直線與圓的位置關(guān)九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）

專題06直線與圓的位置關(guān)系

一.選擇題（共4小題）

1.（2021秋?蘇州期末）己知。。的直徑為10c%,圓心。到直線/的距離為5cm,則直線/

與O。的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.相交或相切

【分析】求出圓。的半徑，把半徑和圓。到直線A8的距離（相交：d<r；相切：d=r；

相離：d>r）比較即可.

【解答】解：Y。。的直徑為IOCTm

GO的半徑為5cm,

?.?圓心。到直線AB的距離為5cm,

：.5=5,

.?.。0與直線4B的位置關(guān)系是相切.

故選:B.

【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)的理解和掌握，熟練掌握直線與圓

的位置關(guān)系的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?邢江區(qū)期末）如圖，AB是。O的直徑，點。在AB的延長線上，DC切。。于

點C,若NA=20°,則/。等于（）

D

A.20oB.30oC.50oD.40°

【分析】連接OC,由。C切。。于點C得NoC￡）=90°,由OA=OC得NoCA=/A,

則/COD=/Oc4+∕A=2NA,可求出/COD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互

余求出/O的度數(shù)即可.

【解答】解：如圖，連接。C,

切。。于點C,

：,CDIOC,

；./08=90°,

?.?A8是OO的直徑，

二點。在AB上，

：.OA=OC,

.?.N0C4=∕A,

VZA=20o,

NCW=/OcA+∕A=2∕A=2X20°=40°,

ΛZD=90o-NCO￡)=90°-40°=50o,

故選：C.

【點評】此題重點考查圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互

余等知識，連接OC構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?阜寧縣期末）如圖，48是。。的直徑，雨切。。于點A,Po交。。于點C,

連接BC.若NB=20°,則/P等于（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】先由08=0C,/8=20°,可求得NPOA的度數(shù)，又由AB是。。的直徑，PA

切。。于點A,即可得出結(jié)論.

【解答】解：'：OC=OB,

：.ZBCO=ZB=20o.

NAOC=40°

YAB是。。的直徑，出切。。于點A,

：.OAVPA,

即NBAO=90°,

ΛZP=90o-NAOC=50°

故選：D.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是

解答本題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，PM,PN是。O的切線，B,C是切點，A,。是。。上的

點，若NP=44°,ZMBA=30o,則/。的度數(shù)為（)

M

B

A

N

A.98oB.96°C.82oD.78°

【分析】連接OB,OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA=PB,NPBO=NMBo=NPCo=90°,

求得/PBC=NPC8=,(180°-44°)=68°,NABO=90°-30°=60°,根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接08,OC,

,：PM,PN是。。的切線，

.'.PB=PC,NPBO=NMBO=NPCo=90°,

VZP=44o,ZMfiA=30°,

1

：.4PBC=匕PCB=W(180o-44o)=68o,ZABO=Wo-30°=60°,

ΛZOfiC=90o-NPBC=90°-68°=22°,

NABC=NABO+NC5O=22°+60°=82°,

ΛZD=98o,

故選：A.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，P是。。外一點，PB、PC是。O的兩條切線，切點

分別為B、C,若/尸為48°.點A在。。上（不與B、C重合）,則NBAC=66或114°.

B

C

【分析】連接08、0C,分點4在優(yōu)弧BC上、點4在劣弧BC上兩種情況，根據(jù)切線的

性質(zhì)定理、圓周角定理解答即可.

【解答】解：連接。6、0C,

.,.OBLPB,OCVPC,

.?.N3OC=180°-ZP=132°,

當(dāng)點A在優(yōu)弧BC上時，NBAC=*N8OC=66°,

當(dāng)點A'在劣弧BC上時，ZBA/C=180°-66°=114°,

.?.NBAC的度數(shù)為66°或114°,

故答案為：66或114.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?啟東市期末）如圖，AB為Oo的直徑，點C為。O上的一點，過點C作Θ0

的切線，交直徑AB的延長線于點D；若∕A=23°,則/。的度數(shù)是44°.

【分析】連接OC,由直徑所對的圓周角是直角且AB是。。的直徑得NACB=90°,由

C。與OO相切于點C得/OCD=90°,根據(jù)同角的余角相等可得/3CO=Noc4=/A

=23°,可求得NACO的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NO的度數(shù).

【解答】解：如圖，連接OC,

是。。的直徑，

ΛZACB=90°,

,：CD與。。相切于點C,

：.CDLOC,

ΛZOCD=90Q,

ΛZBCD+ZOCB=90u,NoCA+NOCB=90°,

.".ZBCD=ZOCA,

：OA=OC,

：.ZOCA=ZA=23a,

：.ZBCD=23°,

.,.ZACD=ZACB+ZBCD=900+23°=H3o,

.?.ZD=180o-ZA-ZACD=?SO°-23o-113o=44o,

故答案為：44°.

【點評】此題考查圓的切線的性質(zhì)定理、圓周角定理、同角的余角相等、三角形內(nèi)角和

定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，的外接圓。。與

Co相切，CB的延長線交。。于E點,連接AE,若NDAE=100°,則GCDB=40°.

【分析】連接。。交AB于F,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∕0CC=9（Γ,平行四邊形的性質(zhì)得

至IJAB〃CC,AD^BC,可得NOf8=90°,則OOJMB,根據(jù)垂徑定理得4O=8D,可

得出BD=BC,由圓內(nèi)接四邊形的對角互補得NO8E=80°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即

可求解.

【解答】解：連接。。交AB于凡

；。。與CQ相切，

NODC=90°,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.?AB∕∕CD,AD=BC,

,N力F8=90°,

.?OD±AB,

由垂徑定理得AO=8D,

：.BD=BC,

YNDAE=100°，

.?.NOBE=180°-IOO0=80°,

，/COB=∕C=40°.

故答案為：40.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識，添加輔助線

是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?漂陽市期末）如圖，AB是半圓O的弦，DE是直徑,過點B的切線BC與。O

相切于點8,與OE的延長線交于點C,連接BD,若四邊形0A8C為平行四邊形，則N

BDC的度數(shù)為22.5。.

DOEC

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBC=90",再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA=BC,

則。8=8。，所以4OBC為等腰直角三角形，從而得到NBoC=45°,然后根據(jù)圓周角

定理得到NJBoC的度數(shù).

【解答】解：?.?。8為。。的切線，

JOBLCB,

.?ZOBC=90o,

???四邊形QABC為平行四邊形,

IOA=BC,

而OA=O5,

OB=BCf

為等腰直角三角形，

.?.N8OC=45°,

1

：?NBDC=專NBoC=22.5°?

故答案為：22.5°.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了平行四邊

形的性質(zhì)和圓周角定理.

三.解答題(共4小題)

9.(2021秋?無錫期末)如圖，AB是。。的直徑，AN、AC是。。的弦，P為AB延長線上

一點，AN、PC的延長線相交于點M,且AM_LPM,ZPCB^ZPAC.

(1)試判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AB=I0,ZP=30°,求MN的長.

A

【分析】(1)連結(jié)OC,則OA=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NfiAC=NACO.求得

ZPCfi=ZACO.根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,求得OCJ_PC.根據(jù)切線的判定定

理即可得到結(jié)論.

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NCOP=60°.解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)直線PC與。。相切.

理由：連結(jié)。C,貝IJoA=OC,

ZPAC=ZACO.

"."ZPCB^ZPAC,

.".ZPCB=ZACO.

：.NOCP=ZOCB+ZPCB^ZOCB+ZACO=ZACB.

為。。的直徑，

.,.ZACB=QOo,

.?.NOCP=90°,

即OC_LPC.

?.?OC為半徑，

.?.直線PC與。O相切.

(2)??∕P=30°,∕OCP=90°,

ΛZCOP=60°.

VAB=IO,

.,.AN=5,

,MN=∣.

【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵：熟練掌握圓的切線的判定方法.

10.（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，AB為。。的直徑，PQ切0。于E,ACLPQTC,交。。

于D

（1）求證4E平分NBAC；

（2）若OA=5,EC=4,求A。的長.

【分析】（1）連接。區(qū)根據(jù)切線的性質(zhì)得到OELPQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/OEA=

NEAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOEA=NOAE,等量代換證明結(jié)論；

（2）過點。作OFJ_AC于立根據(jù)勾股定理求出4凡根據(jù)垂徑定理解答即可.

【解答】（I）證明：連接。E,

：PQ切G）O于E,

OELPQ,

'JACLPQ,

：.OE//AC,

：.AOEA=AEAC,

'：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE,

：./OAE=ZEAC,即AE平分/8AC；

（2）解：過點0作。尸_LAC于F,

則AD^FD=^AD,

'JOEVPQ,AC±PQ,0F±AC,

四邊形OECF為矩形，

：.OF=EC=A,

在R∕?AOFφ,AF=y∣OA2-OF2=√52-42=3,

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握圓的切線垂直于

經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?祁江區(qū)期末）如圖，在RfZ?ABC中，NC=90°,點。在AB上，以AD為直

徑的。。與BC相交于點E,與AC相交于點尸，AE平分NBAe

（1）求證：8C是。。的切線；

（2）若∕E4B=30°,OD=5,求圖中陰影部分的周長.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到/CAE=NEA。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N

EAD=/OEA根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOEB=∕C=90°,于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到BE,根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：如圖，連接OR

平分NBAC,

：.ZCAE=ΛEAD,

'.'OA=OE,

：.AEAD=ZOEA,

：.ZOEA^ZCAE

.?OE∕∕AC,

NOEB=∕C=90°,

.?OE±BC,

:OE是半徑，

.?.8C是。。的切線；

(2)解：?.?NE4B=30°,

ΛZEOD=60o,

.?ZOEB=90o,

ΛZB=3O°,

.,.08=20E=200=10,

：.BD=5,

：.BE=yj0B2-OE2=√102-52=5√3,

?Piirnr60TΓX55π

??弧CE=Fδ-=τ?

：.C陰影=BQ+BE+弧DE=5+5√3+∣τr.

【點評】本題考查「切線的判定和性質(zhì)，扇形的面積的計算，勾股定理，正確地作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

12.(2021秋?金湖縣期末)如圖，四邊形04EC是平行四邊形，以。為圓心，OC為半徑

的圓交CE于。，延長CO交。。于8,連接A￡＞、AB,A8是。。的切線.

(1)求證：AO是。。的切線.

(2)若。。的半徑為4,AB=S,求平行四邊形OAEC的面積.

【分析】(1)要證明A。是。。的切線，只要求出NOD4=90°即可，所以只要證明△

AOB^∕?AOD即可解答；

(2)根據(jù)已知可求出AABO的面積,從而求出AAOO的面積,最后利用平行四邊形OAEC

的面積=2S.。。即可解答.

【解答】(1)證明：連接。C,

B

Ki

E

VAB與。。相切于點B,

ΛZOBA=90o,

Y四邊形OAEC是平行四邊形，

J.AO//EC,

：.ZAOD=ZODC,ZAOB=ZOCDf

?；OD=OC,

：.ZODC=ΛOCD,

???ZAOB=ZAOD,

又A=OA,OD=OB1

：.∕?AOB^∕?AOD(SAS),

：.ZOBA=ZODA,

.?ZODA=90a,

???。。是OO的半徑，

???AD為。。的切線；

(2)解：V0B=41AB=S,

：.SMBO=^AB?OB=?x4X8=16,

????AOB^?AOD,

??SAAOD—16,

平行四邊形OAEC的面積=2SMOD=32.

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切

線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

然逡機打題Q

—.選擇題（共4小題）

1.（2022秋?建湖縣期中）如圖，點O是aABC的內(nèi)心，也是aDBC的外心.若NA=84°,

則/D的度數(shù)（)

D

A.42oB.66oC.76oD.82o

【分析】連接OB,OC,根據(jù)點O是aABC的內(nèi)心，∕A=84°,可得NBe)C=90°+∣ZA

=132°,再根據(jù)點O也是aDBC的外心，和圓周角定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OB,OC,

D

A

???點0是4ABC的內(nèi)心，ZA=84o,

/.OB,OC是NABC,NACB的平分線，

11

.?.ZOBC=?ZABC,ZOCB=?ZACB,

11

ΛZBOC=180o-ZOBC-ZOCB=180o-?(ZABC+ZACB)=180o-?(l?θ0-

ZA)=90°A=I32。,

：點。也是aDBC的外心，

1

,ND=/BoC=66。，

則ND的度數(shù)為66°.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解

決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心的區(qū)別.

2.(2022秋?江陰市期中)如圖，直線CD與。。相切于點C,AC、AB是。O的兩條弦，

且CD〃AB,若。O的半徑為5,AB=6,則弦AC的長為()

B

A.3√5B.3√3C.3√2D.3√10

【分析1連接OC、OA,CO的延長線交AB于E點，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLCD,

則利用平行線的性質(zhì)得到CE_LAB,再根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=3,然后利用勾股定

理先計算出OE,再計算AC的長.

【解答】解：如圖，連接OC、OA,CO的延長線交AB于E點，

丁直線CD與。O相切于點C,

ΛOC±CD,

：CD〃AB,

ΛCElAB,

/.AE=BE=∣AB=3,

在RtZ?0AE中，根據(jù)勾股定理得：

OE=>JOA2-AE2=√52-32=4,

ΛCE=OC+OE=5+4=9,

在RtZ?ACE中，根據(jù)勾股定理得：

AC=?∕AE2+CE2=√32+92=3√10.

故選：D.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓的切

線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

3.（2022秋?惠山區(qū)校級期中）如圖，點0是矩形ABCD對角線BD上的一點，經(jīng)過

點C,且與AB邊相切于點E,若AB=4,BC=5,則。。的半徑長為（）

【分析】連接OC、OE,作OF_LBC于點F,設(shè)。O的半徑為r,先證明四邊形BEOF是

矩形，則BF=OE=OC=r,CF=5-r,再證明AEBOsAiABD,推導(dǎo)出OF=EB=/,

4

即可根據(jù)勾股定理列方程(V)2+(5-r)2=r2,解方程求出符合題意的r值即可.

【解答】解：連接OC、OE,作OF，BC于點F,則NOFC=NOFB=90°,

?.?G)0與AB邊相切于點E,

ΛAB±AB,

；四邊形ABCD是矩形，AB=4,BC=5,

.?.NEBF=90°,DA=BC=5,

設(shè)。O的半徑為r,

；NOEB=NEBF=NOFB=90°,

四邊形BEOF是矩形，

ΛBF=OE=OC=r,

.?.CF=5-r,

TNBEO=NA=90°,NEBO=NABD,

Λ?EBO^?ABD,

.EBOE

ABDA

?

..E?z?B=A-BOCEτ?=4?r.

4

JOF=EB=/

VOF2+CF2=OC2,

(匕)2+(5-r)2=r2,

5

整理得16r2-250r+625=0,

二解得r=券或r=學(xué)（不符合題意，舍去）,

二。。的半徑長為g,

故選：B.

【點評】此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理、一元二次方程的解法等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?興化市月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,。。是四邊形

ABCD的內(nèi)切圓，CD,BC分別切。。于F,E兩點，若AD=3,BC=6,則EF的長是

)

C.∣√97D.∣√97

【分析】作DGJ_BC于點G,連接OC、OE,根據(jù)切線長定理可得CE=CF,C)C平分/

ECF,DF=DH,所以O(shè)C垂直平分EF,令OC、EF相交于點M,則EM=FM,設(shè)圓半

徑為R,則DG=2R,CG=3,CD=6-R÷3-R,根據(jù)勾股定理可求出R,再利用面積

公式求出EM即可求得EF.

【解答】解：連接0C,與EF相交于點M,作DGLBC于點G,連接OE,設(shè)AD與圓

VADZ/BC,AB±BC,DG±BC,

二四邊形ABGD是矩形，

.?.BG=AD=3,CG=BC-BG=6-3=3,

；點E、F、H是切點，

ΛDF=DH,CF=CE,Oe平分NECF,

...△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分線,

二EM=FM,

設(shè)圓0半徑為R,則BE=R,DG=2R,

ΛCE=CF=6-R,DF=DH=3-R,

VDG2+CG2=CD2,

.,.(2R)2+32=[(3-R)+(6-R)]2,

解得：R=2,

.?.CE=6-2=4,

二OC=y∣0E2+CE2=√22+42=2√5,

'??SΔOEC=^0E-CE=-EM,

.,,OECE2×44√5

??cEllM=bR=廿

：.EF=2EM=2x警=誓

故選：A.

【點評】本題考查了切線長定理，充分利用切線長定理求解相關(guān)線段長度是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

5.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）Z?ABC中，AB=AC=13,BC=24,點I是AABC的內(nèi)心，

點O是aABC的外心，則Ol=14.3.

【分析】設(shè)BC邊的中點為D,連接AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADj_BC,ZDAB

=ZCAD,得到內(nèi)心I和外心O都在直線AD上，根據(jù)勾股定理得到AD=5,設(shè)AABC

的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,則K）=Dl+OD,根據(jù)勾股定理列方程得到R=16.9,

求得OD=Il.9,根據(jù)三角形的面積公式得到r=2.4,于是得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)BC邊的中點為D,連接AD,

VAB=AC=13,

ΛAD±BC,ZDAB=ZCAD,

,/點0為AABC的外心，點I為aABC的內(nèi)心，

內(nèi)心I和外心0都在直線AD上，

VAB=AC=13,BC=24,

.?.BD=CD=12,

.?.AD=?AB2-BD2=5,

設(shè)AABC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,則Io=Dl+0D,

連接0B,在RtZiODB中，OD=R-5,OB=R,DB=12,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

ΛR=16.9,

ΛOD=AO-AD=16.9-5=11.9,

11

VSΔABC=^BC?AD=^(AB+BC+AC)?r,

.BCAD24x5_12

?"=AB+BC+AC=13+24+13=^5^=2,4>

Λr=DI=2.4,

ΛIO=DI+OD=2.4+11.9=14.3.

故答案為：14.3.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面

積的計算，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?鹽城）如圖，AB、AC是。O的弦，過點A的切線交CB的延長線于點D,若N

BAD=35o,則NC=35°.

【分析】連接AO并延長交。O于點E,連接BE,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOAD=90°,

從而求出NBAE=55°,然后利用直徑所對的圓周角是直角可得∕ABE=90°,從而利

用直角三角形的兩個銳角互余可求出NE的度數(shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即

可解答.

【解答】解：連接OA并延長交。O于點E,連接BE,

：AD與。O相切于點A,

ΛZOAD=90°,

YNBAD=35°,

ΛZBAE=ZOAD-ZBAD=55o,

；AE是OO的直徑，

ΛZABE=90o,

.?.NE=90°-NBAE=35°,

ΛZC=ZE=350,

故答案為：35.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在扇形AOB中，/AOB=90°,0A=2,點C是弧AB上一點，CDlOB,垂足

為D,點P是△€)CD的內(nèi)心，連接AP,則AP的最小值為-√Σ.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證明∕OPC=135°,連接PB,然后證明aCOPgA

BOP(SAS),可得NOPC=NoPB=I35°,作AOPB的外接圓，圓心為O',連接0'

O,0,B,根據(jù)圓周角定理可得/00'B=90°,得O'O=VL連接O'A交圓0'

于點P',此時AP,的最小，過點0'作O'ElAO的延長線于點E,證明△()'OE

是等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題.

【解答】解：VCD±OB,

.'.ZODC=90°,

.*.ZCOD+ZDCO=90o,

：點P是△€>CD的內(nèi)心，

.?.PO,PC分別平分/COD,ZDCO,

1

ΛZPOC÷ZPCO=?(ZCOD÷ZDCO)=45°,

ΛZOPC=135°,

如圖，連接PB,

??COP和aBOP中，

(OC=OB

\乙PoC=乙POB,

(OP=OP

：.?COP^?BOP(SAS),

ΛZOPC=ZOPB=135°,

如圖，作AOPB的外接圓，圓心為O',

連接O'O,O'B,

/.ZOO,B=90o,

V0B=0A=2,

.?.0,O=?θe=√2,

連接O'A交圓0'于點P',

此時AP'的最小，

.?.0'O=O,P,=√2,

過點。'作O'ELAo的延長線于點E,

.?.O,E∕7BO,

.?.NEO''O=ZO,OB=45

,△O'OE是等腰直角三角形，

ΛOE=O,E=%’0=1,

在RtAAEO'中，AE=Ao+OE=2+1=3,根據(jù)勾股定理得:

AO,=√ΛF2+O1E2=√32+I2=√10,

.?.AP'=A0,-0,P'=√10-√2.

/.AP的最小值為√IU-√L

故答案為：VlO—V2.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解

決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心定義.

8.（2020秋?崇川區(qū)月考）已知。。是正方形ABCD的內(nèi)切圓，AB=4,點P是。O上一動

點，則AP+孕DP的最小值為一

【分析】如圖，連OA,OP,OD,在OD上取一點E,使OE=&，連PE,AE.得到

OP2=OE-OD,進而求解.

【解答】如圖，連0A,OP,OD,在OD上取一點E,使OE=√L連PE,AE.

VOP2=22=4,OE?OD=√2?√2=4,

ΛOP2=OE?OD,

ZPOE=ZDOP,

Λ?POE^?DOP,

.PEOE√2

"PD~OP~21

ΛPE=2yPD,

.,.AP+學(xué)PD=AP+PEWAE,

AE=J(2√2)2+(√2)2=√Tθ,

即AP+孝DP的最小值為√m.

故答案為：VTo.

【點評】本題考查了圓的綜合運用，熟練運用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建APOESADOP

是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共4小題）

9.（2022秋?漣水縣期中）如圖，在等腰aABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O與BC

交于點D,DElAC,垂足為E,ED的延長線與AB的延長線交于點F.

（1）求證：EF是。。的切線；

（2）若的半徑為三，BD=2,求CE的長.

2

【分析】（1）連接OD,只需證EF_LOD即可；（2）連接AD,由aCDEs^CAD,即可

求解.

(1)證明：連接OD,

VAB=AC,

.?.ZABC=ZACB,

VOB=OD,

ΛZABC=ZODB,

ΛZACB=ZODB,

ΛOD/7AC,

β.?DE±AC,

ΛDE±OD

即EF±OD,

YOD是。O的半徑，

JEF是。O的切線；

(2)解：連接AD,

YAB是。O直徑，

.?AD±BC,

VDElAC,

ΛZADC=ZDEC,

VZC=ZC,

Λ?CDE^ΔCAD,

ΛCD:CA=CE:CD,

；AB=AC,

ΛDC=DB=2,

：AC=AB=5,

Λ2:5=CE：2,

ΛCE=^.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌

握并能熟練應(yīng)用這些知識點.

10.(2022秋?常州期中)如圖，。。是aABC的外接圓，ZABC=45o,延長BC到D,

連接AD,使AD〃OC.AB交OC于E.

(1)求證：AD與。O相切；

(2)若AE=2√^,CE=2.求OO的半徑.

【分析】(1)連接OA,要證明切線，只需證明0A_LAD,根據(jù)AD〃0C,只需得到OA

XOC,根據(jù)圓周角定理即可證明；

(2)設(shè)。0的半徑為R,則OA=R,OE=R-2,AE=2√5,在Rt△€)AE中根據(jù)勾股

定理可計算出R=4.

VZABC=45o,

ΛZAOC=2ZABC=90o,

.?OA±OC;

又：AD〃OC,

ΛOA±AD,

；0A是半徑，

.?.AD是