2022-2023學(xué)年福建省廈門市高一年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省廈門市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)2=Jv，則復(fù)數(shù)Z共輒復(fù)數(shù)的虛部為（）

1+1

1I

A.—1B.1C.-D.~

22

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用共粒復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.

11-i11.-11

【詳解】上二百;而正1r廠”則Z7+>

故復(fù)數(shù)z共舸復(fù)數(shù)的虛部為g.

故選：D.

2.高一、1班有學(xué)生54人，高一、2班有學(xué)生42人，用分層抽樣的方法從這兩個班中抽出一部分人

組成4x4方隊，進行會操比賽，則高一、1班和高一、2班分別被抽取的人數(shù)是（）

A.9、7B.15、1C.8.8D.12、4

【答案】A

【分析】利用分層抽樣的定義求解即可

【詳解】由題意得高一、1班被抽取的人數(shù)為廣54三x16=9人，

54+42

42

高一、2班被抽取的人數(shù)三「工'16=7人，

故選：A

3.甲、乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對的概率為0.8,乙做對的概率為0.9,下列說法錯誤的是

（）

A.兩人都做對的概率是0.72B.恰好有一人做對的概率是0.26

C.兩人都做錯的概率是0.15D.至少有一人做對的概率是0.98

【答案】C

【分析】甲乙兩人做題屬于相互獨立事件，根據(jù)獨立事件的乘法公式求得兩人都做對的概率和兩人

都做錯的概率，判斷A,C;根據(jù)互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做對的概率，判斷B；至少

有一人做對的概率等于1減去兩人都做錯的概率，判斷D.

【詳解】由于甲做對的概率為0.8,乙做對的概率為0.9,

故兩人都做對的概率是0.8x0.9=0.72,所以A正確；

恰好有一人做對的概率是0.8X(1-0.9)+(1-0.8)X0.9=0.26,故B正確；

兩人都做錯的概率是(l-0.8)x(l-09)=0.02,故C錯誤；

至少有一人做對的概率是1-(1-O8)x(1-0.9)=0.98,故D正確,

故選：C

4.已知向量1=(-1,2),3=(2,m)，若a,則力=()

C11

A.—1B.1C.—D.一

44

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算法則計算即可；

【詳解】因為)/3,所以-lx2+2m=0,〃?=l,

故選：B.

5.紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多，經(jīng)典

的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺，如圖給出了一個石瓢

壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm),那么該壺的最大盛水量為()

C.20Vw^cm3D.204^cm3

【答案】B

【分析】由題得上底面半徑為4,下底面半徑為6,圓臺高為6,代入臺體體積公式，即可得答案.

【詳解】由題意得上底面半徑為4,面積5=4x42=16)，

下底面半徑為6,面積52=萬乂6"=36"，圓臺高〃為6,

3

則圓臺的體積-=+S2+^S^y=6萬+36%+Jl6"36%卜6=152萬Cm.

故選：B

6.已知復(fù)數(shù)4，z2,則“4芻€尺”是“4=用”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】取4=l+2i,z2=2-4i舉例說明充分性不成立；再由復(fù)數(shù)的乘法運算證明必要性成立，由

此即可得出結(jié)論.

【詳解】舉反例說明充分性不成立：

取Z[=l+2i,Z2=2—4i,則?z2=(1+2i)(2-4i)=2+8=10wR,

但得不出4=^,

下面證明必要性成立:

若2=〃+&S，be火,6*0),貝1|z的共輪如實為I=，

所以z-z=(a-6i)(a+⑸=/+Zr6R成立，

所以由4與Z2互為共朝復(fù)數(shù)能得到z,-zzeR.

所以工4eH”是“4=用”的必要不充分條件.

故選：B

7.在28。中，角4氏C對邊分別為a、b、c,且%4=叵，當(dāng)〃=近，6=2時，/8C的面積

sinB3b

是()

AA/3Ry/7-3石n3A/7

2222

【答案】C

【分析】利用正弦定理求出/=?,利用余弦定理求出c=3,即可求出的面積.

【詳解】對于*=叵，用正弦定理得:cos4_百sin4

sinB3bsin53sin5

因為/w（0/）,且tan/=G,所以4=

由余弦定理J=/+/-2bccos4得:7=4+/-2x弦x；,

解得：c=3（。=一1舍去）.

所以“BC的面積是S=—hesinA=—x2x3x衛(wèi)二孑叵

2222

故選：C

8.某零件加工廠認(rèn)定工人通過試用期的方法為：隨機選取試用期中的5天，再從每天生產(chǎn)的零件中

分別隨機抽取25件，要求每天合格品均不低于22件.若甲、乙、丙三人在其5天抽檢樣本中的合

格品件數(shù)統(tǒng)計如下，甲：中位數(shù)為24,極差不超過2；乙：平均數(shù)為23,方差不超過1；丙：眾數(shù)

為23,方差不超過1,則：室能通過試用期的有()

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙

【答案】A

【分析】根據(jù)甲乙丙的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，判斷他們的合格品數(shù)是否有可能低于22,只要不低于22,則一定

能通過.

【詳解】對于甲：由甲的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，甲至少有3天的合格品數(shù)不低于24,最低合格品數(shù)不低于

2,所以甲一定能通過；

5

對于乙：設(shè)乙每天的合格品件數(shù)為q(i=l,2,3,4,5),qeZ,則小廠2》

-5~

55

即Z(q-23『W5.若乙有不止一天的合格品數(shù)低于21,Z(q—23)2>5,不合題意；

?=1：=1

若乙只有一天的合格品數(shù)低于22,不妨取q=21,?-23)2=4,因為平均數(shù)為23,則至少有一天

5

的合格品數(shù)為25或至少有兩天的合格品數(shù)為24,無論哪種情況，都可以得到Z(“，-23)2>5,不合

/=1

題意，所以乙的每一天的合格品數(shù)都不低于22,乙一定能通過；

對于丙：若丙的合格品數(shù)為21,22,23,23,23,則丙的眾數(shù)為23,方差為0.64,符合丙的統(tǒng)計數(shù)

據(jù)，但丙不能通過；

所以甲、乙一定能通過，A正確；

故選：A.

二、多選題

9.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)

村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的

扇形圖.

建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

第三產(chǎn)業(yè)收入

28%

種植收入37%尸弓其他收入

二殖收入

建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

【答案】BCD

【分析】首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟收入為。，根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)濟收入為2”，

之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應(yīng)的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相

應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項.

【詳解】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前農(nóng)村的經(jīng)濟收入為。，則新農(nóng)村建設(shè)后農(nóng)村的經(jīng)濟收入為2a,

對A,新農(nóng)村建設(shè)前的種植收入為ax60%=0.6”，新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為2ax37%=0.74a,種

植收入增加，故A錯誤；

對B,新農(nóng)村建設(shè)前的其他收入為ax4%=0.04〃，新農(nóng)村建設(shè)后的其他收入為2ax5%=0.k/,增加

了一倍以上，故B正確；

對C,新農(nóng)村建設(shè)前的養(yǎng)殖收入為ax30%=0.3a,新農(nóng)村建設(shè)后的養(yǎng)殖收入為2“x30%=0.6a,增

加了一倍，故C正確；

對D,新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為2ax（30%+28%）=1.16a,超過了經(jīng)濟收

入的一半，故D正確.

故選：BCD.

10.已知△N3C三個內(nèi)角B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且NC=］，c=2.則下列結(jié)論正確的

是（）

A.△Z8C的周長最大值為6

B.就.布的最大值為2+迪

3

C.bcosA+acosB=42

D.笆的取值范圍為0(6+8)

cosA

【答案】AB

【分析】A選項，利用余弦定理和基本不等式即可求解周長的最大值；B選項，先利用向量的數(shù)量

積計算公式和余弦定理得就?通="+4-4,再利用正弦定理和三角恒等變換得到

2

結(jié)合8的取值范圍即可求出存的最大值；C選項，結(jié)合B選項

中的正弦定理進行求解即可；D選項，用cos8=-cos(/+C)進行變換得到您O=Yltan/-L,結(jié)

cosA22

合”的取值范圍即可得到cc半sR的取值范圍.

cosJ

【詳解】對于A,由余弦定理得cosC=/+小-4=］.,解得/+〃=仍+4,

2ab2

所以(a+b)2=3a6+443x［學(xué))+4,當(dāng)且僅當(dāng)“=b=2時，等號成立，

解得。+力44,當(dāng)且僅當(dāng)Q=6=2時，等號成立,

則△48C周長/=〃+b+c<4+2=6,所以△/8C周長的最大值為6,故A正確;

2

對于B,由記荏=|同.網(wǎng)cos/=be*抵,

a_b_2_4A/Jprrr

又由正弦定理得sin力一sinB一.兀一3，貝4〃==—sin4,h=--sinB,

所以〃-a2=^-(sin2B-sin24)二號sin2B-sin2f

因為鞏吟｝所以2嗯用，

則/一/=-邁3$(28」］的最大值為至，即匕土片的最大值為2+迪,

3V6J323

所以而存的最大值為2+半故B正確;

對于C,結(jié)合B選項得

逑sinC=^8x3=2,故C錯

bcosA+acosB=~~~(sinBcos4+sin4cosB)=~~~sin(4+8)=

332

誤;

升下nrhDcos(4+：］苴sin4-」cos4,

對于D，由cos>=I22-M-tan/—L

cos4cos4cosA22

又Xe((),gJ,所以tan/e卜8,-6)。(0,+<?),

所以qtan力-gc(Y),-2)+oo),故D錯誤.

故選：AB.

【點睛】三角函數(shù)相關(guān)的取值范圍問題，常常利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)及

三角恒等變換進行求解，或者將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進行求解.

11.拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上一面的點數(shù)，用x表示紅色骰子的點數(shù)，y

表示綠色骰子的點數(shù)，定義事件：/="x+y=7"，8="孫為奇數(shù)"，C="x>3”，則下列結(jié)論錯誤的是

()

A.8與C相互獨立B.4與8對立

C./與C相互獨立D.Z與8互斥但不對立

【答案】CD

【分析】應(yīng)用表格列舉出(x+K9)的所有可能情況，根據(jù)題設(shè)描述及獨立事件、互斥、對立事件定

義判斷各項正誤即可.

【詳解】下表中行表示x,列表示V,則

(x+y,xy)123456

1(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)

2(3,2)(4,4)(5,6)(6,8)(7,10)(8,12)

3(4,3)(5,6)(6,9)(7,12)(8,15)(9,18)

4(5,4)(6,8)(7,12)(8,16)(9,20)(10,24)

5(6,5)(7,10)(8,15)(9,20)(10,25)(11,30)

6億6)(8,12)(9,18)(10,24)(11,30)(12,36)

滿足事件A有(7,6)、(7,10)、(7,12)、(7,12)、(7,10)、(7,6)共6種,

滿足事件B有(2,1)、(4,3)、(6,5)、(4,3)、(6,9)、(8,15)、(6,5)、(8,15)、(10,25)共9種,

滿足事件C有(5,4)、(6,5)、(7,6)、(6,8)、(7,10)、(8,12)、(7,12)、(8,15)、(9,18)、(8,16)、(9,20)、

(10,24)、(9,20)、(10,25)、(11,30)、(10,24)、(11,30)、(12,36),即后3列,共18種，

所以事件有。種，事件8c有3種，事件/C有3種，則B錯，D對，

所以尸(4)=，，P(B)=]尸(C)=2，P(N8)=0,P(AC)=P(BC)=^-,

64212

則P(8C)HP(8)P(C),P(AC)=P(A)P(C),A錯,C對，

故選：CD

12.在棱長為1的正方體中，點P、E、尸分別為cq、BC、CO的中點，則下列

說法正確的是()

A.4P與EF所成角為60°

B.點M到平面PE尸的距離為也

4

C.直線48與平面PEF所成角的正弦值為邁

3

D.平面PEA截正方體得到的截面圖形是梯形

【答案】CD

【分析】對于A,連接交于點。，則由正方體的性質(zhì)和三角形的中位線定理可得EF_LNP,

從而可求得4P與EF所成角，對于BC,建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，對于D,

連接8G，4O”/E,利用正方體的性質(zhì)和三角形的中位線定理可得結(jié)論

【詳解】對于A,連接交于點。，則NC18。，因為平面48CD,8。匚平面488,

所以Cq_L8。，因為《CnCC|=C,所以8。1平面NCP,因為ZPu平面ZCP,所以BDL4P,

因為E、尸分別為BC、CD的中點，所以E、尸分別為CG、BC、C。的中點，E尸〃8D,所以

EFVAP,所以/P與EF所成角為90。，所以A錯誤，

對于B,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則4(l,0,l),E(g,l,0),F(0,；,0),P(0,l,g),5(1,1,0)

所以可=(,一1,;),方=(-p-*0),而=畤3,

設(shè)平面PE尸的法向量為G=(x,y,z),則

n-EF=--x---y=0

22

..，令z=l,貝！=

n.~FP=-y+-z=^

22

PAn573

所以點4到平面PEF的距離為d=c2所以B錯誤,

vr~6~

對于C,54=(0-1,1),設(shè)直線48與平面尸跖所成角為。,

2

B4,4=所以C正確,

限閱一3

對于D,如圖，連接BG，NAME,則8G〃/A，BC\=AD\,因為點P、E分別為CG、8c的中

點，所以￡尸〃8G，EP=；BC\,所以EP〃/4，EP=^AD],所以四邊形力改口為梯形，所以

平面PE2截正方體得到的截面圖形是梯形，所以D正確

R

故選：CD

三、填空題

13.向量4=(1,2),向量B=(-1,O),則B在萬上的投影向量是.

12

【答案】(-9一不)

【分析】根據(jù)投影向量的定義寫出B在不上的投影向量.

-_A--t4_LH曰/4日、？ci-ba1x(—1)+2x0八小z12、

【詳解】b在2上的投影向量為『7?1='A?——(1,2)=

⑷⑷(45)55

12

故答案為：

14.M8C中，AB=AC=5,8C=8,則此三角形的外接圓半徑是.

【答案】§25

6

【分析】根據(jù)余弦定理，可得COS4,進而可得sin/的值，根據(jù)正弦定理，即可得答案.

【詳解】由余弦定理得cos/=d02±4B?BC。=25+25二64=」，

2ACAB2x5x525

因為/e(0,萬)，所以sinN=Vl-cos2A=—,

25

BC8

設(shè)外接圓半徑為R,由正弦定理得嬴7一五一，解得尺=?

2?6

25

故答案為：—

6

15.某單位對全體職工的某項指標(biāo)進行調(diào)查.現(xiàn)按照性別進行分層抽樣，得到男職工樣本20個，其

平均數(shù)和方差分別為7和4；女職工樣本5個，其平均數(shù)和方差分別為8和1,以此估計總體方差

為.

【答案】3.56

【分析】結(jié)合平均數(shù)和方差的公式即可求出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)男職工的指標(biāo)數(shù)分別為X/2,…，々。，女職工的指標(biāo)數(shù)分別為%,%，…，必，

則2以0它20(x,-7)-,Xy5,.S(5%-8)-

川?—=7,上-------=4'g-=8,上--------=1'

202055

202055

所以2占=140,XX：=80+20x49,=40,=5+5x64,

i=\/=1/=1i=l

205

所以本次調(diào)查的總樣本的平均數(shù)為??'+自乂140+407°，

-----——=-------=7.2

2525

本次調(diào)查的總樣本的方差是-72）+宮（乂-7.2）

25

202055

2才—14.42天+20x7.22一14.42^+5x7.22

_i=1i=li=li=1_____________________

―25

_80+20x49-20x7個+5+5x64-5x7.與

一25

=3.56

故答案為：3.56

四、雙空題

16.如圖，在直三棱柱/8C-481G中，ACIBC,AC=2,BC=5CC,=3,則該直三棱柱外

接球的表面積為；設(shè)尸為線段8c上的動點，則〃+PG的最小值為.

【答案】16萬V19

【分析】根據(jù)題意將直三棱柱/8C-N4cl補成長方體4G4A,則直三棱柱的外接球就是

長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，從而可求出直三棱柱外接球的表面積，將

△G8C繞8。展開至與平面8CC￡垂直的位置，則4C，G中共面，連接NG，則4G的長就是

ZP+PC1的最小值，然后利用余弦定理可求得結(jié)果

【詳解】因為直三棱柱/8C-48G中，AC1BC,

所以將直三棱柱/8C-4及G補成長方體/C8。-4c4A,如圖所示，

所以直三棱柱ABC-A^Q的外接球就是長方體ACBD_4C再D、外接球，

因為/C=2,8c=6，CG=3,

所以外接球的直徑為2R=44c、BC2+CC；=J4+3+9=4,

所以外接球的半徑為R=2,

所以直三棱柱外接球的表面積為4^x22=16萬，

直三棱柱中，側(cè)面與底面垂直，

因為/C人5C,平面/8C上平面8CC圈，平面平面8CC4=8C,

所以ZC_L平面8CC圈，

因為8,Cu平面8CG4，所以4C18C，

將△C￡C繞8c展開至與平面2CC同垂直的位置，則4CG，4共面，如圖所示,

連接NC，則4C的長就是4P+PG的最小值，

在ACCM中,NB?C=90。,B￡=百,Cq=3,則80="行=2石，

在△/CB,中，乙4cBi=90°,AC=2,

2

在△/(7€；中，由余弦定理得ZCJ=AC+CC^-2ACCCXcosZACC,

=4+9-2x2x3cos(9(T+43)

=13+12sinZ5,CC

=13+12X^￡L

8c

J7

=13+12x^4==19,

2V3

所以

所以ZP+PG的最小值為M，

故答案為：16萬，719

五、解答題

17.已知向量a=(i,0)M=3,1_L(”5).

(1)求B+國;

(2)求￡與￡+B的夾角的余弦值.

【答案】(1)25/J

【分析】⑴由可求出7B=1，再將數(shù)量積和模長代入即可求出答案.

(2)由向量的夾角公式代入即可求出答案.

【詳解】⑴因為￡=(1,0),所以同=1

由a得a-5)=a-ab=0

解得ci-b=]?

所以|萬+同=yl\a+h\2=y]a2+2a-b+b2=>/l2+2xl+32=2.

(2)因為a-(a+書)=a+a-b=2.

小+5)

所以cos(",a+b)=

\7\a\\a+bJ\.

2y/3

=^=T

所以Z與7+刃的夾角的余弦值且.

3

18.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽

馬”.如圖，在陽馬S-/15C73中，平面/BCD,E為S。的中點.

(2)若S/=/￡>,求證：AE1SC.

【答案】(1)證明見詳解

(2)證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明.

【詳解】(1)連接8。交ZC于點0,連接。E,

0,E分別為BD,SD的中點，則SB//0E,

SB<Z平面EAC,u平面EAC,

SBH平面EAC.

/.SAVCD,

又：/BCD為矩形，則/D_LCD,且S/,HDu平面S4>,SAoAD=A

CDJ.平面SND,

由XEu平面S4O,可得CDJ./E,

若SA=AD,且E為SL>的中點，則5D_LZ￡,

CD,SDu平面SCZ),CDcSD=D,則NE_L平面SC。,

SCu平面SC。，故/EJLSC.

19.中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會將于2022年下半年在北京召開.某學(xué)校組織全校學(xué)生進行了

一次“黨代會知識知多少？的問卷測試.已知所有學(xué)生的測試成績均位于區(qū)間［50,100］,從中隨機抽

取了40名學(xué)生的測試成績，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中。的值，并估計這40名學(xué)生測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點值代替)；

(2)利用比例分配的分層隨機抽樣方法，從成績不低于80分的學(xué)生中抽取7人組成黨代會知識宣講

團.若從這選定的7人中隨機抽取2人，求至少有1人測試成績位于區(qū)間［90,100］的概率.

【答案】(1)。=0.03；平均數(shù)為74.5,中位數(shù)為75.

⑵。

'’21

【分析】(1)通過頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和等于1求出。，進而可求得平均數(shù)及中

位數(shù)；

(2)列出7人中隨機抽取2人的21種情況，確定至少有1人測試成績位于區(qū)間［90,100］有11種，

即可得解.

【詳解】(1)解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1,

所以10x(0.015+0.02+0+0.025+0.01)=1,解得a=0.03.

所以樣本中40名學(xué)生的測試成績的平均數(shù)￡=55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.5.

設(shè)這40名學(xué)生的測試成績的中位數(shù)為x,由于前2組頻率之和為0.35,

前3組頻率之和為0.65,故中位數(shù)落在第3組，

于是有(X-70)X0.03+0.35=0.5,解得，=75.

即這40名學(xué)生的測試成績的中位數(shù)為75.

(2)由分層隨機抽樣可知，在區(qū)間［80,90］應(yīng)抽取5人，記為“，h,c,d,e,在區(qū)間［90,100］應(yīng)抽

取2人，記為X,B,

從中任取2人的所有可能結(jié)果為：

(a,d),(a,e),(a,A),(a,B),

(b,c),(b,d),(b,e),(b,/),(c,d),

(c,e),(c,A),(c,B),(d,e),(d,A),(d,B),

(e,/),(e,B),(4B),共21種.

其中至少有一人測試成績位于區(qū)間［90,100］內(nèi)有：

(a,/),(a,S),(b,A),(c,/),

(",/),(d,B),(e,A),共11種.

所以，至少有一人的測試成績位于區(qū)間［90,100］內(nèi)的概率為*.

20.如圖，四棱錐尸-Z5CD中，四邊形Z8CD為梯形，其中

ABHDC,AB=2BC=2CD=4,ZBCD=60°,平面P8D_L平面Z8CD.

(1)證明：PBLAD-,

Q)若PB=PD,且尸4與平面"CO所成角的正弦值為XU,求四棱錐P-/8CO的體積.

【答案】(1)證明見解析:

(2)373.

【分析】(1)在梯形中結(jié)合余弦定理證明/。工8。，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理

作答.

(2)取8。中點0,利用線面角求出四棱錐的高產(chǎn)O,再計算體積作答.

【詳解】(1)因8C=C￡>=2,/8CO=60'，則△88為等邊三角形，即=

又ABUDC,有//8。=60。，在中，

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=42+22-2x4x2x-=12,

2

^^AD2+BD2=AB2.即4928。，而平面尸8。_L平面/8C。，平面尸8?？谄矫?8。。=8。，

4Du平面48c。，

因此平面尸80,又尸8u平面尸8。，

所以P8J.N。.

(2)取8。中點。，連尸0,如圖，PB=PD,則P0_L8。，

P

平面？5O_L平面N8CZ),平面尸8。fl平面480=8。，尸。u平面P8O,則P0工平面N8C。，

連接/0,則Z0為處在平面/8C。內(nèi)的射影，即NR/O為RI與平面/8C。所成角，

有sinN尸月。=豆紅，則tanNP40=豆叵，而40=+一。。=屈，于是得PO=3,

2213

梯形/8CZ)的面積為5=5"0+588=，403。為BC=-生卜口皿口2=373,

nAoLtAoct>242、4

所以四棱錐P-/8CD的體積％^

21.甲、乙、丙、丁四名選手進行羽毛球單打比賽.比賽采用單循環(huán)賽制，即任意兩位參賽選手之

間均進行一場比賽.每場比賽實行三局兩勝制，即最先獲取兩局的選手獲得勝利，本場比賽隨即結(jié)

束.假定每場比賽、每局比賽結(jié)果互不影響.

(1)若甲、乙比賽時，甲每局獲勝的概率為:，求甲獲得本場比賽勝利的概率；

I23

(2)若甲與乙、丙、丁每場比賽獲勝的概率分別為:，彳，;，試確定甲第二場比賽的對手，使得甲

在三場比賽中恰好連勝兩場的概率最大.

【答案】⑴合

(2)1

【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局獲勝求解;

（2）分甲在第二場甲勝乙，甲勝丙，甲勝丁求解.

【詳解】（1）解：設(shè)甲在第i局獲勝為事件4