2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)高二下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.已知等差數(shù)列{5},%+4=3,a5=5f!)1∣Jan=

715

【正確答案】-n--

44

【分析】求出首項和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可得解.

【詳解】設(shè)公差為"，

由。2+%=3,%=5,

4=-2

J2q+4d=3，解得L7

行jq+44=5

a=—

4

7715

所以-2+*ι)=wr

715

故答案為?r一了

2.已知函數(shù)y=f(χ),其中/(χ)=Y一3"則(％)=

【正確答案】3√-3Λ?3

【分析】直接利用求導(dǎo)公式計算即可.

【詳解】f(χ)=x3-y,

.?.∕,(x)=3x2-3'ln3.

故答案為.3/一3'1113

3.春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期，某人在春季里鼻炎發(fā)作的概率是感冒發(fā)作的概率是

鼻炎發(fā)作且感冒發(fā)作的概率是I,則此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率是.

3

【正確答案】7/0.75

4

【分析】根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.

【詳解】記事件A=“某人在春季里鼻炎發(fā)作“，事件8="某人在春季里感冒發(fā)作”，

463

由題意可知P(A)==,P(8)=三,P(AB)=1,

575

3

此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率為P(B?A)=筮?=|=|,

5

W3

故二

4.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字且為偶數(shù)，這樣兩位數(shù)的個數(shù)有

個

【正確答案】16

【分析】利用分類計數(shù)原理，對個位進行分類討論即可得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取1,2,3,4,5,6,7,只有7個.

當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取1,2,3,4,5,共5個.

當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取1,2,3,共3個.

同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，有1個，

當(dāng)個位數(shù)字是O時，共O個.

由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1+3+5+7=16(個).

故16

5.已知函數(shù)〃X)=皿，則函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【正確答案】(0,e)

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式∕<x)>0,即可求得答案.

【詳解】由函數(shù)/(x)=乎,(x>0)可得/'(")=上詈，

令∕,(x)>0,.?.-^>0,.?.0<X<e,

即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),

故(0,e)

6.若直線Lx-2y+m=0與圓C"2+y2-2y-4=0相切，則實數(shù)機=

【正確答案】-3或7

【分析】利用幾何法列方程即可求解.

【詳解】圓<7:/+丫2-2丫-4=0可化為/+(丫-1)2=5.

因為直線/：x-2y+m=0與圓。：/+,2-2丫-4=。相切,

∣0—2×1+/7?|r—

所以圓心到直線的距離等于半徑，即"+HfES，

解得：加=一3或7.

故-3或7

7.在卜-1)6的展開式中，V項的系數(shù)是.

【正確答案】-160

【分析】直接根據(jù)二項式的展開式的通項公式求解即可.

【詳解】(X2--T展開式的通項公式為J=晨(x2廠.=G(-2)f

令12—3r=3,得r=3,所以含/項的系數(shù)為C：(—2丫=20x(-8)=-160,

故-160.

8.已知在正項等比數(shù)列｛%｝中，4=8,%=32,則使不等式S,>511成立的正整數(shù)〃的最

小值為.

【正確答案】9

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為。，且4>0,求出可，S“，再解不等式2向>513即得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為4,且4>0,

因為%=8,4=32,所以d=%=4=>q=2,

a3

所以4,=α∕2>3=2",所以S=2(1ΞΓ)=2"+-2?

"1-2

因為S,>511,即2向>513,

當(dāng)”=8時,2Λ+I=29=512;當(dāng)"=9時，2n+'=2l0=1024,

所以正整數(shù)〃的最小值為9.

故9

9.直線y=2x+l關(guān)于直線y=2x+3對稱的直線方程為

【正確答案】y=2x+5

【分析】因為兩直線平行，設(shè)所求直線方程為y=2x+6,由直線y=2x+l與直線y=2x+3

間的距離，求得b的值，得直線方程.

【詳解】設(shè)所求直線方程為y=2χ+6,且6*1,

∣1-3∣2

直線y=2x+l與直線y=2x+3間的距離為"2+(])2=忑,

?b-3?2

貝IJ直線y=2x+b與直線y=2x+3間的距離為下耳?=^=不，又b≠1,得6=5,

所以所求直線方程為V=2x+5,

故答案為.y=2x+5

10.2位教師和4名學(xué)生站成一排，要求2位教師站在中間，學(xué)生甲不站在兩邊，則不同排

法的種數(shù)為

【正確答案】24

【分析】先考慮兩位教師的排法，再考慮甲的排法，最后考慮余下三位同學(xué)的排法，結(jié)合分

步乘法計數(shù)原理求總排法數(shù)即可.

【詳解】先考慮將兩位老師排在中間，有A；種排法，

再考慮排甲同學(xué)，有W種排法，

最后考慮余下三位同學(xué)的排法，有A；種排法,

由分步乘法計數(shù)原理可得共有A；A；A；=24種排法.

故答案為.24

11.當(dāng)x2l時，不等式Or-Sin(X-l)≥lnx+4恒成立，則。的范圍為.

【正確答案】a≥2

【分析】構(gòu)造/(X)=如-Sin(X-1)-lnx-α,x≥l,求導(dǎo)判斷單調(diào)性，分/2和“<2兩種情

況討論，可得所求。的范圍.

【詳解】構(gòu)造/(*)=?-Sin(X-I)-InX-α,x≥l,且F(O)=O

∕,(x)=α-cos(x-l)-?J3L∕,(l)=a-2

?a>2I?,∕,(x)=2-CoS(X-1)——=I-CoS(X-1)+1——>0

?f(χ)在［1,R)上單調(diào)遞增,/(χ)≥"l)=0成立；

當(dāng)α<2時,∕,(l)=α-2<0,又在［l,+∞)上為連續(xù)函數(shù),

，存在Xoe[l,+∞),使X∈(L與)時,∕,(x)<0,即f(x)在(1,Λ?)上單調(diào)遞減,

此時f(x)<"l)=O,不成立,舍去；

則。的范圍為α≥2,

故4≥2.

12.某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的

3

概率為荒，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的

左右相對順序固定，則共有種不同的站隊方法.

【正確答案】25200

【分析】由已知得10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.

【詳解】設(shè)10名學(xué)生中，有女生X人，男生(io-x)人，

7XX(Io/(I)

則10名學(xué)生中選取3人，恰有1名女生的概率r=Ccχ,-2-3,

e?ɑ12010

整理得：X(IO-x)(9-x)=72,SP√-19X2+90X-72=0

因式分解可得：(X-6)(X-1)(A12)=0,

解得：X=6>1或x=l(舍去)或X=I2(舍去)

所以10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，

將6名女生排成一排有A：種方法，再將4名男生插到7個空中有A：A；種方法，

因為男生的左右相對順序固定，而4名男生排成一排有A：種方法，

，ΛΛ--?ft??6×5×4×3×2×1×7×6×5×4CC”

所以一共t有力?=-----------H-------------=252。。,

故25200

二、單選題

13.某班級有50名學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(120,4),已P(X>140)=0.2,

則XeUOo,140]的學(xué)生人數(shù)為()

A.5B.10C.20D.30

【正確答案】D

【分析】由正態(tài)分布的對稱性求出P(IoO≤X≤140)=0.6,即可求出XeUO0,140]的學(xué)生人

數(shù).

【詳解】因為期末考試數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(120Q2),所以期末考試數(shù)學(xué)成績關(guān)于

〃=120對稱，

則P(X>140)=P(X<100)=0.2,所以P(IOO≤X≤140)=0.6,

所以Xe[100,140]的學(xué)生人數(shù)為：0.6x50=30人.

故選：D.

14.已知函數(shù)/(x)=χ3+αχ2+(q+6)x+l有極大值和極小值，則α的取值范圍是()

A.-l<a<2B.a<-3或α>6C.-3<a<6D.。<一1或a>2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可以判斷導(dǎo)數(shù)有兩個零點，然后求。的取值范圍即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=ri+αχ2+(α+6)x+l,

.?.f(X)=3x2+2ax+α+6,

函數(shù)/(x)有極大值和極小值，

所以其導(dǎo)函數(shù)F(X)=()有兩個不同的解，

Δ=4?2-4x3(α+6)>0,

所以"-3或α>6.

故選：B

15.已知點A(T0),8(2,0)與直線/:e—卜+m=0(機€1t),若在直線/上存在點P,使得

IPAI=2|罔，則實數(shù)〃?的取值范圍是()

λ^√3√3^∣D(√3∣I?！?S)

A.----B.-∞,---U--+∞

3333I

LJ?JL7

C.D.(-∞,-√3]θ[√3,+∞)

【正確答案】A

【分析】設(shè)出P點坐標(biāo)，由∣R4∣=2∣P8∣進行化簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得加的取值范圍.

【詳解】對于直線/:儂-y+"z=0（"zeR）,

gpj=m(x+l),所以A(To)在直線/上,

設(shè)P(f,m(r+1)),其中fw—l,

由EI=2∣PB∣兩邊平方得歸

BP(r+l)2+m2(t+1)2=4[(z-2)2+m2(t+I)2],

整理得[+if〃/+r-6/+5=0,

t2-6t+5廠+2f+1-8(f+1)+12

由于f+l≠0,所以.

(f+I),

128,1

TTIy7^i,其中所肛

128

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知‘當(dāng)￡=:"=2時’了+萬1-1取得最大值，

且最大值為g,則＞W(wǎng)0,g,解得"7∈

故選：A

16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列｛α,,｝本

身不是等差數(shù)列，但從｛q｝數(shù)列中的第二項開始,每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列｛%｝（則

稱數(shù)列｛〃,,｝為一階等差數(shù)列），或者他｝仍舊不是等差數(shù)列，但從我｝數(shù)列中的第二項開始,

每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列｛c,,｝（則稱數(shù)列｛%｝為二階等差數(shù)列），依次類推，可以

得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列

1,1,2,8,64,…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項是（）

A.25B.2C.22'D.228

【正確答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)列特征可知數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，進而得到久，利用累乘法可求得?！埃?/p>

入〃=8即可.

【詳解】記數(shù)列1,1,2,8,64「-為｛q｝,設(shè)勿=巴"，

則4=1,?2=2,4=4,4=8,…，

???數(shù)列｛〃｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，???2=2"T,

(n-l)(∕j-2)7x6

2

4=加電2也_3.?…blal==22'.=2亍=2'-

故選：C.

三、解答題

17.已知函數(shù)g(x)=加-3/+6在χ=2處取得極值.

⑴求實數(shù)”的值；

(2)若關(guān)于X的方程g(x)=m在區(qū)間［-1,1］只有兩解，求實數(shù)”?的取值范圍.

【正確答案】(l)a=l;

(2)［4,6)

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)并g'(2)=0,由此解得。=1；

(2)研究函數(shù)g(x)=x3-3/+6在區(qū)間［7,1］單調(diào)性，結(jié)合端點值，確定實數(shù)機的取值范

圍即可.

【詳解】(I)g'(x)=%∕-6x由題意知:g'(2)=12a-12=0,

解得：”=1；

(2)由(1)知，g(x)=x3-3x2+6,g'(x)=3χ2-6x=3x(x-2),

當(dāng)x∈［T,0］,g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)Xe(O,l］,g'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

g(T)=2,g(0)=6,g⑴=4,

所以當(dāng)而［4,6)時，g(x)=m在區(qū)間［—1』只有兩解，

故實數(shù)機的取值范圍為［4,6).

18.某學(xué)校最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進行一次減壓游戲.班主

任把8個小球(只是顏色不同)放入一個袋子里，其中白色球與黃色球各3個，紅色球與綠色

球各1個.現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進行摸球得分比賽，摸到白球每個記1分，黃球每個記2分，

紅球每個記3分，綠球每個記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分為獲勝，否則為負.并規(guī)定

如下：

①一個人摸球，另一人不摸球；

②摸球的人摸出的球后不放回：

③摸球的人先從袋子中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個球；若摸出的

不是綠色球，則再從袋子里摸出3個球，摸球人的得分為兩次摸出的球的記分之和.

(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；

(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了紅色球，求該局乙得分，的分布列和數(shù)學(xué)期望E(J);

3

【正確答案】(I)I

⑵分布列見解析，E(?)=y

【分析】(1)如果甲先摸出了綠色球，則甲還可以再摸兩次，分摸到1個紅球和摸到兩個黃

球兩種情況討論，結(jié)合古典概型及組合即可得解；

(2)如果乙第一次摸出了紅色球，則可以再從袋中摸出3個球，寫出隨機變量J的所有可

能取值，分別求出求概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式即可求出期望；

【詳解】(1)記“甲第一次摸出了綠色球，甲獲勝”為事件A,

則P(A)=翼產(chǎn)

(2)如果乙第一次摸出紅球，則可以再從袋子里摸出3個小球,

則得分情況有：6分，7分，8分，9分，10分，11分,

C3I

尸("6)=,總，%=7"罟總

尸《=8)=詈=4，尸偌=9)=箋6q,

*⑼=管總，黨=")=等嗑

所以4的分布列為:

P67891011

199493

ξ

353535353535

1

所以4的數(shù)學(xué)期望E⑷=6x行1+79x行+8x95+9x行4+IOx升Q+Ilx天=〒60

19.已知數(shù)列｛《,｝滿足q=l,α,,+∣=2α,,+l("eN")

⑴求證：數(shù)列｛%+l｝是等比數(shù)列;

(2)設(shè)bn=n,求｛《白｝的前〃項和7；

【正確答案】(1)證明見解析；

(2)北二2""(〃_1)+2_”(；+1)

【分析】(1)根據(jù)題干條件構(gòu)造出，輻+1=2(%+1乂女川)，結(jié)合等比數(shù)列定義證明結(jié)論;

(2)先求出｛“也J的通項，利用分組求和法和錯位相減法求出結(jié)果.

【詳解】(1)因為4,M=2%+l("eN*),

所以αe+l=2(%+D(〃eN*),又q+l=2,

所以31=2("eN?),

4+1

，數(shù)歹∣J｛%+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知，α,+l=2?2"τ=2",.??4=2"-l,

,1

'：bn=n,Λαπ??=n(2-l),

at,

:?Tn=岫+22+皿+…她

=1(2'-1)+2(22-1)+3(23-1)+-?H(2,1-1)

=(l?2'+2?22+3?23+???n?2,,)-(l+2+3+???+H)

令S“=l?2∣+2?22+3"+…小2"

25=l?22+2?23+3?24+???n?2n+'

兩式相減-5,,=1?2'+22+23+-2"-"?2"∣,

?_0"+1

所以-S,,=三盤一一n?2"+'

所以S“=2向（〃-1）+2,

又1+2+…+"=^——'―,

2

??.7>2*T+2-^^

20.已知橢圓C:，+g=l（a>6>0）的離心率為桶圓的上頂點為他,道），過點尸（4,0）

且不垂直于X軸直線/與橢圓C相交于A、8兩點.

⑴求橢圓C的方程；

（2）求OAOB的取值范圍；

（3）若點B關(guān)于X軸的對稱點為點E,證明：直線AE與X軸相交于定點.

【正確答案】（1）E+f=1

43

（3）證明見解析

【分析】（I）根據(jù)離心率為可得/=［從，由橢圓的上頂點為（0,6）可得分的值，從而

可得橢圓的方程：

（2）由題意知直線A8的斜率存在，設(shè)直線A8的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及向

量的數(shù)量積公式，即可確定0403的取值范圍.

（3）由8、E兩點關(guān)于X軸對稱，可得E（±,-%）,即可得到直線AE的方程，再令y=0,

求出x=l,即可得解.

【詳解】（1）由題意知e=￡=:，.?.e2=G=L^=2,即/=g∕72

a2a1a243

又橢圓的上頂點為（0,6）

.*.h=y∣39/.a2=49b2=3

、2

故橢圓的方程為三+二=1.

43

(2)由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線A8的方程為>=k(x-4).

將直線方程y=Z(x-4)代入橢圓方程可得：(3+4k2)x2-32k2x+64k2-l2=0

解得y

由A>O得：1024F-4(3+4X)(64?2-12)>0,

32k264?2-12

設(shè)A(Xl,χ),B(x,y),貝IJXl+%=

223+4/2'XBL3+叱

226

=(^∣-4Zr)(?-4?)=?[XIX-4(X,+X,)+16]=??黑二；_-,+?^=

24?

64?2-1236k2“87

OA-OB=xx+yy=------------3-1------;------=23-------------

12i23+4及24&2+34&2+3

0≤Y，所以。≤*L3"X+3<4,/忌?

「ur、i8787re、IACU8713

所以二^<k±'29,所以-4≤25-折

44k+34K+34

.?.OAOBe-吟)

，OA?OB的取值范圍是-4,?]

(3)VB,E兩點關(guān)于X軸對稱，，EQ?,-%)，k≠0

因為乂+丫2=處-4A+∕?-4Z=欠(x∣+%)-8Z=L?3：%-8A=3：：%，y∣y=點：3

2

直線AE的方程為：y-y=2LK(X-XJ

XI-X2

令y=0得

y∣/%八2236?2-24k