相似三角形的判定與性質(zhì)九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）

專題12相似三角形的判定與性質(zhì)

Q經(jīng)典泉做題?

選擇題（共4小題）

AE2

?-（2必秋?徐州期末）如圖，在-BC中’若EF∕∕BC,-=?EF=4,則Be的長為

（）

A.6B.8C.10D.12

AP2

【分析】先利用比例的性質(zhì)得到——=［再證明aAEFsZiABC,然后利用相似比得到

AB5

BC=∣EF.

【解答】解：：券=；

BE3

.AE2

??=一,

AB5

?.?EF/7BC,

Λ?AEF^?ABC,

φEFAE2

??BC~AB~5f

：.BC=∣EF=∣×4=10.

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用

圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；同時靈活運用

相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計算.

2.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在AABC中，ZBAC=45o,BD、CE分別是AC、

AB邊上的高，連接DE,若DE=2,則BC的長為（）

A

5

C.D.2√2

2

1

【分析】根據(jù)等腰宜角三角形的性質(zhì)得到77==，—=r,進(jìn)而得到77=77,得

AB2AC2ABAC

到aADEsaABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

【解答】解：在R/z^ADB中，NBAC=45",

AD√2

則方

2

_√2

同理:

AC~2

.ADAE

,"^AB-^AC'

VZDAE=ZBAC,

Λ?ADE∞?ABC,

.DEAD√2

"BC~AB~2,

：DE=2,

ΛBC=2√2,

故選：D.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，證明AADE

-AABC是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?如皋市期末）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形邊長為1,點A,B都在小正方形

的頂點上，線段AB與網(wǎng)格線MN交于點C,則AC的長為（）

【分析】先利用勾股定理求出AB的長,再利用A字模型相似三角形證明AANCS^ADB,

然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：如圖：

AB=?!AD2÷BD2-V42+32=5?

CN〃BD,

ΛZANC=ZADB,ZACN=ZABD,

ΛΔANC<^?ADB,

.ANAC

??=,

ADAB

1AC

.?一=--1,

45

/.AC=7-

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A字模型相似三角

形是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，D,E分別是aABC的邊AB,AC上的點，-=

AB3

DE〃BC,若AADE的面積為6,則AABC的面積等于（）

A.12B.18C.24D.54

【分析】利用DE〃BC判定4ADESAABC,再利用相似三角形的面積比等于相似比的

平方，列出關(guān)系式即可求得結(jié)論.

【解答】解：?.?DE"BC,

Λ?ADE^?ABC.

.SfDE_

*'SΔΛBC=（而）.

^AD1

?——，

AB3

.S-4DE_?

shABC9

,

??SΔABC—9SΔADE—54.

故選：D.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定方法得出△

ADESZXABC是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?興化市期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是

CD的中點.則aDEO與ABCD的面積的比等于1：4.

【分析】由平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,可得O是BD中點，已知

條件中有E是CD的中點，則OE是aBCD的中位線，所以0E〃BC,OE=∣BC,則4

DEoS^BCD,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出ADEO與ABCD的

面積的比.

【解答】解：；四邊形ABCD是平行四邊形，且對角線AC、BD交于點0,

；.0是BD的中點，

；E是CD的中點，

Λ0E√BC,OE=∣BC,

.OE1

??~=一,

BC2

V?DEO^?BCD,

.SADEO=OE._I2_￡

'^SΔBCDIBC）（2）4

，ADEO與aBCD的面積的比等于1：4,

故答案為：1：4.

【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等

知識，根據(jù)三角形中位線定理證明OE〃BC是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D為格點，連接

6√2

AB、CD相交于點E,則AE的長為—.

【分析】根據(jù)題意可得AB=3&,AC〃BD,所以aAECsaBED,進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：根據(jù)題意可知：AB=3√2,AC√BD,AC=2,BD=3,

Λ?AEC^ΔBED,

.AEAC

??-,

BEBD

.AE2

?*3√2-ΛE-3,

解得AE=竽.

故答案為：?.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判

定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?崇川區(qū)期末）在我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：“今

有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意為：如圖，RrAABC的兩條直角邊AC,

BC的長分別為5步和12步，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為\步.

【分析】利用A字模型相似三角形證明AADES^ACB,然后利用相似三角形的性質(zhì)解

答即可.

【解答】解：；四邊形CDEF是正方形，

ΛDE∕7CF,DE=DC,

ΛZADE=ZC,ZAED=ZB,

Λ?ADE<×>?ACB,

.ADDE

?.—,

ACCB

S-DCDE

??=~-~',

512

.5-DEDE

??=,

512

.60

??Dh=Yγ,

二正方形CDEF的邊長為：絲步，

17

60

故答案為：—.

17

【點評】本題考查了數(shù)學(xué)常識，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握A

字模型相似三角形是解題是關(guān)鍵.

8.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，點E為Be邊上的一點，

AE和BD相交于點P,已知AABF的面積等于12,Z?BEF的面積等于8,則四邊CDFE

形的面積是22.

B

【分析】利用三角形面積公式得到AF：FE=3:2,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃

BE,SAABD=SACBD，則可判斷AAFDS^EFB,利用相似的性質(zhì)可計算出SMFD=18,

所以SΔΛBD=SΔCBD=30,然后用ABCD的面積減去aBEF的面積得到四邊形CDFE的

面積.

【解答】解：aABF的面積等于12,ABEF的面積等于8,

即SAABF：SΔBEF-12：8=3：2,

ΛAF：FE=3:2,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

/.ADZzBE,SZsABD=SZsCBD,

Λ?AFD^?EFB,

?SfFD=竺2=Λ2=￡

（）

"SΔBEFEF（2）4

9??

?,?SAAFD=4x8=18,

??SAΛBD=SACBD=12+18=30>

四邊形CDFE的面積=30-8=22.

故答案為：22.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用

圖形中己有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角

形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之

間的關(guān)系；也考查了平行四邊形的性質(zhì).

≡.解答題（共4小題）

9.（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期末）在AABC中，AB=AC,NBAC=36°,BD是aABC的

角平分線.

（1）找出圖中的相似三角形，并證明;

BC

（2）求出廠的值.

AB

A

1

【分析】⑴由AB=AC,/BAC=36。，得NABC=/C=/180。-36。)=72°,

山BD是AABC的角平分線求得∕DBC=36°,則NDBC=NBAC,而NC是ABDC和

△ABC的公共角，即可證明aBDCs∕?ABC;

(2)先證明AD=BD,BD=BC,則AD=BC,設(shè)AD=BC=x,AC=AB=4,由ABDC

DCBC??

SZ?ABC得一=一,所以BC2=AC?(AC-AD),可列方程(〃-%),解方程求

BCAC

得符合題意的'的值為亨。，即可求出言的值.

【解答】（1）?BDC^?ABC.

證明：AB=AC,NBAC=36°,

ΛZABC=ZC=∣(180°-36°)=72°,

VBD是AABC的角平分線，

11

ΛZDBC=ZDBA=^ZABC=?×72o=36°,

JNDBC=NBAC,

???ZC=ZC,

Λ?BDC^?ABC.

(2)解：VZDBA=ZBAC,

ΛAD=BD,

VZBDC=ZDBΛ+ZA=36o+36°=72°,

ΛZBDC=ZC,

ΛBD=BC,

ΛAD=BC,

設(shè)AD=BC=KAC=AB=α,

V?BDC^?ABC,

*DCBC

??=,

BCAC

ΛBC2=AC?（AC-AD）,

.?.χ2=α（〃-x）,

解得XI=VS2O,X2=—~~-a（不符合題意，舍去），

???BC=^≠/,

Vs-1—

.BC~~Γ~a√5-l

??――?

4Ba2

【點評】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和

定理及其推論、一元二次方程的解法等知識，證明圖中的兩個等腰三角形相似是解題的

關(guān)鍵.

10.（2021秋?贛榆區(qū)期末）如圖，在R∕Z?ABC中，ZACB=90o,以斜邊AB上一點O為

圓心，OB為半徑作。O,交AC于點E,交AB于點D,且/BEC=NBDE.

（1）求證：AC是。O的切線；

CE2OF

（2）連接OC交BE于點F,若77=1求大的值.

AE5CF

【分析】（1）連接OE,通過證明/CBE=/OEB得OE〃BC,從而得OE_LAC,再結(jié)合

OE是半徑即可得出結(jié)論；

OE5

（2）由OE〃BC,W?AOE<×>?ABC,進(jìn)而得出一=一，再由OE〃BC,得^OEFs4

BC7

CBF,即可推出結(jié)果.

【解答】（I）證明：連接OE,

ΛZOBE=ZOEB,

YNACB=90°,

ΛZCBE+ZBEC=90o,

TBD是直徑，

ΛZBED=90o,

.?.NDBE+NBDE=90°,

???ZCBE=ZDBE,

ΛZCBE=ZOEB,

ΛOE/7BC,

.??NOEA=NACB=90°,

ΛOE±AC,

又TOE是半徑，

???AC是。O的切線；

(2)解：VOE√BC,

ΛΔAOE^?ABC,

OE_AE

?φ.=,

BCAC

??CE2

?=,

AE5

AE5

??,=一,

AC7

.OE5

??,=一,

BC7

V0E∕/BC,

ΛΔOEF^ΔCBF,

OFOE5

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

11.（2022春?太倉市期末）如圖，在aABC中，BC的垂直平分線分別交BC,AC于點D,

E,BE交AD于點F,AB=AD.

（1）求證：Z?BFDs∕?CAB;

（2）求證：AF=DF;

EF1

（3）二的值等于-.（直接寫出結(jié)果，無需解答過程）

FB-3-

【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE,進(jìn)而得出/C=NEBD,由等腰三角形

的性質(zhì)得出/FDB=NABD,即可證明4BFDs∕?CAB;

BD1FDBD1

（2）由DE垂直平分BC,得出;;=4，由相似三角形的性質(zhì)得出====7進(jìn)而

B7C2ABBC2

11

得出FD=WAB,由AB=AD,得出FD=專AD,即可得出AF=FD;

BD1

（3）過點C作CH〃AD,交BE的延長線于點H,由DE垂直平分BC,得出一=

BC2

DFBFBD1AF1

證明aBDFsZiBCH,得出一=—=—=一，由AF=FD,即可得出一=一,再證

HCBHBC2HC2

,FEAF1”一―,FE1,BFIgl

明AAFEsACHE,得出—=—=一，進(jìn)而得出—=一，由—=一，得出FH=FB,

iEHHC2FH3BH2

EF1

即可得出二=

FB3

【解答】（1）證明：YDE垂直平分BC,

ΛBE=CE,

，ZC=ZEBD,

VAB=AD,

ΛZFDB=ZABD,

Λ?BFD^?CAB;

（2）證明：?.?DE垂直平分BC,

.BD1

??1=一,

BC2

V?BFD^?CAB,

.FDBD1

Λ,AB~BC~2

1

ΛFD=^AB,

VAB=AD,

1

.?.FD=*AD,

ΛAF=FD;

(3)解：如圖，過點C作CH〃AD,交BE的延長線于點H,

VDE垂直平分BC,

.BD1

??BC-2

VCH/7AD,

ΛZBDF=ZBCH,NBFD=NBHC,

Λ?BDF^?BCH,

.DFBFBD1

??HC~BH~BC~2

TAF=FD,

.4尸_1

eeHC-2

VAD∕/HC,

ΛZFAE=ZHCE,ZAFE=ZCHE,

.?.?AFE^ΔCHE,

.FE4F1

??EH-HC-2’

.FE1

IH-3,

..BF1

‘BH-2’

ΛFH=FB,

.EF1

一FB—3,

故答案為：?.

3

【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握線

段垂宜平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12.(2021秋?阜寧縣期末)已知：如圖，AB為。。的直徑，ABlAC,BC交。。于D,E

是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F.

(1)求證：DE為OO的切線；

(2)求證：AB?DF=AC?BF.

【分析】(1)連AD,0D,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角知NADB=∕ADC=90°,再

根據(jù)E是AC的中點,得EA=ED,根據(jù)OD=OA,利用等邊對等角，可知NoDE=90°,

從而證明結(jié)論；

ABBDBDBF

(2)首先證明aABDs^CBA,得—=—,再證明^FDBS^FAD,得—=—,

2ACAD2ADDF

等量代換即可.

【解答】證明：(1)連AD,OD,

?.?AB為。O的直徑，

???NADB=NADC=90°,

TE是AC的中點,

：?EA=ED,

ΛZEDA=ZEAD,

VOD=OA,

ΛZODA=ZOAD,

ΛZEDO=ZEAO,

VAB±AC

ΛZEAO=90o,

.?.NEDO=90°,

???DE為。O的切線；

(2)TNBAC=NADC=90°,

???ZC=ZBAD,

VZABD=ZCBA,

.??ABD^?CBA,

*ABBD

??"=,

ACAD

VZFDB÷ZBDO=ZBDO÷ZADO=90o,

：?ZFDB=ZADO=ZOAD,

VZF=ZF,

Λ?FDB^?FAD,

*BDBF

??—-,

ADDF

.ABBF

??,=,

ACDF

ΛAB?DF=AC?BF.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),

證明AFDBs∕?FAD是解題的關(guān)鍵.

一.選擇題（共4小題）

1.（2022?泰州二模）如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC上的一點，且AB=BE,AE、

DC的延長線相交于點F,SΔABE:S四邊形AECD=3：7,若AD=5CM,則CF的長為（）

一

T

A.?cmB.1.2cmC.3cmD.2cm

【分析】連接AC,根據(jù)SAABE:S。ABCD=3：10,得SAABE：SΔABC=3:5,則BE：BC

=3：5,求出CE的長，再說明CE=CF,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：連接AC,

AD

B—EV∕C

T

,**SΔABE：S四邊形AECD=3:7,

?*?S?ABE:SoABCD=3：10,

?SΔΛBE:SΔΛBC-3：5,

ΛBE:BC=3：5,

YAD=5。%,

，AD=BC=5c∕π,

.*.BE=3cm,

.?.CF=2c∕π,

VAB=BE,

ΛZBAE=ZBEA,

VAB√CD,

JNBAE=NF,

VZBEA=ZCEF,

.?NCEF=NF,

I.CF=CE=2。加，

故選：D.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)

等知識，求出BE的長是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，已知。ABCD中，點E是DC邊的中點，連結(jié)BD、BE、

AE,AE交BD于點F,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BD=2DFB.AF=2BF

C.SΔABF=2SΔDEFD.SΔADF=SΔBEF

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得DE〃AB,則ADEFSABAF,可判斷AC錯誤，根據(jù)

條件無法說明B成立，由AADE與ABED同底等高，則SAADE=SABED，可知D正確.

【解答】解：；點E是DC邊的中點，

ΛDE=IDC,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

JDC=AB,

：.DE=^AB,

?/DE/7AB,

Λ?DEF^?BAF,

.DEOF1

AB~BF~2

.DF_1

??=一,

BD3

即BD=3DF,

故A錯誤；

根據(jù)條件無法說明B成立，

VDE/7AB,

Λ?DEF∞?BAF,

.SADEF_/DE/_1

SdABFab4

即SΔABF=4SΔDEI?>

故C錯誤；

V?ADE與aBED同底等高，

??S∕?ADE-SzχBED，

?"?SAADF-S?BEF>

故D正確；

故選:D.

【點評】本題主要考查是相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌

握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?新吳區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E為AB邊中點，點F

為對角線BD上一點，且FB=2DF,連接DE、EF、EC,則SADEF：SMED=（）

【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，點E為AB邊中點，可得S—DE=SABDE=∣S

平行四邊形ABCD,根據(jù)FB=2DF,可得S4BDE=3SZXDEF,進(jìn)而可得結(jié)果.

【解答】解：四邊形ABCD是平行四邊形，點E為AB邊中點,

,?SAADE-S/\BDE=平行四邊形ABCD，

VFB=2DF,

二SADEF=/SABDE=*SABCD>

SACDE=g?SjFfHSiiJgABCD,

?,?SΛDEF:SACDE=去S平行四邊版ABCD：~ST-hψ??∏;ABCD=1：6.

故選：C.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E是BC的中點，連接

AE與對角線BD交于點G,連接CG并延長，交AB于點F,連接DE交CF于點H,連

接AH.以下結(jié)論:①/DEC=NAEB;②CF_LDE；③AF=BF;=|,⑤HG=等，

A.2B.3C.4D.5

【分析】由四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E是BC的中點，得DC=AB=6,Z

DCE=ZABE=90o,CE=BE=3,即可證明ADCE絲zλABE,得NDEC=NAEB,可

判斷①正確；

由∕ABG=NCBG=45°,AB=CB,BG=BG,證明AABG絲Z?CBG,得NBAE=/

BCF=NCDE,則∕DHF=NDCF+NCDE=NDCF+∕BCF=90°,即可證明CF±DE,

可判斷②正確；

由/BCF=NBAE,CB=AB,ZCBF=ZABE,證明aCBF咨Z?ABE,得BF=BE=3,

所以AF=BF=3,可判斷③正確；

根據(jù)勾股定理求得CF=AE=DE=、62+32=3√^,則x3√^CH=X6X3=SACDE,求

得CH=蝮，則HF=華，所以第=：,可判斷④正確；

??HF3

PQBFIIz?ΓF

由aBFGsaDCG,得一=—=-,M∣JFG=?×3√5=有,所以HG=3√^—哈一遍=

華，可判斷⑤正確，于是得到問題的答案.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E是BC的中點,

.?.DC=AB=6,∕DCE=NABE=90°,CE=BE=3,

Λ?DCE^?ABE(SAS),

ΛZDEC=ZAEB,

故①正確；

VAB=AD,NBAD=90°,

???NABD=/ADB=45°,

同理NCBD=NCDB=45°,

???NABG=NCBG=45°,

VAB=CB,BG=BG,

ΛΔABG^?CBG(SAS),

.?.ZBAE=ZBCF=ZCDE,

.?.NDHF=NDCF+NCDE=NDCF+NBCF=NBCD=90°,

ΛCFIDE,

故②正確；

VZBCF=ZBAE,CB=AB,ZCBF=ZABE,

Λ?CBF^?ABE(AAS),

ΛBF=BE=3,

.?.AF=BF=3,

故③正確；

22

VSΔCDE=∣DE?CH=∣DC?CE,CF=AE=DE=√6+3=3√5,

ΛI(xiàn)-×3L√5CHl=4×6×3,

22

.CH.6√5

.?.HF=3√^一竿=挈

6√5

?空一工，

,?瓦-蓬-3

5

故④正確；

VBF√CD,

Λ?BFG^?DCG,

φFGBF31

"CG~DC~6~29

ΛFG=y?F=?×3√5=√5,

HG=3√5一華-石=警，

故⑤正確，

故選：D.

【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明ADCE絲AABE及aCBF

^?ABE是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2022?靖江市二模）如圖，ABlBC,AB=5,點E、F分別是線段AB、射線BC上的

動點，以EF為斜邊向上作等腰Rz?DEF,ND=90°,連接AD,則AD的最小值為

5√2

【分析】連接BD并延長，利用四點共圓的判定定理得到B,E,D,F四點共圓，再利

用等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到∕DBF=∕DEF=45°,得到點D的軌跡，

最后利用垂線段最短和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接BD并延長，如圖，

VABlBC,

.?.NABC=90°,NEDF=90°,

二/ABC+/EDF=I80°,

.?.B,E,D,F四點共圓，

:△DEF為等腰直角三角形，

ΛZDEF=ZDFE=45o,

ΛZDBF=ZDEF=45o,

ΛZDBF=ZDBE=45o,

，點D的軌跡為NABC的平分線上，

：垂線段最短，

當(dāng)AD±BD時，AD取最小值，

.?.AD的最小值為JAB=

,5√2

故答案為：?.

2

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓的判定圓

周角定理，點的軌跡，垂線段的性質(zhì)，利用已知條件求得點D的軌跡是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?梁溪區(qū)校級期中)如圖，在AABC中，D在AC邊上，AD：DC=I:2,O是

BD的中點，連接Ao并延長交BC于E,則OE：OA=1：2,SΔBOE:SΔBCD=1：

8.

CD2

【分析】過點D作DF〃AE,交CE于點F,根據(jù)已知可得二7=二，再證明A字模型相

CA3

2CF

似三角形aCDFs^CAE,從而利用相似三角形的性質(zhì)可得AE=?)F,—=2,然后根

據(jù)線段中點的定義可得BO=OD=∣BD,再證明A字模型相似三角形aBE0s^BFD,

從而利用相似三角形的性質(zhì)可得OE=與F,BF=2BE,包娶=(-)2=?進(jìn)而可得

zSABDF2-

OE1

—=",CF=BF,最后進(jìn)行計算即可解答.

AE3

【解答】解：過點D作DF〃AE,交CE于點F,

.CD2

??=一,

CA3

VDF√AE,

ΛZCDF=ZCAE,ZCFD=ZCEA,

ΛΔCDF^ΔCAE,

φCDDFCF2

"CA~EACE~31

3CF

.'AE=TyDF,—=2,

2EF

ΛCF=2EF,

-O是BD的中點,

1

ΛBO=OD=^BD,

V0E/7DF,

ΛZBOE=ZBDF,NBEO=NBFD,

Λ?BEO^?BFD,

.BOOEBE1

"BD~DF~BF~2

ΛOE=?F,BF=2BE,SABOE=(1)2=?

2SABDF24

._1

?.-=2=一,

AE-DF3

2

ΛOE:OA=I:2,

VCF=2EF,BF=2BE=2EF,

ΛCF=BF,

Λ?BDF的面積=Z?CDF的面積，

?*.S?BOE:SABCD=1：8，

故答案為：1：2,1：8.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并

結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

7.(2022秋?崇川區(qū)校級月考)如圖，在R/4ABC中，NABC=90°,AB=6,BC=8,點

O為aBC的內(nèi)心，連接OA,OC,過點O作OD〃BC交AC于點D,則OD的長為

5

3-.

ff-----------------?e

【分析】過點O作OE_LAC于E,OFi.BC于F,OHl.AB于H,連接AO,BO,由面

積法可求OE=OF=OH=1,可證四邊形OFBH是矩形，可得BF=C)H=1,由“AAS”

可證ACOE絲Z?COF,可得CE=CF=3,由勾股定理可求解.

【解答】解：如圖，過點0作OE_LAC于E,OFJ_BC于F,OHl.AB于H,連接AO,

BO,

Y點。為RfZiABC的內(nèi)心，OE±AC,OF±BC,OH±AB,

AOE=OH=OF,

VZABC=90o,AB=3,BC=4,

ΛAC=y∣AB2^-BC2=5,

丁S?ABC=SΔABO÷S?BCO+S?ACO，

1111

:L2×3×4=?2×3×OH+2?x4×OF+?2×5×OE,

AOE=OF=OH=I,

VOE±AC,OF±BC,OH±AB,

???四邊形OFBH是矩形，

ΛBF=OH=I,

.?.CF=3,

I點O為RrZ?ABC的內(nèi)心，

ΛZOCF=ZOCE,

YNCEO=NCFO=90°,

在ACOE和ACOF中，

(Z0CE=ZOCF

]Z.CEO=Z.CFO'

(OC=OC

ΛΔCOE^ΔCOF(AAS),

ΛCE=CF=3,

VOD√BC,

.?.ZDOC=ZOCF=ZOCE,

ΛOD=DC,

VOD2=DE2+OE2,

ΛCD2=(3-CD)2+l,

ΛCD=∣,

ΛOD=j.

故答案為：I

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，全等三角形

判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是

本題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，矩形ABCD中，點E在BC上，AELDE,點F為

AE延長線上一點，滿足EF=AE,連接DF交BC于點G,若AB=4,BE=2,則GC=

F

【分析】由余角的性質(zhì)可得NBAE=/DEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求EC=4,由等

腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證EG=DG,由勾股定理可求解.

【解答】解：?.?AELDE,

ΛZAED=90o=ZB=ZC,

二NAEB+/DEC=/AEB+/BAE,

ΛZBAE=ZDEC,

Λ?ABE^?ECD,

.ABBE

??,

ECCD

.42

??-?一,

EC4

/.EC=8,

VAE=EF,ZAED=90o,

ΛAD=DF,

VZAED=90o,

ΛZADE=ZFDE,

VAD//BC,

ΛZADE=ZDEC=ZFDE,

/.DG=EG,

VDG2=DC2+GC2,

(8-GO2=16+GC2,

ΛGC=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

Ξ.解答題(共4小題)

9.(2022秋?高郵市期中)如圖，點P在AABC的外部，連結(jié)AP、BP,在aABC的外部

分別作NI=NBAC,Z2=ZABP,連結(jié)PQ.

(1)求證：AC?AP=AB?AQ;

(2)判斷/PQA與NACB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Q

【分析】(1)由/I=NBAC,得N1+NPAC=∕BAC+∕PAC,則/CAQ=NBAP,而

Z2=ZABP,即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明ACAQS4BAP,則布=

AQ

—,所以AC?AP=AB?AQ;

AP

4PAO

(2)由AC?AP=AB?AQ,變形為一=—,而Nl=NBAC,即可由“兩邊成比例且

ABAC

夾角相等的兩個三角形相似”證明4APQs^ABC,得NPQA=NACB.

【解答】(1)證明：INl=NBAC,

ΛZ1+ZPAC=ZBAC+ZPAC,

ΛZCAQ=ZBAP,

VZ2=ZABP,

ΛΔCAQ^?BAP,

ACAQ

??1=、,

ABAP

ΛAC?AP=AB?AQ.

(2)解：ZPQA=ZACB,

理由：VAC?AP=AB?AQ,

.APAQ

??=,

ABAC

VZl=ZBAC,

ΛΔAPQ^ΔABC,

ΛZPQA=ZACB.

【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識，找到相似三角形

的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明4CAQs∕^BAP及AAPQSZXABC是解題的關(guān)鍵.

10.(2022秋?蘇州期中)如圖，RfZiABC中∕BCA=90°,AE2=AD?AC,點D在AC邊

上，以CD為直徑畫。O與AB交于點E.

(1)求證：AB是。O的切線；

(2)若AD=Do=1,求BE的長度.

【分析】(1)連接OE,則NOEC=NACE,再證明^ADEs^AEC,得NAED=NACE,

則/AED=NOEC,所以NoEA=/AED+/OED=∕OEC+NOED=90°,即可證明AB

是G)O的切線；

(2)由AD=Do=OC=1,得AC=3,則AE?=AD?AC=3,所以AE=√5,再證明△

AOESZiABC,求得BC=√5,即可根據(jù)切線長定理求得BE=BC=√5.

【解答】(I)證明：連接OE,則OE=OD=OC,

ΛZOEC=ZACE,

VAE2=AD?AC,

.AEAD

??—,

ACAE

VZA=ZA,

，ZiADEs△AEC,

ΛZAED=ZACE,

ΛZAED=ZOEC,

?.?CD是。O的宜徑，

/.ZOEA=NAED+/OED=∕OEC+∕OED=∕CED=90",

：AB經(jīng)過。O的半徑OE的外端，?ABlOE,

.?.AB是。O的切線.

(2)解：VAD=DO=OC=OE=I,

ΛAC=3,

ΛAE2=AD?AC=1×3=3,

ΛAE=V3?

?.?NOEA=NBCA=90°,ZA=ZA,

.??△AOEs△ABC,

.OEAE

BCAC

?.?0C是OO的半徑，jaCB±OC,

ΛBC是。O的切線，

，BE=BC=√3,

ABE的長度是√1

【點評】此題重點考查圓的切線的判定、切線長定理、直角所對的圓周角等于90°