八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（人教版）：變量與函數(shù)（學(xué)生版）

第15課變量與函數(shù)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．知道現(xiàn)實(shí)生活中存在變量和常量，變量在變化的過(guò)程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍）；2．能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見(jiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個(gè)值，會(huì)求出相應(yīng)的函數(shù)值．3．對(duì)函數(shù)關(guān)系的表示法（如解析法、列表法、圖象法）有初步認(rèn)識(shí)．4.理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其解析式之間的關(guān)系，會(huì)判斷一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上，明確交點(diǎn)坐標(biāo)反映到函數(shù)上的含義.5.初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點(diǎn)法”畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖象的一般步驟，對(duì)已知圖象能讀圖、識(shí)圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關(guān)系．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01變量、常量的概念在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱(chēng)的量為變量.數(shù)值的量叫做常量.【注意】：一般地，常量是的量，變量是的量，這些都是針對(duì)某個(gè)變化過(guò)程而言的.例如，，速度60千米/時(shí)是，時(shí)間和里程為.【通俗解讀】：常量為數(shù)值（或已知數(shù)值的字母，如），變量為不是數(shù)值的字母（或不知數(shù)值的字母）。找變量和常量，即等式中的數(shù)字記為常量，等式中不知數(shù)值的字母即為變量。例如，中，常量為，變量為。知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的定義一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中.如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的，都有與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，是的函數(shù).【注意】：對(duì)于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：（1）函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）對(duì)于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實(shí)際意義；（3）判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于允許取的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng).（4）兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個(gè)條件：①函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時(shí)容易忽視，這點(diǎn)應(yīng)注意.【通俗解讀】：（1）函數(shù)關(guān)系，實(shí)質(zhì)是兩個(gè)變量的（即一個(gè)方程）；這是二元一次方程的一種轉(zhuǎn)化理解，例如二元一次方程，這個(gè)二元一次方程有組解，這無(wú)數(shù)組解的x和y，分別作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的，那個(gè)我們即可得到個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)就能連成一條直線，即可得到函數(shù)的圖像；（2）兩個(gè)變量是否是函數(shù)關(guān)系，定義“對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的y值與其對(duì)應(yīng)”的含義是：在自變量x與因變量y的等式中（即二元一次方程），給定一個(gè)x的值，是否只能解得一個(gè)y值，如果只能得到個(gè)y值，那么y是x的函數(shù)，如果解得y值，那么y不是x的函數(shù)；例如，，當(dāng)x=1時(shí)，，此種情況即不滿足定義“對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的y值與其對(duì)應(yīng)”，因此y不是x的函數(shù)；知識(shí)點(diǎn)03函數(shù)值是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.【注意】：對(duì)于每個(gè)確定的自變量值，函數(shù)值是，但反過(guò)來(lái)，可以不唯一，即一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè).比如：中，當(dāng)函數(shù)值為4時(shí)，自變量的值為±2.【通俗解讀】：函數(shù)值即為自變量x取一個(gè)值時(shí)，因變量y的值，即函數(shù)值表示因變量y的值；例如：x與y滿足，當(dāng)，函數(shù)值即為將代入，得；知識(shí)點(diǎn)04自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實(shí)數(shù)叫自變量的取值范圍.（當(dāng)自變量為x時(shí)，求使得該等式有意義的x的取值范圍）【注意】：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（1）當(dāng)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是；（2）當(dāng)解析式是分式時(shí)，自變量的取值范圍是；（3）當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是；（4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的；（5）當(dāng)解析式表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.知識(shí)點(diǎn)05函數(shù)的幾種表達(dá)方式變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系有多種表示方法，常見(jiàn)的有以下三種：（1）解析式法：用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的叫做函數(shù)關(guān)系式，也稱(chēng)函數(shù)的解析式.（2）列表法：函數(shù)關(guān)系用一個(gè)表格表達(dá)出來(lái)的方法.（3）圖象法：用圖象表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系.【注意】：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長(zhǎng)處.解析式法能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，這會(huì)對(duì)某些特定的數(shù)值帶來(lái)一目了然的效果，例如火車(chē)的時(shí)刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)，而且對(duì)于一些無(wú)法用解析式表達(dá)的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色.【通俗解讀】：（1）解析式法即為自變量與因變量的等式，即為二元一次方程；圖像法即為解二元一次方程的無(wú)數(shù)組解，將每一組解的x和y作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，描點(diǎn)，即可得出函數(shù)圖像；（2）求函數(shù)解析式，即求自變量x與因變量y的等式，即列出一個(gè)二元一次方程，因變量放在等式左側(cè)（系數(shù)為1），其他項(xiàng)放在等式右側(cè)；知識(shí)點(diǎn)06函數(shù)的圖象對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.【注意】：由函數(shù)解析式畫(huà)出圖象的一般步驟：列表、描點(diǎn)、連線.列表時(shí)，自變量的取值范圍應(yīng)注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或太小，以便于描點(diǎn)和全面反映圖象情況.能力拓展能力拓展考法01變量與常量辨析【典例1】寒冷的冬天里我們?cè)诶每照{(diào)制熱調(diào)控室內(nèi)溫度的過(guò)程中，空調(diào)的每小時(shí)用電量隨開(kāi)機(jī)設(shè)置溫度的高低而變化，這個(gè)問(wèn)題中自變量是（

）A．每小時(shí)用電量 B．室內(nèi)溫度 C．設(shè)置溫度 D．用電時(shí)間【即學(xué)即練】下列關(guān)于圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系式S中，有關(guān)常量和變量的說(shuō)法正確的是（

）A．S，是變量，是常量 B．S，，R是變量，2是常量C．S，R是變量，是常量 D．S，R是變量，和2是常量【即學(xué)即練】一個(gè)長(zhǎng)方體的高為5，底面的寬為a，底面的長(zhǎng)是寬的2倍，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積V可以表示為，其中的自變量是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】一本筆記本5元，買(mǎi)本共付元，則5和分別是（

）A．常量，常量 B．變量，變量C．常量，變量 D．變量，常量【即學(xué)即練】在利用太陽(yáng)能熱水器來(lái)加熱水的過(guò)程中，熱水器里的水溫隨所曬時(shí)間的長(zhǎng)短而變化，這個(gè)問(wèn)題中因變量是（）A．太陽(yáng)光強(qiáng)弱 B．水的溫度 C．所曬時(shí)間 D．熱水器考法02函數(shù)的判斷【典例2】下列各曲線表示的y與x的關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】下列各圖給出了變量x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中y是x的函數(shù)的是（

）A．B．C． D．【典例3】下列關(guān)于變量x，y的關(guān)系，其中y不是x的函數(shù)的是（）A． B．C． D．【典例4】下列關(guān)系式中y不是x的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【典例5】下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．長(zhǎng)方形的寬一定，其長(zhǎng)與面積 B．正方形的周長(zhǎng)與面積C．等腰三角形的底邊與面積 D．速度一定時(shí)，行駛的路程與時(shí)間【即學(xué)即練】下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．長(zhǎng)方形的寬一定，其長(zhǎng)與面積B．正方形的周長(zhǎng)與面積C．等腰三角形的底邊與面積D．圓的面積與圓的半徑考法03函數(shù)值【典例6】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是（

）A． B． C．2 D．1【即學(xué)即練】根據(jù)流程圖中的程序，當(dāng)輸入數(shù)值為-6時(shí)，輸出數(shù)值為（）A．2 B．8 C．-8 D．-2【即學(xué)即練】某商場(chǎng)降價(jià)銷(xiāo)售一批名牌球鞋，已知所獲利潤(rùn)y（元）與降價(jià)金額x（元）之間滿定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣x2＋50x＋600，若降價(jià)10元，則獲利為（

）A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元【即學(xué)即練】變量x與y之間的關(guān)系是，當(dāng)時(shí)，自變量x的值是（

）A．13 B．5 C．2 D．3【典例7】根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入x的值為4時(shí)，輸出的y的值為7，則輸入x的值為2時(shí)，輸出的y的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【典例8】函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（

）．A． B． C． D．【即學(xué)即練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,下列函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-1，1）的是（

）A． B． C． D．【典例9】已知函數(shù)，則當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值y等于（

）A．5 B．6 C．7 D．8【典例10】若函數(shù)y=，則當(dāng)函數(shù)值y=9時(shí)，自變量x的值是（

）A． B．3 C．3或 D．3或考法04自變量的取值范圍【典例11】函數(shù)的自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】已知函數(shù)，則自變量的取值范圍是（）A． B．﹣1且 C． D．【即學(xué)即練】某水庫(kù)的水位高度y（米）與時(shí)間x（小時(shí)）滿足關(guān)系式：，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．時(shí)間是自變量，水位高度是因變量 B．y是變量，它的值與x有關(guān)C．x可以取任意大于零的實(shí)數(shù) D．當(dāng)時(shí)，考法05求函數(shù)解析式【典例12】小明以的速度勻速前進(jìn)，則他行走的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】從地向地打長(zhǎng)途，不超過(guò)3分鐘，收費(fèi)2.4元，以后每超過(guò)一分鐘加收一元，若通話時(shí)間分鐘，則付話費(fèi)元與分鐘函數(shù)關(guān)系式是（

）．A． B． C． D．【即學(xué)即練】把一個(gè)長(zhǎng)為8，寬為3的長(zhǎng)方形的寬增加x(0≤x＜5)，長(zhǎng)不變，所得長(zhǎng)方形的面積y關(guān)于x的表達(dá)式為（

）A．y＝8x B．y＝8x＋24 C．y＝24－x D．y＝8x－24【即學(xué)即練】某商場(chǎng)存放處每周的存車(chē)量為5000輛次，其中自行車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛1元/次，電動(dòng)車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛2元/次，若自行車(chē)的存車(chē)量為輛次，存車(chē)的總收入為元，則與之間的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練】某農(nóng)場(chǎng)有耕地公頃，拖拉機(jī)需要小時(shí)耕完，則未耕地的面積（公頃）與拖拉機(jī)耕地的時(shí)間（小時(shí)）間的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】油箱裝滿30升油，油從油箱的管道均勻流出，90分鐘可以流盡．那么油箱中剩油量y（升）與流出時(shí)間x（分鐘）之間的表達(dá)式是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】已知一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是10，則底邊y關(guān)于腰長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式及定義域?yàn)椋ǎ〢．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．在球的體積公式中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．、、是變量，為常量 B．、是變量，為常量C．、是變量，、為常量 D．、是變量，為常量2．駱駝被稱(chēng)為“沙漠之舟”，它的體溫隨時(shí)間的變化而發(fā)生較大的變化．在這一問(wèn)題中，自變量是(

)A．時(shí)間 B．駱駝 C．沙漠 D．體溫3．下列圖象中，表示y不是x的函數(shù)的是（

）A．B．C．D．4．關(guān)于變量x，y有如下關(guān)系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．若有意義，則x的取值范圍是A．且 B． C． D．6．一輛汽車(chē)從甲地以50km/h的速度駛往乙地，已知甲地與乙地相距150km，則汽車(chē)距乙地的距離s(km)與行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)解析式是()A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)7．李大爺要圍成一個(gè)矩形菜園，菜園的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，用籬笆圍成的另外三邊總長(zhǎng)應(yīng)恰好為24米．要圍成的菜園是如圖所示的矩形ABCD．設(shè)BC邊的長(zhǎng)為x米，AB邊的長(zhǎng)為y米，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是(

)A．y=-2x+24(0<x<12) B．y=-x+12(0<x<24)C．y=2x-24(0<x<12) D．y=x-12(0<x<24)8．變量x與y之間的關(guān)系是，當(dāng)自變量時(shí)，因變量y的值是

A． B．3 C． D．159．已知函數(shù)y＝當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)值y為()A．5 B．6 C．7 D．810．若函數(shù)，則當(dāng)函數(shù)值y＝8時(shí)，自變量x的值是（）A．± B．4 C．±或4 D．4或－題組B能力提升練11．函數(shù)中自變量x的取值范圍是______．12．函數(shù)y＝－x2＋4，當(dāng)函數(shù)值為－4時(shí)，自變量x的取值為_(kāi)_______，當(dāng)函數(shù)值為4時(shí)，自變量x的取值為_(kāi)_______．13．根據(jù)如圖所示的計(jì)算程序計(jì)算變量y的對(duì)應(yīng)值，若輸入變量x的值為﹣，則輸出的結(jié)果為_(kāi)____14．根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入的x值是4或7時(shí)，輸出的y值相等，則b等于()15．地面溫度為15oC，如果高度每升高1千米，氣溫下降6oC，則高度h(千米)與氣溫t(oC)之間的關(guān)系式為_(kāi)__________16．長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為，其中一邊長(zhǎng)為，面積為，則與的關(guān)系可表示為_(kāi)__.17．用每片長(zhǎng)6cm的紙條，重疊1cm粘貼成一條紙帶，如圖．紙帶的長(zhǎng)度y（cm）與紙片的張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是___________________18．等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，設(shè)腰長(zhǎng)為xcm，底邊長(zhǎng)為ycm，那么y與x之間的函數(shù)解析式是_______，其中自變量x的取值范圍是_______．題組C培優(yōu)拔尖練19．