中考數(shù)學(xué)解題技巧 36幾何模型矩形的存在性問(wèn)題

矩形的存在性問(wèn)題一、方法突破矩形的判定：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形；（2）對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形；（3）有三個(gè)角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線(xiàn)相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿(mǎn)足以下3個(gè)等式：（AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)）因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見(jiàn)矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè)．題型如下：（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點(diǎn)，可先確定其中3個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，再確定第4個(gè)點(diǎn)．對(duì)“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”尤其適用．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在平面中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】點(diǎn)C滿(mǎn)足以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線(xiàn)一圓”可得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C有、、、在點(diǎn)C的基礎(chǔ)上，借助點(diǎn)的平移思路，可迅速得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問(wèn)題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問(wèn)題上再加一步求D點(diǎn)坐標(biāo)，也是因?yàn)檫@兩個(gè)圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，A、B、C、D滿(mǎn)足以下3個(gè)等式，則為矩形：其中第1、2個(gè)式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點(diǎn)坐標(biāo)后，代入點(diǎn)坐標(biāo)解方程即可．無(wú)論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對(duì)于我們列方程來(lái)解都沒(méi)什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，滿(mǎn)足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，另外AB=CD，得：，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，另外AC=BD，得，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個(gè)方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個(gè)等式而已，剩下的都是計(jì)算的故事．二、典例精析例一：如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（-3，0），且OB=OC．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+4．點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上M、N之間的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交MN于點(diǎn)E．①求DE的最大值；②點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形MDNF為矩形．【分析】（1）拋物線(xiàn)：；（2）①像DE這樣的線(xiàn)段的最大值，就是當(dāng)D點(diǎn)在MN水平位置的中點(diǎn)處時(shí)最大，假如我們知道這個(gè)結(jié)論的話(huà)．如果不知道，就只能一步步算了，由題意可知：M、N，點(diǎn)斜式求直線(xiàn)MN：直線(xiàn)MN：，整理得：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，則E點(diǎn)坐標(biāo)為，故當(dāng)d=m+2時(shí)，DE取到最大值為4．②若四邊形MDNF是矩形，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分，則E點(diǎn)必為MN中點(diǎn)，故E點(diǎn)橫坐標(biāo)為m+2，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)也為m+2，且由①可知，此時(shí)DE=4，又矩形對(duì)角線(xiàn)相等，因此只要滿(mǎn)足MN=8，則有矩形MDNF．解得：，．故當(dāng)m的值為或時(shí)，四邊形MDNF是矩形．考慮到第①問(wèn)中已經(jīng)得到了DE=4，故本題優(yōu)先考慮利用對(duì)角線(xiàn)相等求解，事實(shí)上，構(gòu)造三垂直使△MDN是直角三角形，也可以解決問(wèn)題．構(gòu)造△MED∽△DFN，，即，同樣可解得：，．例二：如圖，直線(xiàn)y=x-3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與直線(xiàn)y=x-3交于點(diǎn)E（8，5），且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）拋物線(xiàn)：；（2）B、C為定點(diǎn)，P在拋物線(xiàn)上，Q在平面中，即為“2定+1半動(dòng)+1全動(dòng)”類(lèi)型．先確定P點(diǎn)使得由P、B、C構(gòu)成的三角形為直角三角形，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，構(gòu)造三垂直相似：△PEB∽△BFC，，，，由相似可知：，即，解得：，（舍），代入得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，5），根據(jù)點(diǎn)的平移可知對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）．②當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，同理可構(gòu)造相似：，解得：，（舍）代入得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，32），根據(jù)點(diǎn)的平移可知對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-16，29）．另外以BC為直徑作圓，與拋物線(xiàn)并無(wú)交點(diǎn)，故不存在以P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的情況．綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）或（-16，29）．三、中考真題對(duì)決1．（2021?淄博）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）若，求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)（在拋物線(xiàn)上），點(diǎn)（在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上），使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）的坐標(biāo)為，，，，的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，得，即，拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（3）存在，理由如下：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，直線(xiàn)的解析式為①，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為②，聯(lián)立①②解得，或，的坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，①若為邊，不妨設(shè)在軸上方，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)的坐標(biāo)為，，，，，解得：或（舍，的坐標(biāo)為，由平移性質(zhì)，得：的橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位得到的橫坐標(biāo)，且，橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位，得：到的橫坐標(biāo)為，，解得，，，這說(shuō)明不在軸上方，而在軸下方；②若為對(duì)角線(xiàn)，設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，的坐標(biāo)為，，矩形對(duì)角線(xiàn)、互相平分，也是的中點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，，，，，整理得：，變形得：，換元，令，得：，解得：或25，或25，，，即的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，綜上，即的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為或，．2．（2021?齊齊哈爾）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接，，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，點(diǎn)為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（4）點(diǎn)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1），，又對(duì)稱(chēng)軸為，，將，代入解析式得：，解得，；（4）設(shè)，，由（1）知，，若為矩形的對(duì)角線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，又，，即：，解得或，或，或，若為矩形得對(duì)角線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，又，，即：，解得，，若為矩形的對(duì)角線(xiàn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得：，又，，即：，解得，，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或或．3．（2021?菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，將拋物線(xiàn)向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，得到新拋物線(xiàn)，點(diǎn)在新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考：若點(diǎn)，、，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，．解：（1）由題意得：，解得，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；（3）存在，理由：將拋物線(xiàn)向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，即點(diǎn)過(guò)改點(diǎn)，即拋物線(xiàn)向右平移了個(gè)單位，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸也平移了個(gè)單位，即平移后的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)是邊時(shí)，則點(diǎn)向右平移3個(gè)單位向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)，同樣點(diǎn)（E）向右平移3個(gè)單位向下平移6個(gè)單位得到點(diǎn)且，則或，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②當(dāng)是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和得：，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．4．（2021?達(dá)州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）把，代入中，得：，，，，（3）存在，，，設(shè)，則，，，構(gòu)成的四邊形是矩形，是直角三角形，若是斜邊，則，即，解得：，，的橫坐標(biāo)為或，若是斜邊，則，即，解得（與點(diǎn)重合，舍去）或，的橫坐標(biāo)是，若是斜邊，則，即，解得（與點(diǎn)重合，舍去）或，的橫坐標(biāo)為2，綜上的橫坐標(biāo)為，，，2．5．（2021?嘉