諸暨市牌頭中學高一數學教案：講義第七次 蘇教版

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容變形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=，sinB=,sinC=;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角。已知三邊，求各角；已知兩角和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。注:在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要條件.(∵sinA〉sinBa〉bA>B）二、應用舉例1、實際問題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下文的叫俯角（如圖①）（2)方位角從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖③)①北偏東即由指北方向順時針旋轉到達目標方向；②北偏本即由指北方向逆時針旋轉到達目標方向；③南偏本等其他方向角類似。（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，為坡比）考點一:正弦定理、余弦定理的簡單應用〖例1〗（11浙江文）在中,角所對的邊分.若,則（)A．B．C．—1D．1答案：D在△ABC中，,則A的取值范圍是（A） (B） （C） (D）答案：C解析：由得，即，∴，∵，故，選C．考點二：利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的性狀及求取值范圍〖例2〗(1）(10上海文）若△的三個內角滿足則△A．一定是銳角三角形.B．一定是直角三角形。C．一定是鈍角三角形。D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形。解析：由及正弦定理得a：b:c=5:11:13由余弦定理得,所以角C為鈍角（2）在銳角△ABC中，BC＝1,B＝2A，則eq\f（AC,cosA)的值等于______，AC的取值范圍為________．解析：由正弦定理得eq\f（AC,sin2A）＝eq\f(BC，sinA)。即eq\f(AC，2sinAcosA)＝eq\f（1，sinA).∴eq\f(AC，cosA）＝2?！摺鰽BC是銳角三角形，∴0＜A＜eq\f（π,2)，0＜2A＜eq\f（π,2），0＜π－3A＜eq\f(π,2），解得eq\f(π，6）＜A＜eq\f(π,4).由AC＝2cosA得AC的取值范圍為（eq\r(2)，eq\r(3））．答案：2(eq\r（2），eq\r(3))1、在△ABC中，內角A，B,C的對邊分別為a,b，c，eq\f（π，3）＜C＜eq\f（π，2)且eq\f(b,a－b）＝eq\f(sin2C,sinA－sin2C）（1)判斷△ABC的性狀；(2)若｜＋|＝2,求·的取值范圍．解:(1)由eq\f(b,a－b)＝eq\f（sin2C，sinA－sin2C）及正弦定理得sinB＝sin2C,∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，eq\f(π,3)＜C＜eq\f(π,2），∴eq\f(2,3)π＜B＜π,B＋C＞π(舍）；∴B＋2C＝π，則A＝C，∴△ABC為等腰三角形．（2）∵｜＋｜＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝eq\f（2－a2，a2)（∵a＝c），而cosB＝－cos2C，eq\f(π,3)＜C＜eq\f（π,2）,∴eq\f(1,2）＜cosB＜1，∴1＜a2＜eq\f（4，3），又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(eq\f（2，3），1)．2、在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c，2c）,（a，b，c分別為角A,B，C的對邊）,則△ABC的形狀為(）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2eq\f（B，2）＝eq\f(a＋c，2c)，∴eq\f（cosB＋1，2）＝eq\f（a＋c，2c),∴cosB＝eq\f(a,c），∴eq\f(a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f（a,c），∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形．答案：B考點三：利用正余弦定理求三角形的面積〖例3〗（2009浙江文）在中，角所對的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解析：（Ⅰ）w.w又，，而，所以，所以的面積為：（Ⅱ）由（Ⅰ）知,而，所以所以[來源:學#科＃網］1、在中，角所對的邊分別為,且滿足,．（I)求的面積；BDCA（II）若，求BDCA解（1）因為,，又由得，［來源:］（2)對于，又，或,由余弦定理得，2、在ABC中，sin(C—A)=1，sinB=.（I）求sinA的值;(II）設AC=，求ABC的面積。本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關知識，考查運算求解能力.解:(I）由知。又所以即故(II)由(I）得：又由正弦定理，得：所以考點四：利用正余弦定理求角〖例4〗（2011屆稽陽聯考）如右圖，在△中，為邊上一點,，．(1）求的大?。唬?）當時，求的值．解：（1）由已知，…1分…2分…………3分…5分∵∴．…………7分（2）（1）…9分（2）………………11分14分（2010山東文）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，,，則角A的大小為.【解析】由得,即，因為，所以，又因為，，所以在中，由正弦定理得：,解得，又，所以,所以.考點五：正余弦定理實際應用問題〖例5〗（本小題滿分12分）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r（3）)海里的兩個觀測點,現位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r（3）海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？解由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°,∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理,得eq\f(DB,sin∠DAB）＝eq\f(AB,sin∠ADB），∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB，sin∠ADB）＝eq\f(5（3＋\r（3)）·sin45°,sin105°)＝eq\f(5(3＋\r(3）)·sin45°，sin45°cos60°＋cos45°sin60°）＝eq\f（5\r(3)(\r（3)＋1）,\f（\r(3)＋1，2)）＝10eq\r(3)（海里）．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3）(海里），在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3）×20eq\r（3)×eq\f（1，2）＝900，∴CD＝30(海里），∴需要的時間t＝eq\f（30，30)＝1(小時)．故救援船到達D點需要1小時．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時()A．5海里B．5eq\r（3)海里C．10海里D．10eq\r（3)海里解析:如圖所示,設A、B為相距10海里的燈塔,半小時后這艘船到達S點，則∠ASB＝75°－60°＝15°，∠SBO＝30°，∴∠SAB＝15°，即AB＝BS＝10,∴SO＝eq\f（1,2）SB＝5，

設船的速度為v，則eq\f（1，2)v＝5,∴v＝10。答案：C【當堂應用】1。（2010年高考寧夏卷文科16)在中，D為BC邊上一點,,,。若,則BD=_____【答案】2。（2010年高考全國Ⅰ卷文科14）已知為第二象限的角,,則?！久}意圖】本小題主要考查三角函數值符號的判斷、同角三角函數關系、和角的正切公式,同時考查了基本運算能力及等價變換的解題技能.【解析】因為為第二象限的角，又,所以，,所3。（2010年高考全國卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角，tanα=1/2，則cosα=__________【解析】：∵,∴4.設△ABC的內角A，B,C所對的邊分別為a，b,c,且atanB＝eq\f(20，3），bsinA＝4.（1）求cosB和a；（2）若△ABC的面積S＝10，求cos4C的值．解:（1）由bsinA＝4，得asinB＝4，又atanB＝eq\f(20，3），∴cosB＝eq\f（3，5).又由atanB＝eq\f（20，3)知tanB〉0，則sinB＝eq\f（4,5）,tanB＝eq\f(4,3),故a＝5。（2）由S＝eq\f（1,2）acsinB,得c＝5,∴A＝C.由cos4C＝2cos22C－1＝2cos2（A＋C)－1＝2cos2B－1＝2×(eq\f(3，5））2－1＝－eq\f(7，25)。5、設的內角、、的對邊長分別為、、，，,求。分析:由，易想到先將代入得然后利用兩角和與差的余弦公式展開得;又由，利用正弦定理進行邊角互化，得，