1.26.1.3向量的加法與減法（原卷版）

6.1.2向量的加法6.1.3向量的減法TOC\o"13"\h\z\u題型1向量加法 3◆類型1求作圖形 4◆類型2給定圖形 6◆類型3化簡 8題型2向量的減法 9◆類型1求作圖形 9◆類型2給定圖形 10◆類型3化簡 11題型3利用已知向量表示未知向量 12題型4向量的模長 14◆類型1向量的模長 14◆類型2模長取值范圍最值問題 15題型5利用向量證明幾何問題 16題型6向量加減法的幾何意義 18原理已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．圖示結(jié)論||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|【拓展】當(dāng)a，b同向時|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)a，b反向時，|a+b|=|a||b|或|b||a|知識點一.向量加法的三角形法則知識點二.平行四邊形法則原理已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．圖示運算律知識點三.多個向量相加原理已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有圖示運算律注意：對于零向量與任一向量a的和有a＋0=0+a=a知識點四.向量的減法定義（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．向量減法的三角形法則（1）已知向量，，作，則=,即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．結(jié)論||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|知識點五.相反向量定義給定一個向量，我們把與這個向量方向相反、大小相等的向量稱為它的相反向量，向量a的相反向量記作a.性質(zhì)（1）零向量的起點與終點相同，所以0=0；（2）任何一個向量與它的相反向量的和等于零向量，即a十（一a）=0（3）一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的相反向量題型1向量加法【方法總結(jié)】三角形法則的使用原則（1）用三角形法則求和必須使兩個向量“首尾相連”，即前一個向量的終點與后一個向量的始點重合，其和是第一個向量的始點指向第二個向量的終點的向量．簡述為“加向量，首尾連；和向量，始點到終點”.（2）對于零向量與任一向量a的和，有a＋0=0+a=a.【方法總結(jié)】平行四邊形法則的使用原則（1）平行四邊形法則的應(yīng)用前提是兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量．（2）當(dāng)兩個向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則的實質(zhì)是一樣的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．但當(dāng)兩個向量共線時，平行四邊形法則便不再適用.（3）向量加法的三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義.【方法總結(jié)】多個向量加法（1）解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法的運算律和向量加法法則，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母排列順序，特別注意勿將0寫成0.（2）運用向量加法求和時，在圖中表示“首尾相接”時，其和向量是從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點.◆類型1求作圖形【例題11】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，用向量加法的平行四邊形法則作出向量a+(1)

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【變式11】1.（2023·高一課時練習(xí)）已知向量a，b，c，求作a+（1）（2）【變式11】2．（2023下·高一課時練習(xí)）如圖，在下列各小題中，已知向量a、b，分別用兩種方法求作向量a+【變式11】3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a+【變式11】4.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，用向量加法的三角形法則作出向量a+(1)

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◆類型2給定圖形【例題12】（2022·高一課時練習(xí)）如圖所示，求：(1)a+(2)c+(3)e+(4)c+【變式12】1.（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，AC與BD交于點O，則A．CD B．OC C．DA D．CO【變式12】2．（2023下·浙江·高一階段練習(xí)）如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則OA+A．0 B．0 C．AE D．EA【變式12】3．（2022下·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則OC+A．OB B．OD C．OF D．OH【變式12】4.（2020·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個向量)：①AB＋DF＝；②AD＋FC＝；③AD＋BC＋FC＝.◆類型3化簡【例題13】化簡：（1）eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；（2）eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；（3）eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).（4）eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；（5）(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【變式13】1.（2022·高一課時練習(xí)）已知a,b,c是非零向量，則a+c+b，b+A．5 B．4C．3 D．2【變式13】2．（2021·高一課時練習(xí)）設(shè)a=AB+①a//b；②a+b=a；③a+正確結(jié)論的序號是（

）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤【變式13】3．(多選)（2021下·高一課時練習(xí)）（多選）設(shè)a→=ABA．a(chǎn)→∥C．a(chǎn)→+【變式13】4.（2021·高一課時練習(xí)）已知下列各式：①AB+BC+CA；②(AB+MB)+BO題型2向量的減法【方法總結(jié)】在求作兩個向量的差向量時，當(dāng)兩個向量有共同始點，直接連接兩個向量的終點，并指向被減向量，就得到兩個向量的差向量：若兩個向量的始點不重合，先通過平移使它們的始點重合，再作出差向量◆類型1求作圖形【例題21】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a-【變式21】1.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，求作a-(1)

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【變式21】2．（2022下·安徽蕪湖·高一?？计谥校┳鞒鲆韵聢D形(1)如圖1，已知向量a，b，(2)如圖2，已知向量a，b，【變式21】3.（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點，OA=a，OB=b，【變式21】4.（2021·高一課時練習(xí)）如圖，已知向量e1、e(1)-2e(2)2.5e◆類型2給定圖形【例題22】（2022下·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┫铝邢蛄窟\算結(jié)果錯誤的是（

）A．a(chǎn)+bC．a(chǎn)=c【變式22】1.（2021上·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)校考階段練習(xí)）在五邊形ABCDE中（如圖），下列運算結(jié)果為AD的是（

）A．AB+BCC．BC→-【變式22】2.（多選）（2021下·海南·高一?？茧A段練習(xí)）在五邊形ABCDE中(如圖)，下列運算結(jié)果為AD的是（

）A．AB+BCC．BC-DC◆類型3化簡【例題23】（2023下·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）下列向量的運算結(jié)果不正確的是（

）A．ABB．ABC．OAD．AB【變式23】1．（2022·高一課時練習(xí)）給出下列各式：①AB+CA+BC，②AB-CD+BD-A．4 B．3 C．2 D．1【變式23】2.（多選）（2023下·云南普洱·高一?？茧A段練習(xí)）化簡以下各式：①AB+BC+CA；②AB-AC+A．① B．② C．③ D．④【變式23】3.（多選）（2022下·河北衡水·高一河北武強中學(xué)?？计谥校┗喴韵赂魇剑Y(jié)果為0的有（

）A．AB+BCC．OA-OD【變式23】4.（多選）（2022下·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式中結(jié)果為零向量的為（

）A．AB+BCC．AB-AC題型3利用已知向量表示未知向量【例題3】（2021下·安徽滁州·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，解答下列各題：(1)用a，d，(2)用b，c表示(3)用a，b，(4)用c，d表示【變式31】1.（2021下·高一課時練習(xí)）若點M是△ABC中BC邊上的中點，設(shè)AB=a,AC=【變式31】2.（2021下·高一課時練習(xí)）如圖，在△MAB中，C是邊AB上的一點，且AC＝5CB，設(shè)MA=a,MB=b,則MC【變式31】3.（2021·高一課時練習(xí)）在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M為BC的中點，求MN(用a，b表示).【變式31】4.（2021下·高一課時練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧AB上的兩個三等分點，試用AB，AC表示AD.題型4向量的模長◆類型1向量的模長【例題41】（2023·高一課時練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=5,BC=2，則向量AB【變式41】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，則|a－b|＝．【變式41】2．（2021下·高一課時練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為1，則AB+【變式41】3.（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，AB=a，BC=(1)a+(2)a【變式41】4.（2020下·高一課時練習(xí)）已知非零向量a,b滿足a=7+1，b【變式41】5．(多選)（2021·高一課時練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，則以下說法正確的是（

）A．與AB相等的向量(不含AB)只有一個B．與AB的模相等的向量(不含AB)有9個C．BD的模是DA的模的3倍D．CB與DA不共線◆類型2模長取值范圍最值問題【方法總結(jié)】|–|、||–||、||+||三者的大小關(guān)系（1）當(dāng)向量與共線時，當(dāng)兩非零向量與同向時，|–|=||–||<||+||；當(dāng)兩非零向量與反向時，|–b|=||+||>||–||；當(dāng)與中至少有一個為零向量時，|–b|=||–||=||+||．（2）當(dāng)兩非零向量與不共線時，如在△ABC中，AC=，AB=，則BC=AC–AB=–，根據(jù)三角形中任意兩邊之差總小于第三邊，任意兩邊之和總大于第三邊，可得|||–|||<|–|<||+||．綜合可知，對任意的向量與都有|||–|||≤|–|≤||+||．只當(dāng)與同向或與中至少有一個為零向量時|||–|||≤|–|中的等號成立；當(dāng)與反向或與中至少有一個為零向量時|–|≤||+||中的等號成立．【例題42】（2021上·高一專題）已知|a|=6，|【變式42】1.（2021·高一課時練習(xí)）已知a=1，b=2，則【變式42】2．（2020·高一課時練習(xí)）填空：（1）若a,b滿足a=2,b=3（2）當(dāng)非零向量a,b滿足時，a+b平分a與【變式42】3．（2021·高一課時練習(xí)）若向量a，b滿足|a|=6，|b【變式42】4．如圖所示，單位圓上有動點A，B，當(dāng)OA-OB取得最大值時，A．0 B．-1 C．1 D．2題型5利用向量證明幾何問題【方法總結(jié)】用向量證明幾何問題的一般步驟：要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量.（2）通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系.【例題5】（2023·高一單元測試）如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且BP+CQ=【變式51】1．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知M，N分別是四邊形ABCD的邊AB，CD的中點，求證：MN=【變式51】2.（2021·高一課時練習(xí)）如圖，點O是?ABCD的兩條對角線的交點，AB=a，DA=b【變式51】3.（2023·全國·高一課堂例題）求證：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點為O，且O是AC，BD的中點．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式51】4.（2021·高一課時練習(xí)）如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點，求證：EA題型6向量加減法的幾何意義【例題6】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在四邊形ABCD中，若AB=DC，且|AC|=|A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定【變式61】1.（2023下·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）在四邊形ABCD中，已