高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3作業(yè)2-3-2離散型隨機(jī)變量的方差3

離散型隨機(jī)變量的方差1.已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則①EX＝－eq\f(1,3)，②DX＝eq\f(23,27)，③P(X＝0)＝eq\f(1,3)，其中正確的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：EX＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正確；DX＝(－1＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＋(0＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正確；③P(X＝0)＝eq\f(1,3)顯然正確．答案：C2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球2次(每次罰球結(jié)果互不影響)的得分的數(shù)學(xué)期望是()A.1.4C.1.2 D.1.1解析：得分為變量ξ，則其概率分布為ξ012P0.090.420.49由Eξ＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4.答案：A3.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－k，k＝0,1,2，…，n，且Eξ＝24，則Dξ的值為()A．8 B．12C.eq\f(2,9) D．16解析：由題意可知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，∴eq\f(2,3)n＝Eξ＝24.∴n＝36.又Dξ＝n×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)×36＝8.答案：A4.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子12次，則出現(xiàn)向上的一面是3的次數(shù)的均值和方差分別是()A．2和5 B．2和eq\f(5,3)C．4和eq\f(8,3) D.eq\f(21,6)和1解析：由題意知出現(xiàn)向上的一面為3的次數(shù)符合二項分布，擲12次骰子相當(dāng)于做12次獨立重復(fù)試驗，且每次試驗出現(xiàn)向上的一面為3的概率是eq\f(1,6)，∴Eξ＝12×eq\f(1,6)＝2，Dξ＝12×eq\f(1,6)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,3)，故選B.答案：B5.已知ξ～B(4，eq\f(1,3))，并且η＝2ξ＋3，則方差Dη＝()A.eq\f(32,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(43,9) D.eq\f(59,9)解析：Dξ＝4×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(8,9)，∵η＝2ξ＋3，∴Dη＝4·Dξ＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).答案：A6.隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a、b、c成等差數(shù)列，若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ的值是______．解析：∵Eξ＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝eq\f(1,3)，又a＋b＋c＝1，且2b＝a＋c，∴a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2).∴Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)7.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝________.解析：ξ的取值有0,1,2.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,2),9)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,9)，所以Eξ＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8.隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，Eξ＝1，則Dξ＝________.解析：本題主要考查隨機(jī)變量的分布列、期望、方差問題，考查考生對期望、方差公式的掌握情況．由題意設(shè)P(ξ＝1)＝p，ξ的分布列如下ξ012Peq\f(1,5)peq\f(4,5)－p由Eξ＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以Dξ＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)9.袋中有大小相同的三個球，編號分別為1,2,3，從袋中每次取出一個球，若取到球的編號為奇數(shù)，則取球停止，用X表示所有被取到的球的編號之和，則X的方差為________．解析：X的分布列為X135Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)則EX＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,2)＋5×eq\f(1,6)＝eq\f(8,3)，DX＝eq\f(17,9).答案：eq\f(17,9)10.袋中有5個大小相同的小球，其中有1個白球和4個黑球，每次從中任取1個球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球為止，求取球次數(shù)X的期望與方差．解：由題意知，X的所有可能取值為1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(1,5)＝0.2；P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝0.2；P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝0.2；P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝0.2；P(X＝5)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,1)＝0.2.于是得到隨機(jī)變量X的分布列為：X12345P0.20.20.20.20.2EX＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.11.甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等．這兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：ξ10123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：ξ2012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平．解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ1的均值和方差為：Eξ1＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；Dξ1＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ2的均值和方差為：Eξ2＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；Dξ2＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為Eξ1＝Eξ2，Dξ1>Dξ2，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)事件平均次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動．因此乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高．12.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望EX及方差DX.解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1