積分變換與場論

工程數(shù)學(xué)積分變換(第四版)引言:

所謂積分變換,就是通過積分運算,把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換.Fourier變換Laplace變換第一章傅里葉變換1.1傅里葉積分1.2傅里葉變換1.3傅里葉變換的性質(zhì)1.4卷積與相關(guān)函數(shù)1.5傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉生平1、1768年生于法國2、1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”3、拉格朗日反對發(fā)表4、1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中5、1829年狄里赫利第一個給出收斂條件2、非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示

傅里葉的兩個最主要的貢獻1、周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和1.1傅里葉積分1.1傅里葉積分傅里葉分析的工程意義②各種頻率的正弦信號的產(chǎn)生、傳輸、分離和變換容易工程實現(xiàn)。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的差別只有兩要素，即系統(tǒng)的作用只改變信號的振幅和相位。①是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，響應(yīng)易求且簡單。1、傅里葉分析的基本信號單元1.1傅里葉積分2、適用于廣泛的信號

由虛指數(shù)或正弦信號的線性組合可以組成工程中各種信號，使得對任意信號作用下的LTI系統(tǒng)進行頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、壓縮處理。1.1傅里葉積分3、頻域分析的優(yōu)勢①任意信號分解成不同頻率虛指數(shù)（正弦）信號的線性組合，分析LTI系統(tǒng)對這些不同頻率單元信號作用的響應(yīng)特性的過程就是頻域分析。②頻率分析可以方便求解系統(tǒng)響應(yīng)。例如相量法。③頻域分析的結(jié)果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結(jié)果。④可直接在頻域內(nèi)設(shè)計可實現(xiàn)的系統(tǒng)，例如濾波器的設(shè)計。在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Hz).

一、周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)t最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)

sinwt和coswt的線性組合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近狄利赫利條件1.1傅里葉積分研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄利赫利(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上1,連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2,只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/ω)上的完備正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集（1）三角函數(shù)集{1，cos(nωt)，sin(nω

t)，n=1,2,…}將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似。1.1傅里葉積分（2）虛指數(shù)函數(shù)集{ejnωt，n=0，±1，±2，…}將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似。ejnωt＝cos(nωt）+jsin(nωt）e-jnωt＝cos(nωt）-jsin(nωt）是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/ω)上的完備正交函數(shù)集。因為1、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號f(t)，其周期為T，角頻率ω=2

/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù)——稱為f(t)的傅里葉級數(shù)

系數(shù)an,bn稱為傅里葉系數(shù)

可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。式中，A0=a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；

A1cos(ωt+

1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；

A2cos(2ωt+

2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nωt+

n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為2、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。如令wn=nw(n=0,1,2,...)給定fT(t),cn的計算如下:3、三角形式與指數(shù)形式的比較三角形式便于電路計算，便于對稱性分析③可推出傅里葉變換②代表頻譜①表達最簡練n=0,±1,±2，…指數(shù)形式的優(yōu)勢Ann=0,1,2，…cnn=0,±1,±2，…4、周期函數(shù)的頻譜及特點傅里葉系數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù)幅度關(guān)系n次正弦諧波分量的振幅cnn次指數(shù)諧波分量的模相位關(guān)系正弦諧波初相指數(shù)諧波輻角（1）信號頻譜的概念

從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將An~ω和

n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|cn|~ω和

n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若cn為實數(shù)，也可直接畫cn

。指數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖例（2）周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）,n=0,±1，±2，…cn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T=4τ畫圖。零點為所以，m為整數(shù)。特點：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。(3)主要能量在第一過零點內(nèi)。主頻帶寬度為：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，

變小，此時ω（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：

1/ω=（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

(b)

一定，T增大，間隔ω減小，頻譜變密。幅度減小。

二、傅里葉積分

對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當T

時轉(zhuǎn)化而來的。

作周期為T的函數(shù)fT(t)，使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t)，在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上，則T越大，fT(t)與f(t)相等的范圍也越大，這就說明當T

時，周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t)，即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t){O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w由周期函數(shù)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式可知如圖當T→+∞時，有△ωn→0，所以此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式，簡稱傅氏積分公式。上式為傅里葉積分公式的復(fù)指數(shù)形式傅氏積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:1.f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;2.f(t)在無限區(qū)間(-,+)