考研數(shù)學(xué)模擬試卷(附答案)

考研數(shù)學(xué)模擬試卷(數(shù)學(xué)二)(附答案，詳解)

一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求，把所選項的字母填在題后的括號內(nèi))

1.設(shè)/(%)在(-8,+8)內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是().

(A)sinfr(x)(B)sint-(C)f(sint)dt(D)[sint+

l+ex八

2.設(shè)/(x)==’則x=0是了⑴的().

l-ex

1,x=0,

(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)第二類間斷點(D)連續(xù)點

3.若函數(shù)/(x)與g(x)在(-00,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且/(x)<g(x),則必有().

(A)/(-%)>.?(-%)(B)f'(x)<g'(x)

(C)limf(x)<lim^(x)(D)f<fg(t)dt

X—>XQ%JOJO

4.設(shè)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點，則「/⑺勿是().

J0

(A)連續(xù)的奇函數(shù)(B)連續(xù)的偶函數(shù)

(C)在x=0間斷的奇函數(shù)(D)在x=0間斷的偶函數(shù).

5.函數(shù)/(%)=(九2一九一2),不可導(dǎo)點有().

(A)3個(B)2個(C)1個(D)0個.

6.若/(—x)=/(x),(-8<x<+8),在(—oo,0)內(nèi)/'(x)>0,/"(%)<0,則/(X)在

(0,+oo)內(nèi)有().

(A)f\x)>0,/"(x)<0(B)f\x)>Q,/"(x)>0

(C)f'(X)<0,/"(x)<0(D)f\x)<Q,/"(x)>0

7.設(shè)A為4階實對稱矩陣，且片+4=。.若A的秩為3,則A相似于().

PAPPr-i)

11-1-i

(A)(B)(C)(D)

1-1-1-i

10；10；10;

8.設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為名,％,%，令

P=(3%,4,2%)，則/1AP=().

(900、00、<100、<100、

010(B)010(C)020(D)040

04/02)03)0

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上)

9.設(shè)〃尤)二階可導(dǎo)，/(0)=0,/'(0)=1,/"(0)=2,則lim/(T工=.

10.微分方程y+(e-'-l)y=1的通解為.

11.曲線y=x+4smx的水平漸近線為.

5x-2cosx

12.設(shè)/(%)是連續(xù)函數(shù)，且/(%)=%+2⑺力，則/(%)=________.

J0

13.若lims’11'(cosx—b)=5,貝！J〃=___,b=_____.

%一°ex—a

14.設(shè)A為〃階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ax=0的通解為.

三、解答題(本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

1

f[t2(ef

15.(本題滿分10分)求極限limJ---------——.

%.+821711、

xln(lH—)

x

t_

16.(本題滿分10分)設(shè)/(%)在(一8,+8)上連續(xù)，且1/(x-1)endt=cosx/(%).

J0

1+Xx~

17.(本題滿分10分)設(shè)—1<X<1,證明：xln--+cosx>l+—.

1-x2

18.(本題滿分10分)求微分方程y"-3，+2y=2xe工的通解.

19.(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域￡)={(x,y)九2+Vwi,x20},計算二重積分

“Ui

20.（本題滿分11分）

設(shè)/'（無）=￡當(dāng)必，計算[f（x）dx.

21.（本題滿分11分）

求由曲線y=2x和直線y=0,x=l,尤=3所圍成平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)

體體積.

22.（本題滿分11分）

%]+%+&+%4=-1

已知非齊次線性方程組在玉+3X2+5/-%=T有3個線性無關(guān)的解.

axx+%+3%3+如=1

（1）證明：方程組系數(shù)矩陣4的秩火（A）=2；

（2）求a*的值以及方程組的通解.

23.（本題滿分11分）

1'-11

設(shè)A為三階實對稱矩陣，A的秩為2,即尺（A）=2,且A0000

,-11,11

77

（I）求A的特征值與特征向量;

（II）求矩陣A.

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)階段測試答案解析(數(shù)學(xué)二)

一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求，把所選項的字母填在題后的括號內(nèi))

1.設(shè)/(%)在(-8,+8)內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是().

(A)sinfr(x)(B)sint-(C)f(sint)dt(D)[sint+

解析：選擇(B).sin%與/⑺都為奇函數(shù)，則sin，?/?)為偶函數(shù)，由積分的性質(zhì)可得

「sin/?/(。力為奇函數(shù).舉例/(%)=%可得(A)sin/'(x)=sinl為偶函數(shù)，(C)

J。/(sin/)d/=J。sin碗=l—cosx為偶函數(shù)，(D)

f[sin/+/⑺]力=「(sin，+%)d%=Lx2—cosx+l為偶函數(shù).故(A)(C)(D)錯誤.

*oJo2

l+ex八

Y=40

2.設(shè)/(x)==‘貝Ux=0是/(功的().

l-ex

1,x=0,

(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)第二類間斷點(D)連續(xù)點

1+e81-I-己%

解析：選擇(B).lim——-=-l,lim——=L因此無=O是/(x)的跳躍間斷點.

%-o+-%-()--^

l-ex]—e%

3.若函數(shù)/(%)與8(1)在(一8,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且/(%)<g(%),則必有().

(A)/(-x)>g(-x)(B)f(x)<g'(x)

(C)limf(x)<limg(x)(D)ff(t)dt<fg(t)dt

X—>XQX—>XQJ0J0

解析：選擇(C).函數(shù)，(x)與g(x)在(-00,+0。)內(nèi)可導(dǎo),則函數(shù)/(尤)與g(x)在(-00,+8)

內(nèi)連續(xù)，因此lim/(%)=/(x)，limg(x)=g(Xo),而/(%)<g(x),故

X—>溝0％—>兩

lim/(x)<limg(x).

X—Xf%

4.設(shè)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=o是其第一類間斷點，則「/⑺族是().

J0

(A)連續(xù)的奇函數(shù)(B)連續(xù)的偶函數(shù)

(C)在x=0間斷的奇函數(shù)(D)在無=0間斷的偶函數(shù)

解析：選擇(B)./(x)只有有限個第一類間斷點，因此/(X)可積，由變上限積分函數(shù)的

性質(zhì)可知，若/(x)可積，則⑺故連續(xù)./(x)是奇函數(shù)可得工/⑺4是偶函數(shù).因此

「/⑺水是連續(xù)的偶函數(shù).

J0

5.函數(shù)/(%)=(%2一工-2)13—4不可導(dǎo)點有().

(A)3個(B)2個(C)l個(D)0個.

解析：選擇(B).由按照定義求導(dǎo)法則可知，N在x=0不可導(dǎo)，x國在x=0一階可導(dǎo).

因此，/(乃=(尤2—%—2),3—耳的不可導(dǎo)點，關(guān)鍵在于因子分解并考察卜3一,=0的點，

/(X)=(x-2)(x+l)|x(x—l)(x+l)卜于是可知，/(X)在無=0,1處不可導(dǎo)，而在x=—1處

是可導(dǎo)的.故/(%)不可導(dǎo)點的個數(shù)是2.故選(B).

6.若/(-%)=/(%)(-oo<x<-K>o),在(-oo,0)內(nèi)/'(%)>0,/"(%)<0,則了(尤)在

(0,+oo)內(nèi)有().

(A)f\x)>0,f"(x)<Q(B)f\x)>0,f"(x)>Q

(C)f\x)<0,f"(x)<Q(D)f\x)<Q,f"(x)>Q

解析：選擇(C).由/(-x)=/(x)得/(x)在上為偶函數(shù)，則尸(x)為奇函

數(shù)，尸'(X)為偶函數(shù).根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)可得(C)正確.

7.設(shè)A為4階實對稱矩陣，且片+4=。.若A的秩為3,則A相似于().

(1)

11-1-1

(A),(B)(C)(D)

-1-1-1

解析：選擇(D).由T+A=?？傻镁仃嘇的特征值;I滿足彳2+彳=0,從而彳=0或

力=-1.由A為4階實對稱矩陣，得A可以相似對角化，A的秩為3得A有三個非零特征

值，即A的特征值為—1,—

8.設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為名,%,%，令

P=(3tz3,a1,2a.,),則尸tAP=().

，900、(300、n00、n00、

010(B)010(C)020(D)040

04;02)N03)09>

解析：選擇(B).由題意可得AP=43。3，%,2%)=(3473，人%,271%)=(9%,4,4%)

(3、(3、(3

二(3%,%,2%)1=p1.于是尸一1人尸=1

<2)<2)<2

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上)

9.設(shè)/(尤)二階可導(dǎo)，/(0)=0,/'(0)=1,/"(0)=2,則lim"?-.

7￡

解析：應(yīng)填1.x=1面,(x)T=Uim,⑴—/⑼=-/"(0)=1.

…xa。2x2一。x2

解析：應(yīng)填丁=/+.此方程為一階線性非齊次微分方程.于是得

y=e"J+C)=eA+e'(fe-e^dx+C)=(-J""+C)

=e"，(”「+C)=ex+Ge"'.

H.曲線y=x+4smx的水平漸近線為______.

5x-2cosx

切，lr-j■士1rx+4sinx1%+4sinx,,.-^什、廣心生1

解析：應(yīng)填y=-.hm----------=-,故曲線y=----------的水平漸近線為丁二一.

55x-2cosx55%一2cos九5

12.設(shè)/(%)是連續(xù)函數(shù)，且/(%)=%+21/⑺力，則/(%)=__________.

Jo

解析：應(yīng)填x—1.設(shè)A=1/(x)dx.在/(x)=x+21/⑺分兩邊積分得

-------J0*0

flfl11pl

A=￡xdx+2A￡dx,即A=/+2A,得A=-,.于是/(x)=%+=x-1.

13.若lim'in”(cosx—Z?)=5,貝___，b-_____.

x

%-oe—a

sinx(cosx-/?)

解析：應(yīng)填1,4lim=5,分子趨于零得分母也趨于零，于是可知a=1.

X-oex-a

limSinA(\°SA=lim(cosx-b)=l-b=5,得6=7.

14.設(shè)A為〃階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ac=0的通解為.

解析：應(yīng)填％(1,1,,1尸.由A的伴隨矩陣4*的元素全為1得，4*的秩為1,可得A的秩為

〃—1,于是Ax=0的基礎(chǔ)解系中只有一個向量.由A的秩為〃—1可得，網(wǎng)=0,于是

A4*=|A|E=0.可得A*的每一列即為方程組Ac=0的解，因此方程組Ac=0有非零解

(1,1,,爐，故Ac=0的通解為4(1,1,。

三、解答題(本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

1

f[t2(ef-V)-t]dt

15.(本題滿分10分)求極限lim由----------——.

%—+821711、

xln(l+~)

x

ii

2

f[t^-V)-t]dtf1

解：原式=lim---------------=lim----------------=limx2(ex-l)-x.

x—>4-0021x—>+coJQX—>4-00

x.

X

u

人1EIIi-(e"—1)—M「e—1[.u1

令x貝!J原H式=hm^---------=lim-----=lim—.

u"-0+uM->0+2u“f0+2u2

16.(本題滿分10分)設(shè)/。)在(一8,+8)上連續(xù)，且1/(xT)e〃力=cosx.求/(%).

J0

t?x-uxu

;％—廣u——/,x—

解：設(shè)〃=x—則J。由=-J/(沅)e〃向=e1o/Q)e〃曲.于是

XXX

X1

￡/(w)endu-encosx.等式兩邊對x求導(dǎo)可得，/(x)e■n=——encosx-ensinx.

n

即為

/(x)=——cosx-sin%.

n

]+XX

17.(本題滿分10分)設(shè)—1<X<1,證明：xln--+cosx>l+—.

1-x2

1+xx2

證明：設(shè)/(%)=%ln-----+cosx-1------，-1<X<1./(-%)=/(%),即/(%)在

1-x2

1+xx

—1<%<1上為偶函數(shù)，因此只需要證明在OKxvl時，xln——+cosx>l+—.

1—x2

2

\+X2x.11+X1+%.

尸(x)=ln+2-smx-x=In-----+x--------sinx.

1-X1-X1-x1-x27

1+V1-LY21+r2

當(dāng)0<無<1時，In-->0,—三〉1,因此有x?—\—sinx〉0,得尸(無)>0.

1-x1-x21-x2

得當(dāng)0(尤<1時，/(x)單調(diào)遞增.

1+YY2

因此當(dāng)0<xv1時，f(x)=xln-------FCOSX-1----->/(0)=0,即

1-x2

,1+X-X2

xln------+cosx>1+—.

1-x2

18.(本題滿分10分)求微分方程y”-3，+2y=2%靖的通解.

解:對應(yīng)齊次方程的特征方程為萬—32+2=0,解得特征根4=1,4=2,所以對應(yīng)齊次方

2x

程的通解為％=Ge*+C2e.

設(shè)原方程的一個特解為y*=x(ox+?e￡,_M

(y*)=(a%2+2ax+6x+6)e",(y*)=(ax2+4ax+bx+2a+2b^ex,

代入原方程,解得a=-l,b=-2,故特解為y*=x(-x-2)ex.

x2x

故方程的通解為>="+y*=Cxe+C2e-x(x+2)e\

19.(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域。={(蒼丁),2+y2<1,尤20},計算二重積分

T^7dxdy-

解：積分區(qū)域?qū)ΨQ于x軸，］+2y為y的奇函數(shù)，從而知2dx內(nèi)=。

所以/=邛或言"=fln(l+/)bfln2.

D211

20.(本題滿分11分)

設(shè)/?(%)=］如必，計算「/(x)dx.

Jo?！猼J。

解：累次積分交換積分次序

JJf(x)dx=s'11，=J：［『包"力=sintdt=2.

21.(本題滿分11分)

求由曲線y=/-2x和直線丁=0"=1,%=3所圍成平面圖形繞丁軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)

體體積.

解：V=j2"=9萬

22.(本題滿分11分)

X］+%+X3+》4=-1

已知非齊次線性方程組4芭+3X2+5/-3=T有3個線性無關(guān)的解.

町+x2+3X3+bx4=1

(1)證明：方程組系數(shù)矩陣A的秩尺(A)=2；

(2)求a*的值以及方程組的通解.

'1111'

解:(1)系數(shù)矩陣A=435-1未知量的個數(shù)為〃=4,且又AX=。有三個線性無

a13b

關(guān)解，設(shè)%,%,%是方程組的3個線性無關(guān)的解，貝是AX=0的兩個線性

無關(guān)的解.因為%-%，a3-%線性無關(guān)又是齊次方程的解，于是AX=0的基礎(chǔ)解系中解

的個數(shù)不少于2,得4一R(A)之2,從而在(A)K2.

又因為A的行向量是兩兩線性無關(guān)的，所以R(A)?2.所以尺(A)=2.

111111

(2)由(1)得R(A)=2,因此A中所有三階子式全為零,可得435=0,35—1=0,

a1313b

分別計算出。=2,b=—3.

102-4|2

所以［A\b］作初等行變換后化為0-1-15|-3它的同解方程組

0000|0

玉二2—2X3+4X4

%2——3+%3—514

令七=0,%=0求出AX=6的一個特解(2,-3,0,0)7；

右=0的同解方程組是1%——2退+4工4,取退=1,%=0,代入得(—2」」,0＞；取

=%-5%

又=0,%=1,代入得(4,—5,0,1)J所以AX=0的基礎(chǔ)解系為(—2,1,1,0)、