新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí) 第40講拋物線的雙切線問題學(xué)生版

第40講拋物線的雙切線問題

一.選擇題（共1小題）

1.（2021?吉州區(qū)校級(jí)一模）設(shè)拋物線f=2分（P>0）,M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，

過“引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為4,B,A,B,用的橫坐標(biāo)分別為X-Xts,XM

貝1K）

A?XA+XΠ=2XM

以上都不對(duì)

%XBXM

二.填空題（共1小題）

2.（2021?廈門一模）過拋物線E&:爐=4X焦點(diǎn)的直線/與E交于Z,8兩點(diǎn)，E在點(diǎn)

8處的切線分別與y軸交于C,。兩點(diǎn)，則4√Σ∣CO∣-∣∕8∣的最大值是.

Ξ.解答題（共36小題）

3.（2021?東臺(tái)市校級(jí)模擬）如圖，設(shè)拋物線方程為χ2=2Q（P>0）,M為直線y=-2p上

任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為N,B.

（I）求證：A,M,8三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（11）已知當(dāng)加點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2P）時(shí)，I/81=4布，求此時(shí)拋物線的方程.

4?（2021?蘇州期末）如圖,設(shè)拋物線y=2加（p>0）,M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M

引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為力，B.求證：A,M,8三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

y=-^p

5.（2021?浙江模擬）如圖，設(shè)拋物線方程為f=2陟（p>0）,〃為直線y=-2p上任意一

點(diǎn)，過"引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為4,B.

(I)求直線/8與夕軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(∏)若E為拋物線弧/8上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在E點(diǎn)處的切線與三角形的邊M4,MB

分別交于點(diǎn)C,D,記2=9迎，問2是否為定值？若是求出該定值；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

Q&MCD

6.(2012?上海模擬)如圖，設(shè)拋物線方程為f=2Py(P>0),M為直線/:y=-2p上任意

一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為/、B.

(1)設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到直線/的距離為d,尸為焦點(diǎn)，當(dāng)d-∣尸尸|=|時(shí)，求拋物線方程;

(2)若M(2,-2),求線段ZB的長(zhǎng)；

(3)求收到直線N8的距離的最小值.

7.(2021?秦州區(qū)校級(jí)二模)如圖，設(shè)拋物線方程為f=2py(p>0),〃為直線y=-2p上

任意一點(diǎn)，M不在V軸上，過"引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為1,B.

(I)設(shè)線段NB的中點(diǎn)為N：

(i)求證：MN平行于y軸；

(ii)已知當(dāng)Λ/點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí)，∣N8∣=4j記，求此時(shí)拋物線的方程；

(II)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線48的對(duì)稱點(diǎn)。在拋物線/=2勿(0>0)上，其

中，點(diǎn)C滿足配=次+為(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

y

8.(2012?韶關(guān)一模)設(shè)拋物線C的方程為*=4y,〃為直線1：尸-M(ffl>0)上任意一點(diǎn),

過點(diǎn)"作拋物線C的兩條切線刈，，監(jiān)，切點(diǎn)分別為4B.

(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(O,-1)時(shí)，求過機(jī)A,8三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線/與此圓

的位置關(guān)系；

(2)求證：直線46恒過定點(diǎn)；

(3)當(dāng)/"變化時(shí)，試探究直線，上是否存在點(diǎn)M使△物8為直角三角形，若存在，有

幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，說(shuō)明理由.

9.(2012?韶關(guān)一模)設(shè)拋物線C的方程為χ2=4y,Λ∕(x0,%)為直線/=-〃?(加>0)上

任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線M4,切點(diǎn)分別為N,B.

(I)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時(shí)，求過A,8三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線/與此圓的位

置關(guān)系；

(2)求證：直線/8恒過定點(diǎn)(O,"?).

10.(2021春?城區(qū)校級(jí)月考)已知拋物線C:/=4y,M為直線/=-1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)

“作拋物線C的兩條切線必，/WB,切點(diǎn)分別為4,B.

(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時(shí)，求過"，A,8三點(diǎn)的圓的方程；

(2)若P(X0,%,)是C上的任意點(diǎn)，求證：尸點(diǎn)處的切線的斜率為左=gx0;

(3)證明：以ZB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

11.(2021春?江蘇期中)己知拋物線Uχ2=2Q(P>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

(1)求拋物線方程；

(2)過直線y=x-2上一點(diǎn)尸(小-2)作拋物線的切線切點(diǎn)為Z,B.

①設(shè)直線尸/、AB、尸8的斜率分別為勺，k2,ki,求證：k「k2,%成等差數(shù)列；

②若以切點(diǎn)8為圓心,?為半徑的圓與拋物線C交于。，E兩點(diǎn)且。，E關(guān)于直線48對(duì)稱,

求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.

3

12.(2021?益陽(yáng)模擬)已知拋物線G的方程為f=2勿(p>0),過點(diǎn)M(a,-2p)(α為常數(shù))

作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,B.

(1)過焦點(diǎn)且在X軸上截距為2的直線/與拋物線G交于0,N兩點(diǎn)，Q,N兩點(diǎn)在X軸

上的射影分別為。'，N',S∣ρW,∣=2√5,求拋物線G的方程；

(2)設(shè)直線NM,3/的斜率分別為尤，k1.求證：尢?七為定值.

13.(2021?崇明區(qū)二模)對(duì)于直線I與拋物線Γ:/=勺，若/與「有且只有一個(gè)公共點(diǎn)且/與

「的對(duì)稱軸不平行(或重合)，則稱/與「相切，直線/叫做拋物線「的切線.

(1)已知尸(%,%,)是拋物線上一點(diǎn)，求證：過點(diǎn)尸的「的切線/的斜率/=￡；

(2)已知Λ∕(%,NO)為X軸下方一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為/區(qū)，必)、B(X2,

%)，求證：X∣、X0、Z成等差數(shù)列；

(3)如圖所示，D(m,n),E(s,f)是拋物線「上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，過點(diǎn)。、E

的「的切線分別是《、I2,直線/r4交于點(diǎn)GSR)，且與V軸分別交于點(diǎn)2、Et,設(shè)士、

%為方程/-0r+b=0(α,beR)的兩個(gè)實(shí)根，max{c,d}表示實(shí)數(shù)c、d中較大的值，求證:

n

“點(diǎn)G在線段DDiAL的充要條件是“max{?XJl_1}=粵”?

22

14.(2012?青羊區(qū)校級(jí)三模)離心率為JΣ的雙曲線G:彳-本=1上的動(dòng)點(diǎn)尸到兩焦

2

點(diǎn)的距離之和的最小值為2√2,拋物線C2:x=2py(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線G的上頂點(diǎn)重合.

(I)求拋物線C?的方程；

(H)過直線/:y=a(a為負(fù)常數(shù))上任意一點(diǎn)W向拋物線C2引兩條切線，切點(diǎn)分別為

AB,坐標(biāo)原點(diǎn)O恒在以/8為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.

15.(2021?福州一模)如圖，以原點(diǎn)。為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線E的焦點(diǎn)為尸(0,1),

點(diǎn)"是直線/:y=機(jī)(加<0)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線E的兩條切線分別交X軸于點(diǎn)S,

T,切點(diǎn)分別為B,A.

(/)求拋物線E的方程；

(11)求證：點(diǎn)S,7在以9為直徑的圓上；

(III)當(dāng)點(diǎn)M在直線/上移動(dòng)時(shí)，直線NB恒過焦點(diǎn)尸，求"7的值.

16.已知拋物線C的方程為f=2RV(P>0).

(1)若拋物線C上一點(diǎn)N(X0,6)到焦點(diǎn)F的距離INFI=X0，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)Λ√(α,-2p)(α為常數(shù))作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,8(4右8左)，

設(shè)直線∕M,的斜率分別為勺，k2,求證匕?《為定值.

17.(2016?石家莊一模)已知拋物線C:∕=2pχ(p>0)過點(diǎn)材(仍，2),其焦點(diǎn)為尸，且|炳

=2.

(I)求拋物線C的方程；

(∏)設(shè)6為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)￡作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物

5

線C和圓a(X-I)2+/=1相切，切點(diǎn)分別為4B,求證：爾B、尸三點(diǎn)共線.

18.(2021?寧波期末)已知拋物線C的方程為f=4y,尸為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一

點(diǎn)P作次拋物線的切線P/,PB,A,B為切點(diǎn)、,且R41PB.

(1)求證：直線48過定點(diǎn)；

(2)直線P尸與曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為R,求萬(wàn)?方的最小值.

19.(2021?遼寧)如圖，拋物線Cjχ2=4y,。2：/=_2刀5>0),點(diǎn)〃(x0,%)在拋物線

C2±,過M作Cl的切線，切點(diǎn)為4,8(M為原點(diǎn)。時(shí)，A,8重合于O),當(dāng)XO=I-√Σ

時(shí)，切線的斜率為-1.

2

(I)求P的值；

(∏)當(dāng)M在G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段/8中點(diǎn)N的軌跡方程(，，8重合于。時(shí)，中點(diǎn)為。).

20.(2021?諸暨市期末)己過拋物線C:Y=4y的焦點(diǎn)F作直線/交拋物線C于4,B兩點(diǎn),

以/,8兩點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線的切線，兩條直線交于尸點(diǎn).

(1)當(dāng)直線/平行于X軸時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)四=2時(shí)，求直線/的方程.

21.(2012秋?宜春期末)已知拋物線C:f=4y的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸作直線/交拋物線C于

A、B兩點(diǎn);橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率e=

2

(1)求橢圓E的方程；

(2)經(jīng)過/、8兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線乙、I2,切線∕∣與《相交于點(diǎn)M.證明：點(diǎn)M

6

定在直線V=-I上；

(3)橢圓E上是否存在一點(diǎn)AT,經(jīng)過點(diǎn)AT作拋物線C的兩條切線AT4、M'B'(A'."為

切點(diǎn))，使得直線H8'過點(diǎn)尸？若存在，求出切線的方程；若不存在，試說(shuō)明

理由.

22.(2021春?思明區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知拋物線C,:x2=2py的焦點(diǎn)在拋物線G：N=f+1

上，點(diǎn)尸是拋物線G上的動(dòng)點(diǎn).

(I)求拋物線G的方程及其準(zhǔn)線方程；

(H)過點(diǎn)尸作拋物線C?的兩條切線，4、8分別為兩個(gè)切點(diǎn)，求ΔΛ48面積的最小值.

23.(2021?嘉興二模)如圖，已知拋物線G:/=2勿的焦點(diǎn)在拋物線。2：夕=；、2+1上，點(diǎn)

產(chǎn)是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線G的方程及其準(zhǔn)線方程；

(H)過點(diǎn)P作拋物線G的兩條切線，〃、N分別為兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到直線MN的距離

為d,求d的最小值.

24.(2009秋?寧波期末)點(diǎn)4(芭,必)，β(x2,M)是拋物線。:嘲=2了上的不同兩點(diǎn),過Z,

8分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點(diǎn)尸(x0,%).

(1)求證：X。是西與X2的等差中項(xiàng)；

(2)若直線48過定點(diǎn)M(0,1),求證：原點(diǎn)。是AZMB的垂心；

(3)在(2)的條件下，求ΔΛ48的重心G的軌跡方程.

25.(2021?合肥二模)如圖，拋物線E:/=2px(p>0)與圓0:/+/=8相交于/,B兩

7

點(diǎn)，且點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為2.過劣弧力8上動(dòng)點(diǎn)P(x0,比)作圓。的切線交拋物線E于C,D

兩點(diǎn)，分別以C,力為切點(diǎn)作拋物線E的切線/「/?,∕∣與4相交于點(diǎn)M.

(I)求P的值；

(H)求動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡方程.

26.(2021?合肥二模)如圖，已知拋物線無(wú)∕=2pχ(p>o)與圓0：刀2+了2=8相交于z,B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)為2.過劣弧/8上動(dòng)點(diǎn)P(x0,%)作圓。的切線交拋物線E于C,

。兩點(diǎn)，分別以C,。為切點(diǎn)作拋物線E的切線4，4與4相交于點(diǎn)M.

(1)求拋物線E的方程；

(2)求點(diǎn)M到直線CO距離的最大值.

27.(2011?浙江校級(jí)模擬)已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)2(x,y)滿足到點(diǎn)F(O,1)的距離比到直線

/:/=-2的距離小1.

(I)求曲線C的方程；

(H)動(dòng)點(diǎn)E在直線/上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線E/,EB,切點(diǎn)為4、B.

(i)求證：直線48恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(ii)在直線/上是否存在一點(diǎn)E,使得A48Λ∕為等邊三角形(/W點(diǎn)也在直線/上)?若存

在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.(2014?長(zhǎng)沙校級(jí)模擬)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸(O,C)(C>0)到直線

/:X-V-3=0的距離為2&,設(shè)尸為直線/上的點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線尸/,

8

PB,其中Z,8為切點(diǎn).

(I)求拋物線C的方程；

(11)當(dāng)點(diǎn)尸在直線/上移動(dòng)時(shí)，求I/用?∣8用的最小值.

29.(2014秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸(0,C)(C>0)到直

線/:x-y-2=0的星巨離為壬.

2

(?)求拋物線C的方程；

(H)設(shè)點(diǎn)尸(X。，%)為直線/上一定點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線尸Z,PB,其中4,

B為切點(diǎn)、,求直線ZB的方程，并證明直線/8過定點(diǎn)。.

30.(2014秋?西城區(qū)校級(jí)期中)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸(0,C)(C>0)到直

線/:x-y-2=0的距離為學(xué).

(I)求拋物線C的方程；

(H)設(shè)點(diǎn)尸(%,%)為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線尸/,尸8,其中/,

8為切點(diǎn)，求直線18的方程，并證明直線48過定點(diǎn)0；

(HI)過(H)中的點(diǎn)。的直線加交拋物線C于N,B兩點(diǎn),過點(diǎn)4,B分別作拋物線C

的切線∕∣,4，求4，4交點(diǎn)M滿足的軌跡方程.

31.(2006?全國(guó)卷∏)已知拋物線V=4N的焦點(diǎn)為F,4、8是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),

且麗=幾而。>0)?過4、8兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為

(I)證明兩.次為定值：

(∏)設(shè)A48M的面積為S,寫出S=/(團(tuán)的表達(dá)式，并求S的最小值.

32.(2021?臺(tái)州期末)已知直線//4分別于拋物線V=X相切于/，B兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)/的坐標(biāo)為求直線《的方程；

(2)若直線4與4的交點(diǎn)為P,且點(diǎn)P在圓(x+2>+y2=ι上設(shè)直線4,與N軸分別交于

點(diǎn)M,N,求g的取值范圍.

?ΛB?

9

33.(2021?武漢模擬)已知拋物線C:y=；W與直線/:y=fcr-l沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸為直線

/上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A,8為切點(diǎn).

(1)證明：直線ZB恒過定點(diǎn)。；

(2)若點(diǎn)P與(1)中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，證明：四LI=逖

IPNl?QN?

34.(2021?柯橋區(qū)期末)已知拋物線C:Y=2力(p>O),直線y=x截拋物線C所得弦長(zhǎng)為

應(yīng).

(I)求P的值；

(∏)若直角三角形/1P8的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線C上，且直角頂點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)4、

8分別作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)0.

①若直線/8經(jīng)過點(diǎn)(0,3),求點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；

②求民也的最