天津市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)第三次學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試卷

天津市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三次學(xué)情調(diào)查

數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.sin24O0=（）.

A.BB.-且

22

2.“￡[0,今]”是“1311々>0''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)/（x）=2'+3x-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

05

4.有三個(gè)數(shù)：a=2,/?=sinl,c=log23,大小順序正確的是（

A.c>a>bB.a>c>b

C.a>b>cD.b>a>c

5.

sin(6Z-371)+cos(71-(7

6.若tan(77i+a)=〃,的值為（

、sin(-?)-cos(7i+tz)

a—1a+1

A.-----B.C.-1D.1

〃+1a—1

7.已知函數(shù)/（x）=Asin（0x+o“A>O,0>O,O<e<|J的部分圖象如圖所示，則函數(shù)

的解析式為（）

A./(x)=V2sin^x+^

B.

C./(x)=V2sinf+~

D.f(^)=2sin

8.已知aG^0,—cos[a+']1則sin]￥-2〃的值為()

I8J3

.一迪逑]

AB.空C,472

993~9~

sinZTCX,Nv0

9.設(shè)aeR,函數(shù)/（無）=若/（x）在區(qū)間（-a,+"）內(nèi)恰有5個(gè)零點(diǎn),

x2-4x+7-4tz,x>0

則。的取值范圍是（）

7c5117

A.VPTB.

44

37511。2,5|

C.D.

2?425Z2

二、填空題

10.函數(shù)〃尤）=J，-x-2的定義域是

11.已知扇形的面積為4,半徑為2,則扇形的圓心角為弧度.

12.已知tan[a+：）=-3（兀＜a＜，貝（Jsintz-cosdz=.

13.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+°）（0＜〈＜g）的圖象關(guān)于直線尤對(duì)稱，則當(dāng)xe[0與時(shí),

函數(shù)“X）的值域?yàn)?

14.將函數(shù)"x）=cos（x+e）（閘＜曰的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍（縱坐

7T

標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

6

（P=—.

15.設(shè)函數(shù)/（x）=2sin（0x+°）（?＞0,。＜夕＜兀），/（0）=/（；兀）=-/（；）,且/（x）

在GTT，947r）上單調(diào)遞減，則。的值為____.

69

三、解答題

16.已知。，夕均為銳角，且cos（a+0=T，sin?=^

33

(1)求sin2a的值;

(2)求sin(p-o)的值.

試卷第2頁，共4頁

17.已知函數(shù)/(x)=2Gsinx-cosx+2cos%.

⑴求函數(shù)的最小正周期；

⑵求函數(shù)的單調(diào)遞隼區(qū)間；

TT5冗

(3)求函數(shù)/(》)在區(qū)間-工,冒上的最小值和最大值及取得最大值和最小值時(shí)的x的

012_

值.

18.已知函數(shù)(x>0)滿足：f(x+2)=2f(x)+a,/(1)=2,且當(dāng)xe(2,4］時(shí),

y(^)=2x2-6x+6.

⑴求a的值；

⑵求“X)22的解集;

(4、7171

(3)1^g(^)=log2+—~~-,h(x)=2cosx+mcos2x(xe),若

2\3-1722

/[/z(x)]>g[/z(x)],求實(shí)數(shù)根的值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】由誘導(dǎo)公式即可得.

【詳解】sin240°=sin(60°+180°)=-sin60°=—孝.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)題意分別判斷充分性和必要性即可.

【詳解】充分性：若貝ijtan。,。成立，故充分性成立；

必要性：若tana〉。，則+優(yōu)eZ),不一定為ae'g],故必要性不成立.

所以“ae(0，T”是“tan戊>0”的充分不必要條件.

故選：A

3.A

【分析】分析給定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷即得.

【詳解】函數(shù)/(x)=2'+3x-4在R上單調(diào)遞增，而/(0)=-3<0,八1)=1>。，

所以函數(shù)/(x)=2，+3x-4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1).

故選：A

4.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“媒介數(shù)”比較

大小作答.

【詳解】“=2。5=2!=應(yīng)，；」<"'|

b=sinl<1

33

c=log23>log2V8=log22^=—,

所以

故選：A

5.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】依題意y=ln(cosx),xe,

答案第1頁，共8頁

y=cosx為偶函數(shù)，則y=ln(cosx)為偶函數(shù),

又0<cosx<l,貝I]y=ln(cos無)<0.

故選A.

6.B

【分析】由誘導(dǎo)公式以及商數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可.

【詳解】由題意得1211（7兀+。）=1￡1111=4,

sin(a-3it)+cos(71-a)-sina-cosatan(z+la+l

sin(-tz)-cos(兀+a)-sine+cosatana-1a-1

故選：B.

7.D

【分析】分析圖象，由周期性可得。，由最大值點(diǎn)可得夕，由與y軸交點(diǎn)可得A.

【詳解】T==故7=兀，則悶=§=2,又0>0,故0=2,

412641

KA%?「兀1i71?！?

fI-1=Asinlj+^z?1=1,i^-+(p=-+2kR,kqZ,

角星得0=：+2E,kQZ,又0<①<三,故。=：,

626

rr1

則f(O)=Asin—=—A=l,故A=2,

62

即/("=2sin12x+胃.

故選：D.

8.D

【分析】由題意和同角三角函數(shù)的關(guān)系以及正弦的二倍角公式可得平

sg+A結(jié)合

sin尋-2a）=sin（2a+；）計(jì)算即可求解.

【詳解】由0＜。＜.得？＜a+5〈名,

2ooo

又cos(a+?)=；,所以sin(a+[)=Jl-cos2(a+?)=

o38y88

所以sin(2a+：)=sin[2(a+1)]=2sin(a+1)cos(a+^)=2x~~~=-^―

所以sin(——2a)=sin[7r—(――2a)]-sin(2a+—)=《應(yīng).

4449

故選：D

9.D

答案第2頁，共8頁

【分析】解法一：利用排除法，分別令9和。=1?3求解函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行判斷，

解法二：分類討論，分/'（X）在區(qū)間（-〃,。）有5個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+e）沒有零點(diǎn)，在區(qū)

間（-。,0）有4個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+e）有1個(gè)零點(diǎn)和/⑺在區(qū)間（-。,0）有3個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間

［0,+力）有2個(gè)零點(diǎn)三種情況求解即可

【詳解】法一（排除法）：令”:，則/（》）=2_4_9當(dāng)X<0時(shí)，“X）在區(qū)間

qIJi尤乙,XWU

有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x20時(shí)，/（0）=-2<0,A=24>0,在區(qū)間［0,+⑹有1個(gè)零

點(diǎn)，綜上所述，〃尤）在區(qū)間（-。,+8）內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，符合題意，排除A、C.

sin2兀x,x<0

令。=E，則/（尤）=,當(dāng)x<0時(shí)，在區(qū)間卜可,。1有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)

O

時(shí)，/（o）=|>o,A=14>0,“X）在區(qū)間［0,+力）有2個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，“X）在區(qū)間

（-4,+8）內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，符合題意，排除B,故選D.

法二（分類討論）：①當(dāng)/（x）在區(qū)間（-。,0）有5個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+8）沒有零點(diǎn)時(shí)，滿足

②當(dāng)/（X）在區(qū)間有4個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+8）有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，滿足/（0）<0,解

5-

——<-a<—2

I2

得2<w；

③當(dāng)/⑺在區(qū)間0）有3個(gè)零點(diǎn)且在區(qū)間［0,+。）有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，滿足/（0）>0,解

c3

-2<-a<——

I2

,37

得彳<〃，

24

綜上所述，a的取值范圍是［I,u［2,|,

故選：D.

答案第3頁，共8頁

10.{小22或尤〈一1}.

【分析】利用二次根式的意義計(jì)算即可.

【詳解】若使函數(shù)“到=正2-尸2有意義,貝吐_彳_220,解得,2或xV-L,

故函數(shù)/(%)=VX2-%-2的定義域?yàn)閧小22或XV-1}.

故答案為：[x\x>2^x<-l}.

11.2

【分析】根據(jù)扇形的面積公式求解即可.

【詳解】設(shè)扇形的圓心角為a,

由題意得，，ax22=4,解得a=2,

2

所以扇形的圓心角為2弧度.

故答案為：2.

12.一好

5

【分析】利用兩角和的正切公式求出正切值，然后利用同角關(guān)系求出正切和余弦值.

[詳解】因?yàn)閠an[(z+：[=_3[7r<a<，)，

兀

tancr+tan—,,,

所以：卜4tana+1

tan[a+=-3,所以tana=2；

sina八

tan。=----=2,所以cos?a=g,

由<cosa

sin26r+cos2a=1

.2A/5

sina=--------

3死

又因?yàn)閚<a<三，所以，5

卮

cosa=------

5

2A/5(45^45

所以sin。一cosa=

55J5

故答案為：*

13.[1,1]

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得〃x)=sin(2x+方,再由xe[0，W，結(jié)合求

63

答案第4頁，共8頁

得函數(shù)“X）的值域.

【詳解】因?yàn)椤▁）=sin（2x+°）的圖象關(guān)于直線尤對(duì)稱，

6

所以2乂q+0=乙+也,（左￡2）,可得0=工+也,（左eZ）,

626

又因?yàn)?＜°＜弓,所以of，即/（%）=sin（2x+g）,

266

當(dāng)xe[O,勺時(shí),2舊屋芻,所以〃x）屋,1].

36662

14.-

6

【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換關(guān)系求出函數(shù)解析式，然后將原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得出關(guān)于。的

表達(dá)式，結(jié)合條件冏可得出。的值.

【詳解】將函數(shù)"X）=cos（x+夕）]同＜3的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍（縱坐

標(biāo)不變），得到y(tǒng)=cos（2x+e）,

再把得到的圖象向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度，得到＞=cos2[無+']+0=cos12尤+尹9],

所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，...￡+°=W+0化wZ）,貝=9+覬化eZ）,

326

網(wǎng),二當(dāng)左=。時(shí),0=￡.

26

JT

故答案為".

0

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)的解析式,

以及利用函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等

題.

15.3

【分析】利用對(duì)稱性得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，計(jì)算。的可能值，再利用半

周期的長(zhǎng)短，得。的值.

【詳解】因?yàn)椤?）=/（1）,所以直線x=2為函數(shù)/（力=2初（以+0）圖象的一條對(duì)稱軸，

又因?yàn)椤▅無）=-嗎），所以備,0）為函數(shù)〃"=2仙（8+協(xié)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，

設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,則!?-￡=（。+寺）7，%eN,又因?yàn)椤＃?,T=—,

18942co

所以。=3（1+2左），ZeN,

答案第5頁，共8頁

因?yàn)?(x)在G，萼)上單調(diào)遞減，所以萼-工得

6996。5

所以左=0,。=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：/(力在(J,寺)上單調(diào)遞減，則區(qū)間苗,毛)的長(zhǎng)度小于等于半周期的

長(zhǎng)度.

庫(kù)小、472”、100

16.(1)---；(2)----------.

927

【分析】(1)先由sina=述求出cosa的值，再利用正弦的二倍角公式求解即可，

3

(2)由cos(a+/5)=-g求出sin(a+￡),利用余弦的二倍角公式求出cos2a,而

/3-a=(a+/3)-2a,所以sin(尸一a)=sin[(e+4)一22],然后利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)

計(jì)算即可

【詳解】解：(1)因?yàn)閟inc=￡l,且a為銳角，所以cosa=Jl-sin2a=2,

33

訴”.2A/214A/2

加以sin2a=2sinacosa=2x------x—=------.

339

(2)因?yàn)?。，夕均為銳角，所以a+6￡(0,兀)，又cos(a+0=—；,

所以sin(a+y5)=~~~

由(知

1)sina=2后,cosa=—,所以cos2。=cos?a-sin2i=------=——,

3

所以sin(尸一a)=sin(a+/-2a)=sin(a+/?)cos2a-cos(a+/?)sin2a

17.⑴兀

71,71T~|

(2)+kn,—+kit,keZ

3o

(3)x=-J時(shí)，/(x)有最小值1，尤時(shí)，/(x)有最大值3

OO

【分析】(1)將/'(X)化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)后即可得;

(2)借助正弦型函數(shù)單調(diào)性求法即可得；

(3)結(jié)合定義域及正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)即可得.

答案第6頁，共8頁

[詳解](1)/(%)=zGsiax-cosx+2cos2x二百sin2x+cos2x+1=2sin12]+巳J+1,

故T二年=兀；

(2)由/(%)=25由(2%+已1+1,^-^+2fai<2x+^<^+2H,keZ,

7171

貝！]---Fku?兀<—Fkit,左￡Z,

36

7171

故函數(shù)〃元)的單調(diào)遞增區(qū)間為-§+聞7+加，ZeZ；

,、、1.兀5兀1c兀兀

(3)當(dāng)XW—T-時(shí)，2X+：￡一二，兀，

612J66

則sin(2x+je-1,1,即〃x)e[0,3],

TT57r

即〃x)在區(qū)間-了區(qū)上的最小值和最大值分別為1、3,

當(dāng)2尤+F=一自，即尤=一3時(shí)，/'(X)有最小值1，

666

當(dāng)2X+E=],即x=￡時(shí)，〃x)有最大值3.

18.(l)a=2

⑵[1，+8)

⑶-L

【分析】⑴根據(jù)題意可得〃3)=2/(1)+。=4+4,再由"3)=6即可求解.

(2)設(shè)xe(0,2],則x+2e(2,4],代入即可得出/(x)=f+彳，再由分段函數(shù)單調(diào)性判斷

方法即可求解.

(3)利用(2)的結(jié)論得/z(x)21,設(shè)cosx=te[0,l],只需不等式2加產(chǎn)+2一(m+1)2。在

徐[。,1]上恒成立，討論