七年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：一元一次方程及其解法講練（學(xué)生版）（人教版）

專題3.1-3.3一元一次方程及其解法講練目標(biāo)導(dǎo)航1.一元一次方程的概念：目標(biāo)導(dǎo)航只含有一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)注意：未知數(shù)在分母中時，它的次數(shù)不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。2.一元一次方程的解方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；（2）等式兩邊都乘或除以同一個不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。4.移項：方程中的某些項改變符號后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。移項的依據(jù)：（1）移項實際上就是對方程兩邊進行同時加減，根據(jù)是等式的性質(zhì)1；（2）系數(shù)化為1實際上就是對方程兩邊同時乘除，根據(jù)是等式的性質(zhì)2。注意：移項時要跨越“=”號，移過的項一定要變號。5.解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1。注意：去分母時不可漏乘不含分母的項。分?jǐn)?shù)線有括號的作用，去掉分母后，若分子是多項式，要加括號。考點精講考點精講考點1：一元一次方程定義及應(yīng)用典例：若是關(guān)于的一元一次方程，則的值是______．方法或規(guī)律點撥本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題型．鞏固練習(xí)1．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級期末）下列各式中，是一元一次方程的是（

）A．x+2y=5 B．x2+x-1=0 C． D．3x+1=102．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）下列是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．3．（2021·山東濱州·七年級階段練習(xí)）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣4x＝3 B．x＝0C．x+2y＝1 D．2（x﹣3）﹣3＝2x+54．（2022·河南鶴壁·七年級期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022·四川資陽·七年級期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤6．（2021·全國·七年級期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2022·全國·七年級單元測試）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值是______．8．（2022·河南南陽·七年級期末）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值可以是______寫出一個即可9．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一個一元一次方程，則a等于______．10．（2021·四川廣元·七年級期末）若關(guān)于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解為x＝1，則a+m的值為_____．考點2：一元一次方程的解典例：（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）若x＝3是關(guān)于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，則代數(shù)式10﹣3m＋n的值是___．方法或規(guī)律點撥此題考查了一元一次方程的解的含義以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的解的含義．鞏固練習(xí)1．（2022·福建泉州·七年級期末）下列方程中，解是的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建泉州·七年級期末）若是關(guān)于的方程的解，則的值為（

）A．2 B．8 C．－3 D．－83．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若是方程的解，則a的值是（

）A．1 B．1 C．2 D．—4．（2022·湖南湘西·七年級期末）是下列哪個方程的解（）A． B．C． D．5．（2022·四川成都·七年級期末）已知關(guān)于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，則a的值為（）A．1 B． C． D．﹣26．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）已知是方程的解，則______．7．（2022·新疆塔城·七年級期末）若是關(guān)于x的方程的解，則________．8．（2021·河南洛陽·七年級期末）若關(guān)于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解為x＝﹣2，則a的值為_____．9．（2022·河南南陽·七年級期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．10．（2022·河南南陽·七年級期中）己知方程3x+m+4＝0的解為x＝m，則m＝______．23．（2022·遼寧大連·七年級期末）已知x=1是關(guān)于x的方程6-（m-x）=5x的解，則代數(shù)式m2-6m+2=___________．考點3：等式的性質(zhì)典例：（2022·貴州銅仁·七年級期末）下列運用等式的性質(zhì)進行的變形，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么． C．如果，那么 D．如果，那么方法或規(guī)律點撥本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．鞏固練習(xí)1．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）下列等式變形，正確的是（

）A．若5x=7-4x，則5x-4x=7 B．若7x=2，則x=3.5C．若x-3(4x-1)=9，則x-12x-3=9 D．若，則2(3x-2)=x+2-6．2．（2022·黑龍江大慶·期末）下列各式運用等式的性質(zhì)變形，正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．若，則3．（2022·河南南陽·七年級期末）下列變形正確的是（

）A．與 B．得C．得 D．得4．（2020·湖南常德·七年級期末）下列方程的變形，正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得5．（2022·山東威?！て谀┮阎仁?，則下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）下列敘述中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）下列等式的變形中，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么8（2022·福建泉州·七年級期中）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（

）A．若，則a＝b B．若，則3x＋4x＝1C．若ab＝bc，則a＝c D．若4x＝a，則x＝4a9（2022·河南南陽·七年級期中）下列變形正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得10．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）下面四個等式的變形中正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由4（），得11．（2021·河北承德·七年級期末）在下列式子中變形一定正確的是（

）A．如果2a=1，那么a=2B．如果a=b，那么C．如果a=b，那么a+c=b+cD．如果a－b+c=0，那么a=b+c12．（2022·河南南陽·七年級期中）下列變形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移項、合并得5x＝0；③由方程2兩邊同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程兩邊同除以，得x＝1；其中錯誤變形的有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．313．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）下列變形正確的是（）A．如果ax＝bx，那么a＝bB．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1C．如果x＝y(tǒng)，那么x﹣5＝5﹣yD．如果（a2+1）x＝1，那么x＝14．（2022·湖南岳陽·七年級期末）下列變形不一定正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則15．（2022·河北張家口·七年級期末）下列變形中，正確的是(

)A．若5x﹣6=7，則5x=7﹣6 B．若﹣3x=5，則x=C．若5x﹣3=4x+2，則5x﹣4x=2+3 D．若，則2（x﹣1）+3（x+1）=116．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．考點4：解一元一次方程—移項合并同類項典例：（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解為（

）A．－1 B．1 C．3 D．－32．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．3．（2022·福建泉州·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．4．（2022·陜西漢中·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．5．（2022·吉林長春·七年級期末）若是關(guān)于x的方程的解，則m的值為_________．6．（2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級期末）關(guān)于的方程的解是，則________．7．（2022·河南南陽·七年級期末）已知方程與的解相同，則k的值為______．8．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．9．（2022·吉林長春·七年級期末）解方程：．10．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．考點5：解一元一次方程—去括號典例：解方程(1)(2)方法或規(guī)律點撥本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．鞏固練習(xí)1．（2022·河南南陽·七年級期中）已知是方程的解，則的值是_________．2．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知代數(shù)式與的值相等，那么______．3．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級期末）解方程：3-2（x+1）=2（x-3）4．（2022·吉林長春·七年級期末）解方程：．5．（2022·湖南衡陽·七年級期末）解方程6．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程：．7．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程：8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）對兩個任意有理數(shù)、，規(guī)定一種新的運算：，例如：．根據(jù)新的運算法則，解答下列問題：(1)求的值；(2)若，求的值．9．（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）對于兩個非零常數(shù)a，b，規(guī)定一種新的運算：，例如，．根據(jù)新運算法則，解答下列問題：(1)求的值；(2)若，求x的值．考點6：解一元一次方程—去分母典例：（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）解方程(1)(2)(3)(4)方法或規(guī)律點撥本題考查正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是理解題意表示出紅色、黑色所代表的數(shù)字．鞏固練習(xí)1．（2022·江蘇·七年級單元測試）解一元一次方程時，去分母正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程時，去分母結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022·山東威?！て谀┰诮怅P(guān)于x的方程時，小穎在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）下列解方程變形：①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；②由，去分母得2x－3x＋3＝6；③由，去括號得4x－2－3x＋9＝1；④由，得x＝3．其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖的框圖表示解方程的流程，其中第步和第步變形的依據(jù)相同，這兩步變形的依據(jù)是（

）A．乘法分配律 B．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)C．等式的基本性質(zhì) D．等式的基本性質(zhì)6．（2022·山西呂梁·七年級期中）將方程去分母得到，錯在（

）A．分母的最小公倍數(shù)找錯B．去分母時，漏乘了分母為1的項C．去分母時，分子部分沒有加括號D．去分母時，各項所乘的數(shù)為各分母的最小公倍數(shù)127．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）解方程：8．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）解方程：(1)5x+2＝7x﹣8；(2)．9．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）解方程：(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0(2)10．（2021·吉林油田第二中學(xué)七年級期中）解方程：11．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)七年級期末）解方程(1)6x﹣7＝4x﹣5(2)＝1﹣12．（2022·河南·鄭州二七優(yōu)智實驗學(xué)校七年級期末）解下列方程：(1)32x－64＝16x＋32；(2)－x＝3－．13．（2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級期末）解方程(1)(2)14．（2022·山東濟南·七年級期末）解方程：(1)(2)15．（2022·貴州銅仁·七年級期末）方程的解與方程的解相同，求m值．考點7：一元一次方程拓展訓(xùn)練典例：（2022·廣西防城港·七年級期中）用“★”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16(1)（﹣3）★2＝．(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了新定義運算，一元一次方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·吉林長春·七年級期末）已知．當(dāng)時，；當(dāng)時，．則方程的解可能是（

）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.052．（2022·河南南陽·七年級期中）我們把稱為二階行列式，且=，如=－=－10．若=6，則的值為（

）A．8 B．－2 C．2 D．－53．（2022·河北承德·七年級期末）解一元一次方程的過程就是通過變形，把一元一次方程轉(zhuǎn)化為的形式，下面是解方程的主要過程，方程變形對應(yīng)的依據(jù)錯誤的是（

）解：原方程可化為（

①

）去分母，得（

②

）去括號，得（

③

）移項，得（

④

）合并同類項，得（合并同類項法則）系數(shù)化為1，得（等式的基本性質(zhì)2）A．①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) B．②等式的基本性質(zhì)2C．③乘法對加法的分配律 D．④加法交換律4．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）對于兩個不相等的有理數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如min{2，-4}＝-4，則方程min{x，-x}＝3x＋4的解為（

）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝25．（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）某同學(xué)解方程時，把“”處的系數(shù)看錯了，解得，他把“”處的系數(shù)看成了（

）A．3 B． C．4 D．6．（2022·湖北孝感·七年級期末）用“*”定義一種運算：對任意的有理數(shù)x和y：x*y＝mx＋my＋1（m為常數(shù)），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，則（－1）*（－3）的值為（

）A．－7 B．－5 C．－13 D．－117．（2022·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程有無窮多個解，則______．8．（2022·江蘇·七年級單元測試）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程，無論k為何值，它的解總是x＝2，則a＋b＝________．9．（2021·河南信陽·七年級期末）若關(guān)于的方程與方程的解相同，則的值為____________．10．（2022·河南鄭州·七年級期末）關(guān)于x的一元一次方程，其中m是正整數(shù)．若方程有正整數(shù)解，則m的值為_____________．11．（2022·福建泉州·七年級期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)我們定義運算法則“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值為______．12．（2021·河北承德·七年級期末）設(shè)a，b，c，d為有理數(shù)，則我們把形如的式子叫做二階行列式，它的運算法則用公式表示為，利用此法則解決下列問題：（1）___________________；（2）若，則x值為_______________．13．（2022·河南駐馬店·七年級期中）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，那么關(guān)于的一元一次方程的解是_________．14．（2022·山東煙臺·期末）若關(guān)于x的方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù)，則k=______．15．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解___________．16．（2022·四川省九龍縣中學(xué)校七年級期末）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程．(1)求代數(shù)式的值；(2)求關(guān)于y的方程m|y－2|＝x的解．17．（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知關(guān)于x的整式，整式，若a是常數(shù)，且的值與x無關(guān)．(1)求a的值；(2)若b為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整數(shù)，求的值．18．（2022·河南南陽·七年級期中）（1）取何值時，代數(shù)式與的值互為相反數(shù)？（2）取何值時，關(guān)于的方程和的解相同？19．（2022·河南洛陽·七年級期中）當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程和的解相同？【答案】##20．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為；(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．21．（2022·河南駐馬店·七年級期末）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解為，則稱該方程為“商解方程”．例如：2＋x＝4的解為x＝2且，則方程2＋x＝4是“商解方程”．請回答下列問題：(1)判斷3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若關(guān)于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．22．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”．(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解，則_____；(2)若關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，則_______；(3)若關(guān)于x的方程的解也是關(guān)于x的方程的解，且這兩個方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2022·全國·七年級單元測試）下列方程是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．2．（2022·福建福州·七年級期末）下列根據(jù)等式的性質(zhì)正確變形的是（

）．A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得3．（2022·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）根據(jù)“x與5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（）A． B．C． D．4．（2022·甘肅·景泰縣第四中學(xué)七年級期中）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形拼接而成，第①個圖案有4個三角形和1個正方形，第②個圖案有7個三角形和2個正方形，第③個圖案有10個三角形和3個正方形，…依此規(guī)律，如果第n個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)共有2021個，則n=（

）．A．503 B．504 C．505 D．5065．（2022·浙江衢州·七年級期末）如圖，將4張形狀、大小完全相同的小長方形紙片分別以圖1、圖2的方式放入長方形ABCD中，若圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，則圖中BE的長為（

）A． B． C．1 D．26．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為（

）A． B． C． D．二、填空題（每題3分）7．（2022·河南鶴壁·七年級期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，則的值為__