高中數(shù)學(xué)選擇性必修二：4-1-1 數(shù)列的概念（課堂練習(xí)）

4.1.1數(shù)列的概念

一、單選題

1.現(xiàn)有下列說法：

①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；

②數(shù)列1,1,1,1,…是無窮數(shù)列；

③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；

④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫出唯一的通項(xiàng)公式；

⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù).

其中正確的有（）.

A.O個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列的定義逐一分析各個(gè)命題，判斷作答.

【解析】對(duì)于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；

對(duì)于②，由無窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1,1,1,1,…是無窮數(shù)列，②正確；

對(duì)于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如夜按精確度為0.1,0.01,0.001,0.（XX）1,得到的不足近似值，

依次排成一列得到的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，③不正確；

對(duì)于④，前4項(xiàng)為1,1,1,1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為=l,"eN,d=COS2"TΓ,"WN*等，

即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；

對(duì)于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，

所以說法正確的個(gè)數(shù)是1.

故選：B

2.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同B.數(shù)列-2,0,2與數(shù)列2,0,-2是同一個(gè)數(shù)列

C.數(shù)列2,4,6,8可表示為{2,4,6,8}D.數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解析】對(duì)于A中，常數(shù)列中任意兩項(xiàng)都是相等的，所以A不正確；

對(duì)于B中，數(shù)列-2,0,2與2,0,-2中數(shù)字的排列順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，所以B不正確:

對(duì)于C中，｛2,4,6,8｝表示一個(gè)集合，不是數(shù)列，所以C不正確；

對(duì)于D中，根據(jù)數(shù)列的定義知，數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)是有關(guān)的，所以D正確.

故選：D.

3.若數(shù)列｛m｝滿足的=3”,則數(shù)列｛4〃｝是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

【答案】A

【分析】作差法判斷出的+/>刖，進(jìn)而可以得出結(jié)論.

【解析】an+∣-an=3nil-3n=2×3n>0,an+ι>an,即｛〃〃｝是遞增數(shù)列.

故選：A.

4.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同

B.數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是同一個(gè)數(shù)列

C.數(shù)列1,3,5,7可表示為｛1,3,5,7｝

D.數(shù)列2,5,2,5,....2,5,…是無窮數(shù)列

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的概念，逐項(xiàng)判斷即可.

【解析】例如無窮個(gè)3構(gòu)成的常數(shù)列3,3,3,…的各項(xiàng)都是3,故A錯(cuò)誤；

數(shù)列-1，0,1與數(shù)列0，1,T中項(xiàng)的順序不同，即表示不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

｛1,3,5,7｝是一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列的分類，數(shù)列2,5,2,5,2,5,…中的項(xiàng)有無窮多個(gè),

所以是無窮數(shù)列，D正確.

故選：D.

5.下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（）

?-一屋-2,-3.-4,...B,-1,-?,-?-T…

C.-1,—2,—4,—8,...D.1,夜，G，λ∕41>?.>?/iθ

【答案】B

【解析】A,B,C中的數(shù)列都是無窮數(shù)列，但是A,C中的數(shù)列是遞減數(shù)列，故選B.

6.若數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為凡=4〃-5,則關(guān)于此數(shù)列的圖像敘述不正確的是（）

A.此數(shù)列不能用圖像表示

B.此數(shù)列的圖像僅在第一象限

C.此數(shù)列的圖像為直線y=4x-5

D.此數(shù)列的圖像為直線y=4x-5上滿足XeN的一系列孤立的點(diǎn)

【答案】D

【分析】數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=4〃-5,因?yàn)棣帧蔔*,所以數(shù)列｛4｝就是直角坐標(biāo)系的上的一個(gè)個(gè)點(diǎn).

【解析】數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=4"-5,它的圖像就是直線

y=4x-5上滿足χwN*的一系列孤立的點(diǎn).

故選:D.

7.己知數(shù)列｛可｝滿足4,=工不，〃為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（）

A.?B.-cd

25?I??

【答案】B

1

【分析】求出數(shù)列｛a,J的前5項(xiàng)，再由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得萬，"∈N*的單調(diào)性，從而即可得最大

n

值.

【解析】解：由得q=；，“2=:，a3=I）a5=77-

n÷67551131

1

又“"=口，n∈N?

n

1

又因?yàn)椋?=口在（0,"）上單調(diào)遞增，在（遙,+∞）上單調(diào)遞減，

X

所以｛%｝的最大值為g=%=（.

故選:B.

8.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是q=1萬，則｛《｝（）

A.不是單調(diào)數(shù)列B.是遞減數(shù)列C.是遞增數(shù)列D.是常數(shù)列

【答案】C

【分析】由。,血-α”與O比較即可得出答案.

3〃+33〃6?

【解析】因?yàn)?「4，=而TrE=(4〃+6)(4〃+2)>°,

所以｛4｝是遞增數(shù)列.

故選：C.

9.函數(shù)/(x)定義如下表，數(shù)列｛4｝滿足x。=2,且對(duì)任意的自然數(shù)均有f(x“)，則七⑷=()

X12345

?(?)51342

A.1B.2C.4D.5

【答案】D

【分析】先根據(jù)定義計(jì)算，找出規(guī)律，根據(jù)周期求結(jié)果.

【解析】；玉=∕(??)=∕(2)=1,J?=∕(x1)=∕(l)=5,x3=f(x2)=f(5)=2,

.?.該數(shù)列周期為3,

??x2O2l=?x2=5.

故選：D.

10.“天支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱

為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支"天干"以"甲'’字開始，

“地支"以"子’'字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃印⒁页?、丙寅、癸酉?/p>

甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳，…共得到60個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)

始，無窮無盡.2021年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支紀(jì)年法”中的()

A.丙申年B.丙午年C.甲辰年D.乙未年

【答案】A

【分析】按照題中規(guī)律依次從2021年倒推，列舉到2016年，即可得到答案.

【解析】依題意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支

2021年是辛丑年，2020年為庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申

年.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意理解“干支紀(jì)年法”的定義，根據(jù)規(guī)律突破難點(diǎn)即可.

11.已知數(shù)列｛叫滿足勺=5+1)(疆J,則當(dāng)％取得最大值時(shí)”的值為()

A.2020B.2024C.2022D.2023

【答案】A

a.2020-na,.

【分析】利用作商法可得,=I+2()22(〃+1)，討論〃的取值判斷,n與1的大小關(guān)系，即可得％最大時(shí)”

的值.

2021(∕z+2)?2020-n

【解析】ι

2022(〃+1)-2022(∕ι+l)

.?.當(dāng)n>2020時(shí)，—<1；當(dāng)“<2020時(shí)，—>1>n=2020=>%l=l,

aaa

,,,l,1

,根據(jù)選項(xiàng)，當(dāng)〃=2020時(shí)，取得最大值.

故選:A.

12.己知數(shù)列｛叫滿足q=w?p"("N,,0<p<l),下面說法正確的是()

①當(dāng)p=g時(shí)，數(shù)列｛“"｝為遞減數(shù)列；

②當(dāng);<p<l時(shí)，數(shù)列也｝不一定有最大項(xiàng)；

③當(dāng)O<p<g時(shí)，數(shù)列｛見｝為遞減數(shù)列；

④當(dāng)十為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列｛a,J必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng).

A.①②B.③④C.②④D.②③

【答案】B

[分析]當(dāng)p=；時(shí)，通過4=/可知①錯(cuò)誤；當(dāng);<p<1時(shí)，由^y1=(1+510，根據(jù)n<時(shí)，>1；

”>=時(shí)，竽<1可知數(shù)列｛%｝有最大項(xiàng)'知②錯(cuò)誤；當(dāng)。<P<g時(shí)，由學(xué)=(ι+:]p<ι且?？芍?/p>

③正確；由IL為正整數(shù)可知!≤P<1;分別在P=:和!<P<I時(shí)，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性可知存在相等最大項(xiàng)

I-P222

4，出或《，4討，從而得到④正確.

【解析】對(duì)于①，當(dāng)P=g時(shí)，q=lx；=；,%=2x[g[=g,?,?《=，，則數(shù)列｛4｝不是遞減數(shù)列，①錯(cuò)

誤;

對(duì)于②，當(dāng);<?<1時(shí)，也J"+—,P=￡±l.p=(i+，]p,

則當(dāng)“<J—時(shí)，f?+->1；當(dāng)">J—時(shí)，f1+—<1；

1-pVnJI-pVnJ

又〃∈M,all=n-p'?>O,｛α,,｝先增后減，則數(shù)列｛0,,｝必存在最大項(xiàng)；

對(duì)于③，當(dāng)O<P<g時(shí)，

1<1+1≤2,.??0<^-<l,又α,,="?p">0,數(shù)列｛α,,｝為遞減數(shù)列，③正確；

對(duì)于④，&L=[1+L]P,當(dāng)丁匕為正整數(shù)時(shí)，:≤P<1;

a

當(dāng)P=g時(shí)，?=a2>a3>a4>--,則數(shù)列｛4.｝有相等的兩個(gè)最大項(xiàng)4，%;

當(dāng)!<p<l時(shí)，令J-=,"∈N*,解得：p=JL,

z1+,,

—=?j,則當(dāng)〃=機(jī)時(shí)，an^=an.結(jié)合已證的②的結(jié)論，可知數(shù)列有相等的兩個(gè)最大項(xiàng)凡,。,用；

ann(?+m)

綜上所述：當(dāng)當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列｛4｝必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了數(shù)列單調(diào)性的知識(shí)；判斷數(shù)列單調(diào)性的基本方法是采用作差法或者作

商法；采用作差法可直接通過”的正負(fù)確定單調(diào)性；采用作商法時(shí)，將誓與1作比較，同時(shí)結(jié)合α,,+∣,α,,

的正負(fù)來進(jìn)行判斷.

二、多選題

13.下列說法正確的是()

A.數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)是4

B.數(shù)列｛%｝中，若4=3,則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3

C.數(shù)列1,2,3,…是無窮數(shù)列

D.a,-3,-?,?,b,5,7,9,11能構(gòu)成數(shù)列

【答案】AC

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【解析】根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，可知數(shù)列4,7,3,4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)，即4,故A正確.

同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤.

由無窮數(shù)列的概念可知C正確.

當(dāng)a,b都代表數(shù)時(shí)，能構(gòu)成數(shù)列；當(dāng)m6中至少有一個(gè)不代表數(shù)時(shí)，不能構(gòu)成數(shù)列，因?yàn)閿?shù)列是按確定的

順序排列的一列數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

14.已知給出4個(gè)表達(dá)式，其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1,…的通項(xiàng)公式的是()

0,〃為奇數(shù)，ι+(τ)"1÷cosnπ

A.??為偶數(shù)B,%=I-

2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的定義，逐項(xiàng)分析驗(yàn)證即可求解.

為奇數(shù),

【解析】對(duì)于A,?"為奇數(shù)時(shí)，氏=0;”為偶數(shù)時(shí)，a“=l,滿足條件;

1,”為偶數(shù),

對(duì)于B,α」上■,"為奇數(shù)時(shí)，％=0；"為偶數(shù)時(shí)，?=∣,滿足條件；

“2

I+c∏?YiTT

對(duì)于C,?=-θ,〃為奇數(shù)時(shí)，”,,=0；〃為偶數(shù)時(shí)，?=1,滿足條件；

njr

對(duì)于D,an=sin—,〃=1時(shí)，α∣=1；"=2時(shí)，α2=0,依次類推，不滿足條件.

故選ABC.

15.數(shù)列與函數(shù)是密不可分的，數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，則下列說法正確的是()

A.a,,="%l(nwN?數(shù)列｛α,,｝的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是%i，4

H-√2016

ny

B.an=~^lineN'?,數(shù)列｛4｝的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是時(shí),明

∕z-√2016

C.αz,=∕W("wN*),數(shù)列｛4,,｝的最大項(xiàng)是1

D.""=?^("eN*),數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)是的

【答案】ACD

【分析】根據(jù)勺，得出數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而逐個(gè)選項(xiàng)判斷，即可求解

∕j-√2017n-√20I6+√2016-√2017

【解析】對(duì)于A,B,a

n∕j-√2016^w-√2O16

√2016-√2017

=1+eN,)當(dāng)"≤44時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增,

w-√2016

且。“>1,當(dāng)”≥450寸，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，且

二數(shù)列｛q｝的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是內(nèi)5，?44.A項(xiàng)正確;

n-7??5√2-7

對(duì)于C,D,K=二

n-5>∕2n-5?∣2

當(dāng)1≤“≤7時(shí)，數(shù)列｛《｝單調(diào)遞減，且4<1,當(dāng)“≥8時(shí)，

數(shù)列｛為｝單調(diào)遞減，且4>1,為最大項(xiàng)，的為最小項(xiàng).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

形如丫=^^（,9°，〃/*機(jī)'）的函數(shù)，其圖象的兩條漸近線分別為直線

X=--（由分母為零確定）、直線y=@（由分子、分母中X的系數(shù)確定），中心是點(diǎn)（一4二］.

16.集合4“=松+自+…+郛”｛0,1｝,，=1,2,...,〃｝.記4“中的最大元素為0，4中的元素之和為S,,,記

集合A的元素個(gè)數(shù)為Card（A）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.card（A5）=64B.?5=—

c.Ss<16D.SC=；

【答案】BCD

【分析】求得4,A，從而確定正確答案.

【解析】對(duì)于集合4,元素如下：

qa2%〃4a5?的元素

000000

000010.03125

OOOIO0.0625

OO1OO0.125

O1OOO0.25

1OOOO0.5

OOOI10.09375

OO1O10.15625

O1OO10.28125

1OOO10.53125

OO11O0.1875

O1O1O0.3125

1OO1O0.5625

O11OO0.375

1O1OO0.625

11OOO0.75

OO1110.21875

O1O110.34375

1OO1I0.59375

O11O10.40625

1O1O10.65625

11OO10.78125

O111O0.4375

IO11O0.6875

110I00.8125

I11000.875

011110.46875

101110.71875

110I10.84375

111010.90625

111100.9375

111110.96875

Ss15.5

所以Card(A)=32,々=096875=IPS5=15.5<16,所以A錯(cuò)誤，BC正確.

對(duì)于集合A,,元素如下：

6a2〃3Q%R?的元素

0000000

1000000.5

0100000.25

0010000.125

0001000.0625

0000100.03125

0000010.015625

1100000.75

1O1OOO0.625

IOO1OO0.5625

1OOO1O0.53125

1OOOO10.515625

O11OOO0.375

O1O1OO0.3125

O1OO1O0.28125

O1OOO10.265625

OO11OO0.1875

OO1O1O0.15625

OO1OO10.140625

OOO11O0.09375

OOO1O10.078125

OOOO110.046875

111OOO0.875

11O1OO0.8125

11OO1O0.78125

11OOO10.765625

1O11OO0.6875

1O1O1O0.65625

1O1OO10.640625

1OO11O0.59375

1OO1O10.578125

IOOO110.546875

O111OO0.4375

O11O1O0.40625

O11OO10.390625

O1O11O0.34375

O1O1O10.328125

O1OO110.296875

OO111O0.21875

OO11O10.203125

OO1O110.171875

OOO1110.109375

OO11110.234375

O1O1110.359375

O11O110.421875

O1?1O10.453125

O1111O0.46875

1OO1110.609375

1O1O110.671875

1O11O10.703125

1O111O0.71875

11OO110.796875

1101010.828125

I101100.84375

1110010.890625

1110100.90625

1111000.9375

0111110.484375

1011110.734375

1101110.859375

1110110.921875

I111010.953125

1111100.96875

1111110.984375

晨31.5

所以56-255=31.5-2x15.5=0.5=；,D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

三、填空題

17.給出下列數(shù)列：①2010?2017年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構(gòu)成數(shù)列82,93,105,118,132,

147,163,180；②無窮多個(gè)G構(gòu)成數(shù)列√5,√3,√3,G，…；③-2的1次累，2次累，3次累，4

次幕，…構(gòu)成數(shù)列一2,4,—8,16,—32,....

其中，有窮數(shù)列是，無窮數(shù)列是，遞增數(shù)列是，常數(shù)列是,擺動(dòng)數(shù)列是

【答案】①②③①②③

【分析】根據(jù)數(shù)列的概念確定正確結(jié)論.

【解析】①為有窮數(shù)列：②③是無窮數(shù)列，同時(shí)①也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為擺動(dòng)數(shù)列.

故答案為：①；②③；①；②；③

18.己知數(shù)列｛α,J滿足以下條件，①q=sin],生=2Sin券；②數(shù)列｛6,｝既不是單增數(shù)列，也不是單減數(shù)

列；③α,KN*).則滿足條件①②③的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為.(寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即

可)

【答案】aa=tlL12

【分析】計(jì)算0，生，分析條件③，寫出滿足條件①③的一個(gè)通項(xiàng)，驗(yàn)證②成立即可.

【解析】由條件①得：al=l,a2=2,由條件③知，數(shù)列｛%｝具有周期性，周期為2,

342

中曰右(-l)+3C(-l)+3而(-J+3(-l)+3

于Ze有Q==]=-----------,a4=2=--------，…，而4=------------=----------------，

32421222

因此，4=，顯然數(shù)列｛4,,｝不是單增數(shù)列，也不是單減數(shù)列，

所以滿足條件①②③的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為α=IzlTll.

"2

故答案為：V=(-93

19.數(shù)列J,-?∣?,?∣?,…的第14項(xiàng)是_______.

2468

27

【答案】-藥

【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，再代入計(jì)算可得;

7

【解析】解：不妨設(shè)數(shù)列為｛4｝,則4=<，α2=-y,a3

24O8

由此歸納得到｛4｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為4=(-1戶X槳,

2x14-127

所以陽=(-1)”

2x1428

故答案為：-女

20.將集合A=｛2'-2'∣O≤f<s且s,reZ｝中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為｛??｝,則

?=（填數(shù)值）.

【答案】992

【分析】列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察特征，可得出生θ?

【解析】由題意得4=2|-2°,見=22-2］嗎=22-2°,4=23-22,%=2'-21&=23_2°,、

觀察規(guī)律可得2'-2'中，以2,為被減數(shù)的項(xiàng)共有S個(gè)，

因?yàn)?+2+3++9=45,所以，是2K）-2'中的第5項(xiàng)，

所以%O=2">-25=992.

故答案為:992.

21.已知數(shù)列｛4｝滿足4=l+∕?7（"eN"）,若數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)為名，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為

2/1—攵'

【答案】（4,6）

【分析】由已知代入，建立不等式組求解即可.

【解析】解：因?yàn)閚∈N

所以…占

6

%=1+

4—?

6

6?=1+

6—k

%=1+J

48-2

因?yàn)閿?shù)列｛勺｝的最大項(xiàng)為附，所以

11

-------<--------

…，即4-k6丁,所以，761,解得4<k<6

]+—e-<1+o攵<6或Q8'

%<?-------<--------

8—&6-k18-攵6-k

所以4v2v6,

故答案為：（4,6）.

22.給出下列命題：

①已知數(shù)列仇｝,q=就5（"€川），則白是這個(gè)數(shù)列的第IO項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第1項(xiàng);

②數(shù)列&,-6,2虛,_而，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是4=（-l）"+,√3^1；

③已知數(shù)列{q},al,=kn-5,且4=11,則%=29；

④已知J=《,+3,則數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為.

【答案】4

1I,、

【分析】令兀〃+2廣西，以及數(shù)列｛《,｝的單調(diào)性，可判定①正確；結(jié)合歸納法，可判定②正確;

由4=11,求得k=2,求得αf,=2"-5,可判定③正確；由”,,+∣-α,,=3>O,可判定④正確.

【解析】對(duì)于①中，令=言，解得“=IO，且數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，

所以最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，所以①正確；

對(duì)于②中，數(shù)列√∑,√5,√8,√∏,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=λ∕3"-l,

所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為4=(-1)向?歷工，所以②正確；

對(duì)于③中，由?！?如-5且=11,BP8/:-5=-11,解得％=2,所以α,,=2"-5,

所以4=29,所以③正確；

對(duì)于④中，由％=q+3,可得α,,*∣-α,,=3>0,即。川>對(duì)，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以④正確.

故答案為：4.

四、解答題

23.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)

1+14+19+116+1

(2)2,3,5,9,17,33,.

12345

(3)

25Iθ,萬’26

1,二，2,16

(4)

3，，****

11

(5)??

3,81524

【答案】⑴*(T"?Wr⑵―；⑶“巖；⑷見="；⑸>=(T)"?就濘

【分析】通過觀察數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系，整理變形即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【解析】(I)???第〃項(xiàng)的符號(hào)為(-1)",分子都是1,分母是/+1,.?.%=(τ)"?∕g?

2345

(2)*.*π1=2=1+1,%=3=2+1,tz3=5=2+1,d4=9=2+1,a5=17=2+1,a6=33=2+1,

Λ?=2n-1+l.

2_23344

(3)Va——=

l5^22÷11032+l17-42+1n2÷l,

4

(4)Va

l3

，CL-)—=-----，a.=—=-------

31x3~82x4153x5244×6q=(T)".而W

24.寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并作出它們的圖象：

（1）所有正偶數(shù)的平方按從小到大的順序排列成的數(shù)列；

（2）所有正整數(shù)的倒數(shù)按從大到小的順序排列成的數(shù)列；

（3）當(dāng)自變量X依次取1,2,3,…時(shí)，函數(shù)/（x）=2x+l的值構(gòu)成的數(shù)歹U；

2,n=2k-l,keN*

（4）數(shù)列的通項(xiàng)公式為q=

n+?,n=2k,keN"

【答案】見詳解.

【分析】根據(jù)題意寫出數(shù)列的前10項(xiàng)，作出圖象即可.

【解析】（1）所有正偶數(shù)的平方按從小到大的順序排列成的數(shù)列:

前10項(xiàng)依次為：4,16,36,64,100,144,196,256,324,4∞,圖象如下：

-

678910"

（2）數(shù)列的前10項(xiàng)從小到大依次為：??????????圖象如下:

3-

2-

I-?

7r?1234567S9~~10-

(3)依次將丈的值代入函數(shù)解析式，可得數(shù)列的前10項(xiàng)依次為:

3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,圖象如下：

_]2,n=2k-l,keN*

(4)

1n+l,n=2Λ,?∈N*

數(shù)列的前10項(xiàng)依次為2,3,2,5,2,7,2,9,2,11,圖象如下:

9-

8-

7.

6?

-^?23456~7~S~9~^10-

25.已知數(shù)列｛aιl｝的通項(xiàng)公式為4=〃(〃+2)：

⑴求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)、第15項(xiàng)及第21項(xiàng)；

(2)判斷440是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，222呢？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由.

【答案】(1)4o=120,Ctl5=255,Ci2I—483.

(2)440是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第20項(xiàng)；222不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，理由見解析.

【分析】(I)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?”(〃+2),分別令”=10,15,21,代入計(jì)算即可求出第10項(xiàng)、第15

項(xiàng)及第21項(xiàng)；

(2)分別令440=〃(〃+2)和222="("+2),求出"的值，根據(jù)求出的”是否為整數(shù)，即可判斷得出結(jié)論.

(1)

解：由題可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為q=〃(〃+2),

則數(shù)列的第10項(xiàng)為：α10=10×(10+2)=10×12=120,

第15項(xiàng)為：&=15x(15+2)=15x17=255,

第21項(xiàng)為：%=21x(21+2)=21x23=483.

⑵

解：令為=44。=〃(〃+2),解得：M=20,

所以440是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第20項(xiàng)；

令%=222="5+2),解得：rt=√223-l,不是整數(shù)，

故222不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng).

26.己知數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式是α),=∕-8"+5?

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出它的圖象；

(2)這個(gè)數(shù)列中有沒有最小的項(xiàng)？

【答案】(1)“I=-2,a1=—1,“3=—1。，“4=—11，%=—1。，圖象如下:

斗

5--

H--------IlllllA

--X

-5--

——?

-10--??

(2)有，α4=-ll為最小項(xiàng).

【分析】(1)代入求出數(shù)列的前5項(xiàng)，畫出圖象；(2)配方求最值.

(1)

q=l-8+5=-2,a2=4-16+5=-7,?=9-24+5=-10,?=16-32+5=-11,α5=25-40+5=-10,

圖象如下:

(2)

22

alt=π-8π+5=(/7-4)-11,當(dāng)〃=4時(shí)，〃〃取得最小值，4=-11為最小項(xiàng)

27.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為α,,=C二沼，

(1)討論數(shù)列｛4｝的單調(diào)性；

(2)求數(shù)列｛all｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

【答案】(1)答案見解析

?,6=256-√64770+16√255-16λ^54,

225-√64770+15√255-15√254

最小項(xiàng)為每=-

【分析】(1)分離常數(shù)后利用定義可判斷數(shù)列的單調(diào)性.

(2)利用(1)的結(jié)論可求數(shù)列的最大項(xiàng)最小項(xiàng).

n-√255+√255-√254,√255-√254

----------------------1------------------=1H-------------1------~^

n-√255n->∕255

√255-√254

(π-√255)(n-I-√255)

當(dāng)2≤"<√^即2≤“≤15時(shí)，4-α.∣<0即a“<4τ,但此時(shí)”,,<l,

當(dāng)”>1+Ji5?即〃≥17時(shí)，a”-%<0即但此時(shí)%>1,

≡?16>1>?|,

綜上，當(dāng)1≤“≤15時(shí)，｛可｝為減數(shù)列，當(dāng)N≥16時(shí)，｛4｝為減數(shù)列,

BPαl5<014<<ai<｝,1<α,,<an,l<<al6.

(2)

由(1)可得｛q｝中的最大項(xiàng)為九="1^=256-√^77δ+16√^-16√^,

16-√255

≡.yf-.15-√254225-√64770+15√255-15√254

最小項(xiàng)為/=]5=

30

1Q

28.