最值問題（“胡不歸”和“阿氏圓”）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向35最值問題（“胡不歸”和“阿氏圓”）

【考點(diǎn)梳理】

模型一：“胡不歸”

問題分析

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短‘‘，雖然從他

此刻位置A到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲

痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？

看到這里很多人都會有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線

呢？這就是今天要講的“胡不歸''問題.

模型展示:

如圖，一動點(diǎn)尸在直線MN外的運(yùn)動速度為Vl,在直線MN上運(yùn)動的速度為V2,且口＜V2,A、8為定點(diǎn)，點(diǎn)C

在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使生+挺的值最小.

匕V1

ACBC1BC+乂V

-----+----------AC,記k=」?，

V2V,V11匕)?

即求BC+以C的最小值.

構(gòu)造射線AO使得SinND4N=hCH∕AC=k,CH=kAC.

CH=kAC

將問題轉(zhuǎn)化為求8C+CH最小值，過8點(diǎn)作BH,A。交MN于點(diǎn)C,交AO于H點(diǎn)，此時(shí)8C+C”取到最小值，即

BC+AAC最小.

最值解法：在求形如“∕?+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與小B相等的線段，將“出+在8”型問題轉(zhuǎn)化為

“B4+PC型.

模型二：“阿氏圓”

問題分析：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA:PB=A(厚1),則滿足條件

的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

模型展示：如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k(k≠l),則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓.

(1)角平分線定理：如圖，在AABC中，AD是/BAC的角平分線，則?=二.

ACDC

正明.SABD_BDSA8,_ABXDE_A8即AB_DB

'SACD-CD'Sacd~AC×DF~AC'~AC~~DC

(2)外角平分線定理：如圖，在AABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D,則竺=我.

ACDC

證明:在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=Ae,連接BD,則4ACD0Z?AED(SAS),CD=ED且AD平分/BDE,

'~DE~~AE'AC-DC

接下來開始證明步驟：

如圖，PA：PB=Z,作/APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，—=—=k,故M點(diǎn)

MBPB

為定點(diǎn)，即/APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作ZAPB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線

NAPA

定理，—≈-=?,故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即NAPB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又ZMPN=90。，定邊對定

NBPB

角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓.

模型最值技巧:

計(jì)算PA+Z?PB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得Q4+3P3的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,OB

②計(jì)算出這兩條線段的長度比上-=Z

OB

OCPC

③在OB上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造△POMS∕?BOP,則一=k,PC=k?PB

OPPB

④則B4+A>~B=A4+PC≥AC,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值

【題型探究】

題型一：胡不歸模型

1.如圖，在ABC中，NBAC=90。,NB=60。,AB=4,若。是BC邊上的動點(diǎn)，則2AQ+OC的最小值是()

DC

C.10D.12

2.如圖，在AABC中，AB=AC=4,ZCAB=30o,AD±BC,垂足為￡>,P為線段AO上的一動點(diǎn)，連接PB、PC.則

∕?+2PB的最小值為.

3.拋物線y=οχ2+法+6分別交X軸于點(diǎn)4(1,0),B(-3,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸與X軸相交于點(diǎn)

點(diǎn)M為線段OC上的動點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動點(diǎn)，且朋NLAC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)線段MMNC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；

(3)在M,N移動的過程中，OM+gMC是否有最小值，如果有，請寫出理由.

題型二；“阿氏圓”模型

4.如圖，正方形ABCz)的邊長為4,B的半徑為2,P為B上的動點(diǎn)，則&PC-尸。的最大值是

5.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于/ACB.P為圓。上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于/ACB

的兩邊，垂足為“、N,則PM+2PN的取值范圍為.

6.如圖1,拋物線y=α√+∕>χ-4與X軸交于48兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對稱

3

軸是直線x=：.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸使四邊形ABPC的面積為16,若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點(diǎn)B作BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)F,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作OC,點(diǎn)。為C上的一個(gè)動

點(diǎn)，求受BQ+FQ的最小值.

4

【必刷好題】

一、單選題

7.如圖，在RfAABC中，ZACB=90o,CB=I,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,P為。C上一動點(diǎn)，連接

D.2√B

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/-2χ+c的圖象與X軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)8(0,-3),

若P是X軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)O(0,1)在)，軸上，連接P。，則&P。+PC的最小值是()

h32

C.2√2D.-+-

23

9.如圖，在ΔA3C中，NA=90。，/3=60。，AB=2,若。是BC邊上的動點(diǎn)，則2AO+￡）C的最小值（）

A.26+6B.6C.√3+3D.4

二、填空題

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)），=*X-G分別交X軸、y軸于4、B兩點(diǎn),若C為X軸上的一動點(diǎn),

則2BC+AC的最小值為.

11.如圖，QABCD中NA=60。，AB=6,AD=2,尸為邊8上一點(diǎn)，則行Po+2P8的最小值為

12.如圖，在ZVlCE中，CA=CE,ZCAE30°,半徑為5的，。經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑AB在

線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則0。+；C。的最小值為.

C

13.如圖，在AACE中，CA=CE,NcAE=30。，半徑為5的。。經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑AB在

線段AE上，設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則；Co的最小值為

14.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，40,4),8(4,0),P是第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，OP=2,連接AP、BP,貝∣J8尸+^AP

15.如圖，在O中，點(diǎn)A、點(diǎn)6在」。上，NAO3=90。，OA=6,點(diǎn)C在。4上，且OC=2AC,點(diǎn)。是OB的中

點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動點(diǎn)，則CM+2。〃的最小值為

16.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，則PD-PC的最大值為

D

17.如圖，在RlABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是扇形AEF的好'上任意一點(diǎn)，連

接BP,CP,則^?8P+CP的最小值是.

18.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動點(diǎn)，則PD-TPC的最大值為

三、解答題

19.如圖1,拋物線產(chǎn)加+(α+3)χ+3("0)與X軸交于點(diǎn)A(4,0),與)，軸交于點(diǎn)B,在無軸上有一動點(diǎn)E(,%0)

(0<∕n<4),過點(diǎn)E作X軸的垂線交直線AB于點(diǎn)M交拋物線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

(2)設(shè)△PMN的周長為C∣,AAEN的周長為C?,若m=《求機(jī)的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到0￡,旋轉(zhuǎn)角為α(0o<a<90o),連接EA、EB,

求的最小值.

20.如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該

直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,在AABC中，AB=AC=I,ZBAC=108o,Z)E垂直平分AB,且交BC于點(diǎn)

D,連接AD

(1)證明直線Ao是的自相似分割線；

(2)如圖2,點(diǎn)P為直線力E上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到什么位置時(shí)，∕?+PC的值最??？求此時(shí)∕?+PC的長度.

(3)如圖3,射線C尸平分NACB,點(diǎn)0為射線C尸上一點(diǎn)，當(dāng)AQ+且二?C。取最小值時(shí)，求ZQAC的正弦值.

4

21.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=0v2(q>o)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所

示的拋物線，該拋物線與X軸交于點(diǎn)A、8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，04=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=去+O(ZwO)的

圖象與軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為O,AABD的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求ΔACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);

3

(3)若點(diǎn)P為X軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求PE+gPA的最小值.

參考答案:

1.D

【分析】過點(diǎn)C作射線CE,使NBCE=30。，再過動點(diǎn)。作。F_LCE,垂足為點(diǎn)凡連接A。，在M△z）FC中，

ZDCF=30°,。尸=gOC,24。+OC=2（4。+：。C）=2（AO+。F）當(dāng)A,尸在同一直線上，即A尸J_CE時(shí)，AD+￡）尸

的值最小，最小值等于垂線段AF的長.

【詳解】解：過點(diǎn)C作射線CE,使N8CE=30。，再過動點(diǎn)。作OFLCE,垂足為點(diǎn)F,連接AO,如圖所示：

在Rt△￡>FC中，ZDCF=30°,

：.DF=-DC,

2

,.?2AD+OC=2（A。+gDC）

=2（AD+DF）,

當(dāng)A,D,尸在同一直線上，即/FJ_CE時(shí)?，A。+）?的值最小，最小值等于垂線段加■的長，

此時(shí)，ZB=ZADB=6（）,

：.ZiABD是等邊三角形，

；?AD=3E>=AB=4,

在RL.ABC中，NA=90°,N8=60°,AB=4,

.,.BC=S,

：.DC=4,

.,.DF=-DC=I,,

2

：.AF=AD+DF=4+2=6,

：.2（AD+DF）=2AF=12,

：.2（A。+。C）的最小值為12,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的

思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

2.4√2

【分析】在/B4C的外部作NcAE=I5。，作于凡交4。于P,止匕時(shí)BU2PB=2(；PA+P“=；(PF+PB)

=2BF,通過解直角三角形ABR進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖,

在/BAC的外部作NCAE=I5。，作BF_LAE于凡交A。于P,

此時(shí)∕?+2PB最小，

ZAFB=90o

'：AB=AC,ADlBC,

：.ZCAD=ZBAD=-ZBAC=l×30o=15o,

22

.?.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

.-.PF=-PA,

2

.?PA+2PB=2^PA+PB^=^PF+PB)=2BF,

在Rt△ABF中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45o,

.?.BF=AB?sin45°=4x^=2√2.

2

(PA+2PB)取大=2BF=4丘,

故答案為：4√2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

3.(l)y=-立尤2-逑χ+石

33

(2)NC=GMN,見解析

(3)有，最小值為G

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解:

(2)在RtdAOC中，OC=6,OA=I,根據(jù)仞VLAC,有NMNC=90°,即可得tan/。CA=器=黑，問題

得解;

(3)先求出NoC4=30。，即NQ4C=60。，即有MN=‘CM,則DM'/C的最小值是。W+MV的最小值，即

22

點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，問題隨之得解.

【詳解】把點(diǎn)代入拋物線中得：

(1)A(l,0),8(—3,0)y=d+zλv+6

a+b+?∕3=O

解得:

9a-3?+√3=02√3

，拋物線的解析式為：y=-3∕一亞X+6；

33

(2)NC=6MN,

理由是：如圖1,

令X=0,貝IJy=石，即C(O,√J),

VA(l,0),C(θ,√3),

二，＜9C=√3,OA=],

在RtAOC中，OC=石，OA=I,

,：MNA.AC,

：.ZMNC=90。，

???tanNZoeA=OA=MN,

OCNC

.1_MN

,飛=詬,

；?NC=拒MN；

(3)在M,N移動的過程中，OM+；MC有最小值是6,理由如下:

由（2）知：tanNOCA=色a=4?=?^?,

OC√33

ΛZOCA=30°,即/O4C=60。，

.*.MN=-CM,

2

.?.。歷+gwC的最小值是Z)M+MN的最小值，即。、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)。到AC的垂線段ON的長，如圖2,

拋物線解析式為：y=-3∕-亞x+K；

33

二對稱軸是：x=-l,即。(-1,0),

/?AD=OA+OD=?+l=2,

在RtZVlZW中，NDAN=60。，

/.DN=ADXsinZDAN=6,

即DM+-MC=DM+MN=DN=4i,

2

在M,N移動的過程中，DA?+/MC有最小值是由.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形以及垂線段最短等知

識.題目難度不大，細(xì)心作答即可.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

4.2

【分析】解法1,如圖：以Po為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形APDM,連接MC,BD,連接月W、DM,推得

√2PC-PD=√2PC-等產(chǎn)可=√Σ(PC-PM),因?yàn)镻C-月W≤ΛYC,求出VC即可求出答案.

解法2：如圖：連接30、BP、PC,在3。上做點(diǎn)M,使網(wǎng).=立，連接MP,證明ABAVWPD,在BC上

BP4

做點(diǎn)N,使瞿二，連接NP,證明ABNPASPC,接著推導(dǎo)出&PC-PD=20MN,最后證明.BMNABCD,

DΓ2

即可求解.

【詳解】解法1

如圖：以Pz）為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形APDM,連接MC,BD,

四邊形ABC。正方形

ZBZX7=45°,—=√2

DC

又.ZPDM=APDB+MDB,NBDC=ZMDB+MDC

.?.ZPDB=ZMDC

在ABPD與一例尸C中

ZPDB=ZMDC,—

DC

???ABPDMPC

BP=2

MC=也

√2PC-PD=√2PC-與PD=E(PC-PM)

PC-PM<MC

：.√2PC-PD=√2(PC-PM)≤√2MC=2

故答案為：2.

解法2

如圖：連接8￡>、BP、PC

根據(jù)題意正方形488的邊長為4,B的半徑為2

???BP=2,BD=y∣BC2+CD2=√42÷42=4√2

BP_2-√2

^D-4√2^V

在8。上做點(diǎn)用，使也=也,則BM=正，連接MP

BP42

在JBMP與ABPD中

BPBM

ZMBP=NPBD,—=——

BDBP

?.BMP^BPD

.?.—二立，則PD=IyJlPM

PD4

BP_2_\

~BC~4~2

在BC上做點(diǎn)N,使緇=g,則BN=1,連接NP

在.ABNP與ABPC中

八BNBP

/NBP=/PBC,—=—

BPPC

.?ABNP∕?BPC

PN1

——=一，則PC=2PN

PC2

如圖所示連接NM

.?.√2PC-PD=√2×2PN-2√2PM=2√2(PN-PM)

PN-PM<NM

:.√2PC-PD=2√2(PN-PM)￡2叵NM

在：BMN與ABCD中

也6BN_1-√2

ZNBM=ZDBC,BM菅邛，法=刁Tg

^BC

BMBN

~BC~~BD

??BMNABCD

,MN

,CD-V

CD=4

,MN=-

2

Γy

「?2√2M∕V=2√2×-=2

2

，叵PC-PD≤2√2W=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識，難度較大，熟悉以上知識點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

5.6-2例IpM+2PN6+2√3

【分析】根據(jù)題意，本題屬于動點(diǎn)最值問題，阿氏圓''模型，首先作NP于”，作用/J.8C于尸，如圖所示，

通過代換，將尸M+2PN轉(zhuǎn)化為PN+；PM=PN+HP=M/,得到當(dāng)MP與。相切時(shí)，M廠取得最大值和最小值,

分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解直角三角形即可得到相應(yīng)最值，進(jìn)而得到取值范圍.

【詳解】解：作ΛWJ.ΛP于”，作MLBC于尸，如圖所示：

PM工AC,PNLCB,

：,/PMC=NPNC=90。,

:.ZMPN=360o-ZPMC-ZPNC-ZC=120°,

.?.ZMPH=180o-ZMPN=60°,

.?.HP=PM?cosZMPH=PM?cos60o=-PM,

2

:.PN4PM=PN+HP=NH,

2

MF=NH,

.?.當(dāng)用P與（O相切時(shí)，M尸取得最大和最小，

①連接OP,OG,OC,如圖1所示:

圖1

可得：四邊形OHWG是正方形，

MG=OP=2,

在RQCOG中，CG=OG?tan6(T=2G,

:.CM=CG+GM=2+2y∕3,

在RtzλCMF中，MF=CM?sin60o=3+√3,

...”N=MF=3+6即PM+2PN=2gPM+PN)=2//N=6+23

②連接OP,OG,OC,如圖2所示：

圖2

可得：四邊形ORWG是正方形，

.-.MG=OP=2,

由上同理可知：在RJCoG中，CG=OG?tan60。=26,

:.CM=CG-GM=2√3-2,

在RtATMF中，MF=CMsin60o=3-√3,

：,HN=MF=3-+,即PM+2PN=PM+PN)=2HN=6-2√3,

.?.6-2√?JPM+2PN6+2√3.

故答案為：6-2描IjPM+2PN6+2>Λ?

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)最值模型，阿氏圓”，難度較大，掌握解決動點(diǎn)最值問題的方法，熟記相關(guān)幾何知識，尤其是

圓的相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.

6.(1)J=X2-3X-4

(2)P(L6)或(3,4)

⑶歷

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對稱軸是直線X=?∣.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，

(2)先求得直線BC解析式，設(shè)可，”,蘇-3機(jī)-4),則Q(m,m-4),過點(diǎn)P作PQ軸交直線BC于點(diǎn)Q,根據(jù)

Smi彩ABPC=SABC+Sss等于16建立方程，解一元二次方程即可求得機(jī)的值，然后求得P的坐標(biāo)，

(3)在C8上取CE=也，過點(diǎn)E作EG,OC,構(gòu)造CQEScBQ,則當(dāng)尸,Q,E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小

2

值為FE,勾股定理解直角三形即可.

(1)

解：；拋物線y=0χ2+Ar-4與X軸交于43兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對稱軸是直線

3

X=一,

2

???C(OT),

__b_=i

<2a2,

a-b-4=0

[a=1

解得,v

拋物線解析式為：y=f-3x-4,

(2)

當(dāng)y=0,BPX2-3X-4=0,

解得Xl=-I，%=4,

.?.β(4,0),

C(OT),

設(shè)直線BC解析式為y=h+%,

∫-4=?

∣4Λ+?=0,

k=l

解得

b--4

???直線BC解析式為y=χ-4,

設(shè)網(wǎng)北療_3切一4),過點(diǎn)P作PQ軸交直線BC于點(diǎn)、Q,

則2(m,m-4),

S四邊形ABPC=Sabc+5bcp

=；X(4+1)X4+；(M

-4-W2+3w+4)×4=-2ιn2÷8∕w+10,

四邊形4spe的面積為16,

??-2m2+8m+10=16，

解得肛=l,"i2=3,

???夕(1,6)或(3,4),

(3)

如圖，過點(diǎn)4作斯，5C交拋物線的對稱軸于點(diǎn)尸，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作C,

X=；3是拋物線的對稱軸，=4-∣3=∣5

8(4,0),C(0,4),

.?.O8=4,OC=4,

.?,BC=4√2，NOBC=45。，

BFLBC,

.-.ZFBO=45°,

在CB上取CE=也，過點(diǎn)E作EGLOC,交V軸于點(diǎn)G,交拋物線對稱軸于點(diǎn)H,則CG=EG="xsin45?！?

222

31

EH=-——=1

22

:.FH=6,

CQ=2,CE=^,BC=4√L

√1

.CE???√2Cg2√2,NQCE=NBCQ,

；._CQESLCBQ,

.EQCQ42

-Bβ-CB^V

：.QE=WBQ,

BQ+FQ≥FE,

當(dāng)￡0,E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為房,

EGLFG

：.EF=^HEL+HF1=√l2+62=√37?

則正8Q+F。的最小值為百.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.

7.B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM,使得CM=I,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)證明MP=^PA,

n?^?AP+BP=PM+PB>BM,利用勾股定理求出BM即可解決問題.

答案詳解：如圖，在CA上截取C",使得CM=1,連接PM,PC,BM.

VPC=3,CM=I,CA=9,

.?PC2=CM?CA,

.PCCM

.?----=------,

CACP

,:ZPCM=ZACP,

：ZCMSXACP、

：.PM=-PA

39

;」AP+BP=PM+PB,

3

YPM+PB≥BM1

在RtABCM中，VZBCΛ√=90o,CM=?,BC=I,

：?BM=屈+7?=5近,

Λ∣AP+B∕>5√2.

.??gap+8尸的最小值為5正.

故選：B.

8.A

【分析】過點(diǎn)尸作尸〃BC于J,過點(diǎn)。作Z)HLBC于H根據(jù)aPD+PC=&PD+^Pc}=42(PD+PJ),

求出OP+/V的最小值即可解決問題.

【詳解】解：過點(diǎn)P作臼，BC于J,過點(diǎn)。作。LBC于”.

;二次函數(shù)y=N-2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)8(0,-3),

Λc=-3,

二.二次函數(shù)的解析式為y=N-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得X=-1或3,

ΛA(-1,0),B(0,-3),

.?OB=OC=3f

VZBOC=90o,

NOBC=NoCB=45。,

VD(0,1),

ΛOD=If80=4,

VDHlBC9

：.ADHB=Wo,

設(shè)W∕=x,貝IJBH=X,

DH2+BH2=BD2

?,?x2+x2=42,

.*.χ=2√2,

,DH=2y∣2，

?：PJLCB,

???NPJC=90。,

Λ√2PD+PC=√2PD+—PC=√2(PD+PJ),

?/

,.?DP+PJ≥DH,

?,?DP+PJ≥2>∕2,

。尸+/V的最小值為20，

y[2PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

9.B

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)Al連接AAIAD,過D作DE，AC于E,易得2DE=CD,AD=A'D,從而得出

AD+DE=A'D+DE,當(dāng)A',D,E在同一直線上時(shí)，AD+DE的最小值等于A，E的長是3,進(jìn)而求出2AD十CD的

最小值.

【詳解】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A：連接AA；AD,過D作DEXAC于E

；/BAC=90<>,NB=60。，AB=2

.?.BH=1,AH=G,AA,=2G,ZC=30°

DE=gCD,即2DE=CD

；A與At關(guān)于BC對稱

ΛAD=A,D

ΛAD+DE=A'D+DE

.?.當(dāng)A?D,E在同一直線上時(shí)

AD+DE的最小值等于A,E的長，

在Rt4AA'E中：A'E=sin60o×AA'=???×2√3=3

2

/.AD十DE的最小值為3

Λ2AD+CD的最小值為6

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的動點(diǎn)最值問題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵.

10.6

【分析】先求出點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求A8的長，作點(diǎn)B關(guān)于。4的對稱點(diǎn)8',可證ΔABB'是等邊三角

形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH=^AC,則28C+AC=2(8'C+CW),即當(dāng)點(diǎn)B',點(diǎn)C,點(diǎn)”三點(diǎn)共線時(shí)，B'C+CH

有最小值，即28C+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：???一次函數(shù))，=乎X-百分別交X軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，

點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)網(wǎng)0，-6)，

.?.AO=3,Bo=6,

2222

AB=>JOA+OB=y∣3+(√3)=2√3,

作點(diǎn)8關(guān)于。4的對稱點(diǎn)力，連接AS',B'C,過點(diǎn)C作CHLAB于H,如圖所示：

/?OB=OB'=日

：.BB'=2√3,AB=AB=2退

AB=Aff=BB',

?*?ΔA88'是等邊三角形，

?/AOLBB',

：.ZBAO-ZBAB'=30°,

2

'：CHA.AB,

.,.CH=-AC,

2

.?.2BC+AC=2(BC+；AC)=2(*C+C"),

.?.當(dāng)點(diǎn)8',點(diǎn)C,點(diǎn)”三點(diǎn)共線時(shí)，8'C+CH有最小值，即2BC+4C有最小值，

此時(shí)，SH±AB,ΔA89是等邊三角形，

，BH=AH=√3,ZBB1H=30°,

.,?B'H=y∣B1A2-AH2=J(2可一My=3，

.?.2BC+AC的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的

位置是解題的關(guān)鍵.

11.6√3

【分析】作P”一LAO交AO的延長線于H,由直角三角形的性質(zhì)可得"P=巫。P,因此

2

√3PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB),當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P+P8有最小值，即由ρ。十2PB有最小值，即

2

可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PHJ交A。的延長線于H,

四邊形ABC。是平行四邊形,

.-.ABIICD,

；.ZA=NPD"=60°

VPHLAD

：.ZPPW=30°

：.DH=gpD,PH=CDH=與PD,

.?.CPD+2PB=2吟PD+PB)=2(PH+PB)

???當(dāng)點(diǎn)”，點(diǎn)P,點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，“P+PB有最小值，即6PO+2PB有最小值，

此時(shí)BH±AH,ZAB”=30°,ZA=60o,

：.AH=^AB=3,BH?√3AW?3√3

則√3PD+2PB最小值為66，

故答案為：6-73.

【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識.構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

12.史

2

【分析】過點(diǎn)C作關(guān)于4E的平行線，過點(diǎn)。作EW垂直于該平行線于H,可將《CD轉(zhuǎn)化為EW,此時(shí)OD+《C￡)

就等于OO+QH,當(dāng)Orw共線時(shí)，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作LW垂直于該平行線于H,

CHHAB,NC4E=30°,OC=OA,

ZHCA=ZOCA=30o,

HJ)1

.FinNHCO=——=—,NHCO=60°,

CD2

..-CD=HD

29

.?OD+-CD=OD+DH,

2

當(dāng)O,D,"三點(diǎn)共線，即在圖中〃在“，位置，。在少位置的時(shí)候有O。+。H最小,

???當(dāng)O,D,H三點(diǎn)共線時(shí)，OO+gc。有最小值，

止匕時(shí)OH'=OCxSinZHCO=OC×sin60o=5×-=—,

22

，。力+1c。的最小值為遞，

22

故答案為攣.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

2

IQ5√3

i?.-----

2

【分析】作OF平分NAoC,交。。于F,連接AF、CF、DF,易證四邊形AoCF是菱形，根據(jù)對稱性可得DF=DO.過

點(diǎn)。作。H,OC于”，易得OH=gθC,從而有TCZ)+OD=OH+FD根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)尸、D、H≡

點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD(BP∣CD+OD)最小，然后在Rr△OHF中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題.

【詳解】解：作OF平分/AOC,交。。于尸，連接AF、CF、OF,如圖所示，

?.?OA=OC,

.?ZOCA=ZOAC=30o,

∕COB=60°,

K∣JZAOF=ZCOF=IZAOC=?(180o-60o)=60°.

,.?OA=OF=OC,

：./XAOF,△(%)F是等邊三角形，

：.AF=AO=OC=FC,

；?四邊形40C尸是菱形，

根據(jù)對稱性可得DF=DO.

過點(diǎn)D作DHLOC于H,則DH=TDC,

：.；CD+0D=DH+FD.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，

當(dāng)F、D、4三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD(即TCQ+0。)最小,

?/OF=OA=59

：.OH=-OF=-,

22

FH=yjOF2-OH2=—

2

即:CD+OD的最小值為Sl.

22

故答案為：攣.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓半徑相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、

等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，把gCZHO力轉(zhuǎn)化為。H+F。是解題的關(guān)鍵.

14.√17

CPΓ)?PTCP1

［分析】取點(diǎn)7(0,1),連接PT,BT.根據(jù)。產(chǎn)=OTQ,有方=器，即可證明POTSAOP,即有位=春竹,

進(jìn)而可得PT=；%,則有PB+；E4=P8+PT,利用勾股定理可得3T=√F==屈，則有BP+gAP≥√i7,

問題得解.

【詳解】解：如圖，取點(diǎn)7(0,1),連接尸7,BT.

OP=2,

:.OP2=OTOA,

,OPOA

"OT-OP'

ZPOT=ZAOP,

.?.POT^iAOP9

.PTOP1

,,-----=------=---,

PAOA2

.?.PT=-PA,

2

:.PB+-PA=PB+PT,

2

BT=√l2+42=√17，

.?.Pβ+PT≥yf∏,

.?.BP+^AP≥屈，（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號）

BP+JP8的最小值為J萬.

故答案為：√Γ7.

【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，

構(gòu)造相似三角形解決問題.

15.4√io

【分析】延長到T,使得BT=OB,連接MT,CT,利用相似三角形的性質(zhì)證明MT=2￡＞河，求CM+2DW的

最小值問題轉(zhuǎn)化為求CM+MT的最小值.求出CT即可判斷.

【詳解】解：延長。B到了，使得BT=OB,連接MT,CT.

OM=6,OD=DB=3,OT=?2,

.-.OM2=ODOT,

,OMOT

AMOD=ZTOM,

..△MODsNOM,

--D--M----..O...M...——1

MTOT2

：,MT=2DM,

CM+2DM=CM^-MT≥CT,

又在RtCT中，ZCOT=90°,OC=4,OT=I2,

/.CT=√OC2+OT2=√42+122=4√Iθ，

.?.CM+2E>M≥4√iθ,

:.CM+2DM的最小值為4加，

故答案為：4√io.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相

似三角形解決問題.

161

2

3

【分析】如圖，連接5P,在BC上取一點(diǎn)使得進(jìn)而證明PMS48C尸,則在點(diǎn)P運(yùn)動的任意時(shí)刻,

均有PM=JPC,從而將問題轉(zhuǎn)化為求PO-PM的最大值.連接PZX在△尸DW中，PO-PM<DW,故當(dāng)。、M.P

2

共線時(shí)，PDPM=OM為最大值，勾股定理即可求得00?

【詳解】如圖，連接BP,在BC上取一點(diǎn)使得BM=],

AD

NPBM=ZCBP

???ABPMsABCP

MPBM

"~PC~~BP~2

.-.MP=-PC

2

.-.PD--PC=PD-MD

2

在APOA/中，PD-PMVDM,

當(dāng)。、M、尸共線時(shí)，PQ-PM=QM為最大值,

D

四邊形ABCQ是正方形

???ZC=90°

在RfCDM中,DM=√DC2+MC2=J62+14

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造IPC是解題的關(guān)鍵.

2

17.√17.

pτΔP

【分析】在4B上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接PT,PACT.證明-RATS工區(qū)鏟，推出==1推出PT

9PBAB2

=BPB,推出“8+C尸=CP+PT,根據(jù)PC+P7≥7C求出CT即可解決問題.

【詳解】解：在48上取一點(diǎn)T,使得AT=1,連接尸T,PA,CT.

V∕?=2.AT=I,AB=4f

ΛM2=4=AT?AB,

.PA_AB

,φAT-PA,

9：ZRAT=ZPAB,

：?&PATS_BAP,

,PTAP_\

'β7F-AB^2,

：?PT=；PB,

.".^PB+CP=CP+PT,

?'PC+PT>TC,

在RtACT中，

"：ZCAT=9Q0,AT=},AC=4,

?*?CT=yjAT2+AC2-√17，

：.^PB+PC>y∕∏,

.???PB+PC的最小值為√∏.

故答案為行.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，圓的

基本性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

18.5

【詳解】分析：由PD-gPC=PD-PGWDG,當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PD-TPC的值最大，最大值為DG=5.

詳解：在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=I,如圖，

..PB_28C4

?——2.f——，,

BG1PB2

.PBBC

??一,

BGPB

VZPBG=ZPBC,

Λ?PBG^ΔCBP,

.PGBGT

??-=---=一,

PCPB2

ΛPG=yPC,

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，PD-gpe的值最大，最大值為DG="療=5.

故答案為5

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建相似三角形解

決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題.

33

19.(l)α=--.直線AB解析式為產(chǎn)-TX+3；

44

(2)2

⑶亞

3

【分析】(1)令產(chǎn)0,求出拋物線與X軸交點(diǎn)，列出方程即可求出處根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式；

(2)由APM0s∕SANE,推出”=9,列出方程即可解決問題；

AN5

42

(3)在y軸上取一點(diǎn)M使得構(gòu)造相似三角形，可以證明AM蹴是EA+(E8的最小值.

【詳解】(1)令產(chǎn)0,則0x?(。+3)x+3=0,

:?(x+l)(ox+3)=0,

.*.χ=-ι或-3,

a

?.?拋物線y=αr2+(α+3)x+3(α≠0)與X軸交于點(diǎn)A(4,0),

.?.-3=4,

a

.3

??。=一-.

4

VA(4,0),B(0,3),

設(shè)直線AB解析式為y=h+6,則

解得4,

b=3

3

**?直線AB解析式為y=--x+3；

(2)如圖1,

yl

]

圖1

VPMl.ABfPE±OAf

：./PMN=NAEN,

?//PNM=/ANE,

工ZXPNMsZ?ANE,

??J

?C25

.PN6

?