備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-二項(xiàng)式定理

專題10.4二項(xiàng)式定理

日題型目錄

題型一利用一項(xiàng)展開式求指定項(xiàng)

題型二利用一項(xiàng)展開式求有理項(xiàng)

題型三兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的指定項(xiàng)

題型四三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)

題型五整除和余數(shù)問題

題型六二項(xiàng)式系數(shù)之和及系數(shù)之和

題型七奇（偶）項(xiàng)系數(shù)之和及絕對(duì)值型系數(shù)之和

題型八二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值

題型九一項(xiàng)式與導(dǎo)數(shù)的父匯

集練

—

題型一利用二項(xiàng)展開式求指定項(xiàng)

例1.二項(xiàng)式（2-x）5展開式中的含V項(xiàng)的系數(shù)為.

例2.已知多項(xiàng)式（元+2）3（無一1）4=《（％+1）7+々2（%+1）6++%（%+1）+。8，則%=.

舉一

練習(xí)1.己知（尤-2y）”的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的犬丁項(xiàng)的系數(shù)為（

A.—4B.84C.—280D.560

練習(xí)2.（彳-。）7的展開式中/的系數(shù)為560,則實(shí)數(shù)。的值為.

練習(xí)3.已知多項(xiàng)式（X—2）5+（X—1）6=%+qx+++〃5工'+。6工6,則4=.

練習(xí)4.右+(%—2)—CLQ+%(%—1)+2(?！?)++%(x-1)+aio(x-1)，則％=?

練習(xí)5.已知二項(xiàng)式卜+：］(〃eN*)展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則滿足條件的一個(gè)〃的值為

題型二利用二項(xiàng)展開式求有理項(xiàng)

例3.已知［+乎］(”eN*)的展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于16.

⑴求〃的值；

(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).

3,〃eN*)的展開式中，第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列.

(1)證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng);

(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).

舉一反三

練習(xí)6.(五+2『的展開式中所有有理項(xiàng)系數(shù)之和為()

318-1C貨+1319+3

A.D.

2,22

練習(xí)7.的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)

5

練習(xí)8.(多選)二項(xiàng)式2x-的展開式中的有理項(xiàng)為()

A.3

B.80xC.80x2D.32x5

X

練習(xí)9.(多選)展開式的有理項(xiàng)為()

64

C.160xD.x4

第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為，

(1)求〃的值；

(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).

題型三兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的指定項(xiàng)

例5.已知(2尤+3)(x-2y)4的所有項(xiàng)的系數(shù)和為3,則fy?的系數(shù)為()

A.80B.40C.-80D.-40

例6.(x+y)(2x-3y)5的展開式中dy3的系數(shù)是

舉I一鳳三

練習(xí)11.11+f-￡|(l+x)6展開式中Y的系數(shù)是()

A.-24B.-9C.24D.9

練習(xí)12.已知(以2+1)卜-：］的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為T,則該展開式中1的系數(shù)為

練習(xí)13.\+J+”(x+l『的展開式常數(shù)項(xiàng)是.(用數(shù)字作答)

練習(xí)14.已知(1-辦)(l+3x)4的展開式中尤的系數(shù)為2,則實(shí)數(shù)a的值為.

練習(xí)15.若(l+x)(x+g|(〃eN*,〃<9)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則〃的可能取值是(

A.4B.5C.6D.7

題型四三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)

例7.(x-2y+l)5展開式中含孫3項(xiàng)的系數(shù)為.

例8.(l+2x-3x2)5的展開式中x5的系數(shù)為.

第二反三

練習(xí)16.(尤->2-1丫展開式中尤2>;4的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

練習(xí)17.1d-x-g］的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

練習(xí)18.在(2x+y+z)5的展開式中，形如d/V1(札〃eN)的所有項(xiàng)系數(shù)之和是.

練習(xí)19.已知卜+3)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024,則(V+x+y)”展開式中不含公丁的所有項(xiàng)系數(shù)和等于

練習(xí)20.已知常數(shù)機(jī)>0,+的二項(xiàng)展開式中Y項(xiàng)的系數(shù)是780,則根的值為.

題型五整除和余數(shù)問題

23100

例9.^S=l-3C；00+3C^-3C^+???+3C?,且S=17〃z+〃(m,neZ,且0<〃<17),則"=()

A.1B.2C.15D.16

2023

例10.若(》+5產(chǎn)23=%+4尤+a/2++a2023x,T=a0+at+a2++%023,則T被5除所得的余數(shù)為.

洋|一|反㈢

練習(xí)21.98曾除以1000的余數(shù)是.

練習(xí)22.摩除以49所得的余數(shù)是.

練習(xí)23.2O232024被4除的余數(shù)為.

練習(xí)24.若642°24+他能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為.

11109

練習(xí)25.C°X5+C；1X5+C^1X5++C；：x5被7除的余數(shù)是.

題型六二項(xiàng)式系數(shù)之和及系數(shù)之和

2n

例11.已知“cN*,（1+2x）"=a0+a1x+a2x+???+anx,4a,+a2=80,則該展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）

A.81B.64C.27D.32

例12.在尤的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64,則/的系數(shù)為

舉一m

練習(xí)26.已知〃>0,二項(xiàng)式、+點(diǎn)）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.36B.30C.15D.10

練習(xí)27.若（1+九）6=%+4%+/九2+…+必%6,貝|%+q+4+…+[=

練習(xí)28.（多選）已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則（）

A.〃=8B.展開式中x-2的系數(shù)為T48

C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為16D.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

練習(xí)29.（多選）在（2x-葉的展開式中，下列說法正確的有（）

A.展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128B.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為展

C.展開式中含*3項(xiàng)的系數(shù)為T48D.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第四項(xiàng)

練習(xí)30.的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是.,各項(xiàng)系數(shù)和是

題型七奇（偶）項(xiàng)系數(shù)之和及絕對(duì)值型系數(shù)之和

例13.若（2%—1）6=%+4（%—1）+%（兀—1）2++4（%—1）6,則4+%+。4+。6=.（用數(shù)字作答）

例14.若（2尤-1）4=%+4%+4%2+4尤3+%工4,請(qǐng)分別求出下列的值

（1）旬+。］+/+。3+。4

⑵國(guó)+同+同+同+同

（3）%+2%+3%+4%

塞一反三

7

練習(xí)31.（多選）已知（％—1）（%+2）6=%+?%+%%2H--1-?7x,貝|（）

A.%=-64B.4=63

C.--1~。7=°D.%+%+。5+%=1

52345

練習(xí)32.（多選）（1-2x）=a0-}-alx-^a2x+a3x+a4x+a5x,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.4=1B.a5=32

C.+1wl+1"31+1"1+1%|=3，D./+%+2%+3%+4a4+5%=-10

練習(xí)33.（多選）設(shè)（2%-1）7=/+平+出爐++?6+.7,則下列結(jié)論正確的是（）

A.4+。5=588B.q+出++%=1

C.tZ］+a3+tz5+Oy=--—D.|CLQJ+JJ+J%|+，+1%|=W

練習(xí)34.右（2%-3）—1）+4（X—1）+%（%-1）+...+q2（X—1），貝！］。0+%+。4+"6+"8+〃10+62=

2345

練習(xí)35.設(shè)（1一2%）5=%+aix+a2x+a3x+a4x+a5x.求:

（l）q+4+%+4+%的值;

(2)%+〃3+。5的值；

⑶同+&|+|%|+|%|+國(guó)的值.

題型八二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值

例15.(l+2x)”的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為C：,則〃不可能為()

A.10B.11C.12D.13

例16.在(2石-的展開式中，求:

(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).

舉一反三

練習(xí)36.(多選)關(guān)于(X-y)i°的說法正確的是().

A.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024B.展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最小D.展開式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

練習(xí)37.(多選)己知"為滿足5=4+《7+《7+戢7+《7++C；；(“23)能被9整除的正整數(shù)。的最小值，則

口―-］的展開式中，下列結(jié)論正確的是()

A.第7項(xiàng)系數(shù)最小B.第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D.第6項(xiàng)系數(shù)最小

練習(xí)38.已知(2x+展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22.

(1)求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；

(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

(3)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

練習(xí)39.在以+生的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79.

⑴求〃的值；

(2)若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為F，試求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

8

練習(xí)40.已知二項(xiàng)式

(1)求展開式中的有理項(xiàng);

(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

題型九二項(xiàng)式與導(dǎo)數(shù)的交匯

n

例17.若（1+2%）"=/+qxH----1-anx,且—+。〃=243,則4+2a2+3/+L+〃〃〃=（）

A.650B.405C.810D.1620

例18.（多選）已知（2%一加1=%+4（1-力+。2（1-%）2+.+%（1-兀）7,若為+?+導(dǎo)++學(xué)=-128,則有（）

A.m=2

B.%=—280

C.4=-1

D.—%+2a2~3%+4〃4—5%+—7%=14

舉一宓三

練習(xí)41.設(shè)（無27+1）M9=/+空+//++/。小如6,則4+2《+3的++2017。21n6的值是（）

A.1008B.1009C.2016D.2017

練習(xí)42.已知（1+2%）〃=%+%%+―+4%〃，其中4+q+…+4=243,貝1J?+]+q+…+懸=

、I”c182-91c182

A.182B.----------------C.—D.------

339

練習(xí)43.（多選）已知（3%—1）2°23=%+%x+出％2+..+〃2023%2023,則（）

A.%=-1

B.%+2%+3%++2023^2023=2O23x22023

c.同+同+同++蟲|=2崢

?42023_7

D.幺+與+為+十§2°23-乙

33233

練習(xí)44.若(2x—3)5=%+%%+々2%2+。3%3+4%4+%X5,若q+24+3/+4%+5%=5。(。。0),貝!］。二

練習(xí)45.已知(1+x)+(1+x)++(1+x)=%+ci^x+出爐++c1rl,且4+4+?+1=125—n

⑴求幾的值

(2)求展開式中x的奇次項(xiàng)系數(shù)之和

(3)求％+2a2+3a3+L+nan的值

專題10.4二項(xiàng)式定理

日題型目錄

題型一利用一項(xiàng)展開式求指定項(xiàng)

題型二利用一項(xiàng)展開式求有理項(xiàng)

題型三兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的指定項(xiàng)

題型四三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)

題型五整除和余數(shù)問題

題型六二項(xiàng)式系數(shù)之和及系數(shù)之和

題型七奇(偶)項(xiàng)系數(shù)之和及絕對(duì)值型系數(shù)之和

題型八二項(xiàng)式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值

題型九一項(xiàng)式與導(dǎo)數(shù)的父匯

集練

—

題型一利用二項(xiàng)展開式求指定項(xiàng)

例1.二項(xiàng)式(2-x)5展開式中的含V項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-40

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出展開式通項(xiàng)，利用賦值法，可得答案.

【詳解】二項(xiàng)式(2-x)5展開式的通項(xiàng)為卻|=C⑵一(一切=(一1)'25Tq/,

令廠=3,貝！=(-1)322(2覬3=-40x3.

故答案為：-40.

例2.已知多項(xiàng)式(x+2)3(x—1)4=4](x+1)7+。2(彳+1)6++。7(%+1)+/，貝!]%=.

【答案】16

【分析】令f=x+l,運(yùn)用換元法將等式變成。+l)“r-2)4=a/+?6++即+外,結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、

賦值即可求得結(jié)果.

【詳解】令1=X+1,則(7+1)3(1—2)4=印7+a/++%?+4,

因?yàn)?f+1)3的展開式的通項(xiàng)為(+1=C73-，，r=0,1,2,3,

所以令r=2可得0+1)3的展開式中一次項(xiàng)為C)=3t,令r=3可得"+1)3的展開式的常數(shù)項(xiàng)為1,

又因?yàn)?-2>的展開式的通項(xiàng)為￡包=C)/(-2)?,左=0,1,2,3,4,

所以令左=3可得"2成的展開式中一次項(xiàng)為C；(-2*=-32/,令左=4可得。-2)4的展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：(-2>=16,

所以%=16x3+(—32)x1=16.

故答案為：16.

舉一反三

練習(xí)1.已知(尤-2y)”的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為()

A.—4B.84C.—280D.560

【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得附=7,再根據(jù)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)即可求得指定項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】因?yàn)?尤-2y)”的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C；=C：.則〃=7

又因?yàn)?x-2y)7的展開式的通項(xiàng)公式為二|=C；f-，

令r=2,所以展開式中的尤5y2項(xiàng)的系數(shù)為c；(_2『=84.

故選：B.

練習(xí)2.(x-ay的展開式中丁的系數(shù)為560,則實(shí)數(shù)。的值為一.

【答案】±2

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】解:T="■(_.)，,

令7-r=3,得r=4,

故

由題意知C)4=560,即35/=560,

解得〃=±2.

故答案為：±2.

56

練習(xí)3.已知多項(xiàng)式(x—2)5+(工―1)6=/+〃/+++a5x+tz6x,則巧=.

【答案】74

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分別求得(％-2)5和(％-1)6的展開式的X項(xiàng)，進(jìn)而求得體的值.

【詳解】對(duì)于(尤-2)5,

其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為=G尤5T(_2)"

令5—r=l,得r=4,

故(=C；尤(-2)4=80尤，

對(duì)于(X-I)',

其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為1+1=C56Y(_iy,

令6-k=l,得左=5,故”=C：x(-1)'=-6x,

所以苗=80+(-6)=74.

故答案為：74.

練習(xí)4.石，X，+(x-2)=a。+q(x-1)+a2(尤-1)++%(x-1)+(尤—1),則%=

【答案】-231

【分析】將丁+(工一21化為［(x-1)+1］7+［卜-1)-1］10,后由二項(xiàng)式定理可得答案.

［詳解］x7+(x-2)<)=［(x-1)+1J+［(x-1)-,

設(shè)［卜-1)+11展開式通項(xiàng)為乙=C；(x-1廠，

令7—廠=5n廠=2,則7；=C；(x-=21(工一1)1

設(shè)［(x-1)-1『展開式通項(xiàng)為=C；。(-1/(x—I),

令10—r=5=r=5,則7；=C；o(-1)5(x-1)'=-252(x-1)1

則分=21-252=-231.

故答案為：-231

練習(xí)5.已知二項(xiàng)式,+［j(〃eN*)展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則滿足條件的一個(gè)〃的值為—

【答案】6(答案不唯一)

【分析】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，根據(jù)已知列式，求解即可.

【詳解】二項(xiàng)式(〃eN*)展開式的通項(xiàng)為

Tk+l=C：靖-=C：尤,(〃eN*,0W左W“，左eN),

???［+：［(〃eN*)展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，

:.〃一6左二0,(〃￡N*,0W左W左wN)有解,

n=6k,(neN*,0<Z:<H,Z:eN),

當(dāng)上=1時(shí)，〃=6.

故答案為：6（答案不唯一）.

題型二利用二項(xiàng)展開式求有理項(xiàng)

例3.已知〃eN*）的展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于16.

⑴求〃的值;

（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).

【答案】⑴5

(2)T=x',4=萬x4,T

}53

【分析】（1）根據(jù)題意得到C：+C：+C：=16,結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解〃的值;

「瓦，結(jié)合題意確定廠的值，即可求解.

（2）求得展開式的通項(xiàng)T,M=C；I

【詳解】（1）解：由的展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于16,

nln-l]

可得C：+C；+C：=16,即1+〃+—-------=16,解得〃=5或〃=—6(舍)

2

所以"的值為5.

（2）解：由（1）知，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為T%r=o,l,2,3,4,5,

當(dāng)5cZ時(shí)，可得r=0,2,4,此時(shí)展開式得到的為有理項(xiàng),

所以展開式中所有的有理項(xiàng)為4=V，工=會(huì)

216

例4.在3,”eN*）的展開式中，第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列.

（1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng);

（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).

【答案】（1）證明見解析

717

(2)—x2^n—

464x

【分析】（1）先根據(jù)第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列列方程求出“，再寫出展開式的通式，令x的次數(shù)

為0計(jì)算即可；

（2）求出使x的次數(shù)為整數(shù)的,，然后代入展開式的通式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列得2C；=C；+C；

解得"=2（舍去）或”=7

的展開式的通式為4+1

.14-3r八14X”

令-----=0,得廠=——走N

43

故展開式中沒有常數(shù)項(xiàng);

14一3r

⑵令F-eZ,則一6

?17

展開式中的有理項(xiàng)為n=jx和工=就

舉一反三

練習(xí)6.（?+2廣的展開式中所有有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）

A319-10318-1C319+1「319+3

A?-------D.-----------C.---------D.---------

2222

【答案】C

【分析】根據(jù)（?+2廣的展開式的通項(xiàng)，要使（=.2尤等為有理項(xiàng)，需r=1,3,5,…,19,又因?yàn)椋ㄓ?2片的展

開式的通項(xiàng)為S“+i=C；；/-”.2，“=c12"/f,〃z=0,l,,19,則兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)

化為求（x+2片的展開式的所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和，然后利用賦值法求解.

【詳解】（五+2『的展開式的通項(xiàng)為&]=.（五廣”二.？〕,…?！?，，19，

19-r

要使4+1亍為有理項(xiàng)，需r=l，3,5,…,19,

ml9

又因?yàn)椋▁+2片的展開式的通項(xiàng)為Sm+l=C濕9f2”=C?-2x-,m=0,1,.,19,

則兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求（x+2片的展開式的所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和,

19

令（x+2『=%+4%+電彳2++019%,

令X=l,則％+。］+。2++=319(T),

令x=—1,貝1」/_卬+%__"19=1②,

319+1

則①+②可得：。0+%+…+。18=---，

則（?+2廣的展開式中所有有理項(xiàng)系數(shù)之和為咚1.

故選：C.

的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)

【答案】一（或1120x,或256/2,寫出其中一個(gè)即可）

【分析】由二項(xiàng)式定理求解

【詳解】由題意知展開式中共有9項(xiàng)，所以〃=8,

所以［&一信］的展開式的通項(xiàng)為j=c；（石廠［-京］=C；（-2）3',

0<r<8,reZ.

3

若為有理項(xiàng)，則4-7力，所以〃=0,4,8,

33

故展開式中所有的有理項(xiàng)為（）44；（）=1120X，；（『/都=

Z=C°-2°x=x,T5=C-2\"LT9=C-2256/.

故答案為：/（或1120x,或256.1,寫出其中一個(gè)即可）

練習(xí)8.（多選）二項(xiàng)式［2xJ的展開式中的有理項(xiàng)為（

A.—B.80xC.80%2D.32_?

x

【答案】ACD

【分析】先得到通項(xiàng)公式，當(dāng)/'=（）或2或4時(shí)為有理項(xiàng)，求出答案.

【詳解】3工一；1的通項(xiàng)公式（+|=仁（2""（一『1=C；-25-r（-l）rx^,

當(dāng)r=0或2或4時(shí)，T”C725T（_了:丁為有理項(xiàng)，

當(dāng)r=0時(shí)，7；=C°-25（-1）°X5=32X5,D正確;

當(dāng)r=2時(shí),7；=C|-23（-1）\2=80X2,C正確；

當(dāng)廠=4時(shí)，7；=C^2-（-l）4x-1=—,A正確.

尤

故選：ACD

練習(xí)9.（多選）（行-二］展開式的有理項(xiàng)為（）

A.—B.80C.160元D.x4

x

【答案】AD

【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后由x的次數(shù)為整數(shù)可求出上的值，從而可求出展開式中的有理項(xiàng).

(2丫-2(-\k24-1k

【詳解】展開式的通項(xiàng)小=晨/[[嚀J=(-2)心干，

24—7^

由------GZ,.?.左=0或左=6,

6

當(dāng)左=0時(shí)，7；=(-2)°C°x4=x4,當(dāng)k=6時(shí)，(=(一2)6屋工一3=64》3=等.

故選：AD.

練習(xí)10.在12+2]的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為

⑴求〃的值；

(2)求展開式中所有的有理項(xiàng).

【答案】⑴"=7

⑵所有的有理項(xiàng)為x",84x3560/,448.J

【分析】(1)寫出展開式的通項(xiàng)，求出其第4項(xiàng)系數(shù)和倒數(shù)第4項(xiàng)系數(shù)，列出方程即可求出"的值；

(2)令x的指數(shù)為整數(shù)，由此求出展開式的有理項(xiàng).

【詳解】(1)由題意知：加=62%2"等，

則第4項(xiàng)的系數(shù)為C：2,倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為。尸2片，

C323111

則有聲皆=5,即產(chǎn)=],，，，=7；

⑵由⑴可得&=C；2'『r(r=0,l,,7)，

當(dāng)r=0,2,4,6時(shí)，

所有的有理項(xiàng)為zwzz，

即7；=C；2°/=/,4=<2；259=84/，

44-1

7；=C^2x=560/,T7=C：26cln448x.

題型三兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的指定項(xiàng)

例5.已知(2元+ay)(x-2y)4的所有項(xiàng)的系數(shù)和為3,則/丁的系數(shù)為()

A.80B.40C.-80D.-40

【答案】D

【分析】由題意令(2x+ay)(尤-2y)4中尤=y=l即可求得。的值，進(jìn)一步若要得到無、3,由分類加法以及分步乘法

計(jì)數(shù)原理再結(jié)合組合數(shù)即可求解.

【詳解】由題意令(2x+ay)(龍一2y)4中x=y=\即可得到(2+“)><(1-2)-=2+a=3,解得a=l,

此時(shí)(2x+ay)(x-2y了變?yōu)榱?2x+y)(x-2y?，若要得到//這一項(xiàng)分以下兩種情形：

情形一：第一步若取(2x+y)中的2%,則第二步只能取1個(gè)(x-2y)4中的x,取3個(gè)(x-2y),中的-2y,

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形一所對(duì)應(yīng)的尤2y3的系數(shù)為2xC；xfx(-2廣=2x4x(-8)=-64；

情形二：第一步若取(2x+y)中的V,則第二步能取2個(gè)(x-2y『中的x,取2個(gè)(x-2y『中的-2y,

所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形二所對(duì)應(yīng)的//的系數(shù)為lxC；xFx(-2廣②=1x6x4=24.

因此由分類加法計(jì)數(shù)原理可知(2x+y)(x-2y)4的展開式中爐,3的系數(shù)為_64+24=4).

故選：D.

例6.(x+y)(2%-3y)5的展開式中的系數(shù)是.

【答案】-360

【分析】寫出(2x-3y)5的展開式的通項(xiàng)，然后對(duì)「分類求得答案.

【詳解】(2x-3?展開式的通項(xiàng)為卻=Q(2X)5T(-3y)'=C>25T.(-3)'/了，r=0,l,2,,5,

①令r=2,則人;?23.(-3)，3y2=720^3V；

23

②令r=3,則；tC；?2??(-3丫x/=-1080x/；

綜上可得：展開式中V；/項(xiàng)的系數(shù)為720-1080=-360.

故答案為：-360.

幽一反三

練習(xí)11.11+/-￡|(I+X)6展開式中/的系數(shù)是()

A.-24B.-9C.24D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】依題意，(1+Y-￡|(l+x)6展開式中含爐的項(xiàng)為：

lxC^xx2+x2xC°+f--^xC^xx3=-24x2,

所以尤2的系數(shù)是—24.

故選：A

練習(xí)12.已知（依?+1），一的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為t,則該展開式中V的系數(shù)為.

【答案】110

【分析】令龍=1,求得。，再利用二項(xiàng)展開通項(xiàng)公式即可求得含V項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】因?yàn)椋?,+1）\一彳］的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為T,

所以令x=l,得一(a+l)=T,解得〃=3,

所以（or2+1

因?yàn)榈亩?xiàng)展開通項(xiàng)公式為0<Z:<5,^GN,

則展開式中含丁的項(xiàng)為3fx（-2）2Cfx+（-2）1C；x3=110x3,

故該展開式中/的系數(shù)為110,

故答案為：110.

練習(xí)13.1x+J+l］（x+l『的展開式常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

【答案】7

【分析】根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（龍+1）6展開式第廠+1項(xiàng)&|=C"6r,

所以,+：+［（x+l）6展開式中常數(shù)項(xiàng)是：gxC*+lxC>o=6+l=7,

所以上+；+l［（x+iy的展開式常數(shù)項(xiàng)是7.

故答案為：7

練習(xí)14.已知（1-辦）（1+3%）4的展開式中尤的系數(shù)為2,則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】10

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法，展開式中含有尤的一次項(xiàng)為IxC；（3x）+（-依）xC；（3x）°,求其系數(shù)即可.

【詳解】（1-0X）（1+3x）4的展開式中含有X的一次項(xiàng)為ixC；（3x）+（-ar）><CK3x）°,

其系數(shù)為12-a=2,解得a=10.

故答案為：10.

練習(xí)15.若(l+x)［+：J(”eN*,〃<9)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，則”的可能取值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】AD

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】由于(1+“尤+，)(〃eN*,〃<9)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，

所以(x+(〃eN*,〃<9)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，也沒有含—的項(xiàng)，

二項(xiàng)式［+：］("eN*,〃<9)展開式的通項(xiàng)公式為C：?天….尸=C：?一，，

所以〃一3r*0且〃一3rw—1,所以“N3r且"w3r—1,

即，被3除時(shí)，余數(shù)為1,所以AD選項(xiàng)正確，BC選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：AD

題型四三項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)

例7.(x-2y+l)5展開式中含4項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-160

【分析】變形為［(彳-2封+1于，寫出通項(xiàng)公式，求出％=3/=1,得到答案.

【詳解】(x-2y+l)5變形為口-2村+斤，

故通項(xiàng)公式得4+1=G(x-2y廣,

其中(》-2丁廣’的通項(xiàng)公式為CLd，*(-,

1i,、kf0<A:<5-r

故通項(xiàng)公式為C&3產(chǎn)T(-2y)”,其中0<”5，匕reN,

令k=3,5-r-k=\,解得上=3/=1,

故C；C%(-2y)3=-160孫3.

故答案為：-160

例8.(l+2x-3.r)5的展開式中尤5的系數(shù)為.

【答案】92

【分析】由于(1+2天-3巧5=(1_尤)5(］+3龍)5,根據(jù)二項(xiàng)式定理分別求得(1-司5和0+3燈5的展開式的通項(xiàng)，從而分

析可得V的系數(shù).

【詳解】(1+2%-3/丫=(1一到5(1+3到5,

X(l-x)5展開式的通項(xiàng)加=C；l5-r(-X)r=c；(-l)rxr,r=O,l,2,3,4,5,

(+3x)5展開式的通項(xiàng)邑+1=UL(3xy=C'3"/,左=o,l,2,3,4,5,

所以含尤5的項(xiàng)為聿6+ma+ns+g+%

則含尤5的系數(shù)為C[(-1)°審+C；(-1)'c^34+c^(-l)2cj33+C；(-l)y32+C：(-1)4/31+C(-1)5C°3°=92.

故答案為：92.

舉一反三

練習(xí)16.卜-必-1)5展開式中Yy4的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-30

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由于卜-丁-[J表示5個(gè)因式6y2—1)的乘積，

故其中有2個(gè)因式取-y2,2個(gè)因式取X,剩余的一個(gè)因式取-1,可得含Vy4的項(xiàng)，

故展開式中的系數(shù)為C；(—If.C](-1)=—30,

故答案為：-30.

練習(xí)17.1丁一彳一：]的展開式的常數(shù)項(xiàng)為________.

【答案】30

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)分別進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】每個(gè)括號(hào)內(nèi)有一,-x,一二，

X

若(丁一尤一的5項(xiàng)式乘積中先選力,顯然不會(huì)超過2項(xiàng).

①C；(X4)21T-[]，顯然卜一[]不可能出現(xiàn)g的項(xiàng)；

②再考慮C；(_?)一[：=C；(/)｛尤+:J,[展開式中,唯有取(4x2[4]=與會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，為

)X

C；C；=30.

③而不可能出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng).

故答案為：30.

練習(xí)18.在（2尤+y+z）5的展開式中，形如x3y"z"（〃z,〃eN）的所有項(xiàng)系數(shù)之和是.

【答案】320

【分析】由二項(xiàng)式定理求解三項(xiàng)展開式中的系數(shù)即可.

【詳解】（2無+y+z）5=[2x+（y+z）?展開式的通項(xiàng)為乙=C；（2xp（y+z）’.

令5-廠=3,得r=2.令y=z=l,

得所求系數(shù)之和為C；X23X22=320.

故答案為：320

練習(xí)19.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024,則（V+x+y）”展開式中不含的所有項(xiàng)系數(shù)和等

于.

【答案】213

【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式和項(xiàng)的系數(shù)及賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?+』）"的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024,

X

令x=l,整理得4"=1024,解得〃=5；

故（爐+苫+＞）5的展開式滿足=C：（無2+彳廣.了，

令/'=2時(shí)，（爐+幻3的展開式滿足兀1=《?產(chǎn)。令6-左=5,解得％=1,

故含爐產(chǎn)的所有項(xiàng)系數(shù)為C；=30,

由于（尤2+x+y）5的所有項(xiàng)的系數(shù)和滿足當(dāng)尤=1,y=l時(shí)，所有項(xiàng)的系數(shù)和為3,=243,

故不含爐,2的所有項(xiàng)系數(shù)和等于243-30=213.

故答案為：213.

練習(xí)20.已知常數(shù)心0,卜-個(gè)+1：的二項(xiàng)展開式中/項(xiàng)的系數(shù)是780,則根的值為.

【答案】3

【分析】轉(zhuǎn)化為，+，利用展開式的通項(xiàng)公式討論計(jì)算即可.

【詳解】12無一?+1：=[2彳一9]+1],設(shè)其通項(xiàng)為4M=C（2x—?：7（r46,reN）,

設(shè)Qx'的通項(xiàng)為襄二=晨_,（2X）6~（-利廠）/=CLrx（2廣一x（一加）“產(chǎn)f化＜6-廠,林N）,

要求爐項(xiàng)的系數(shù)，只有r為偶數(shù)，

當(dāng)r=a,6-r-2k=2nk=2,止匕時(shí)x2項(xiàng)的系數(shù)為c：xC；x24(—m)2=240加2,

當(dāng)r=2,6-r-2k=2n左=1,此時(shí)V項(xiàng)的系數(shù)為c^xC；x23=T80加，

當(dāng)r=4,6—―2左=2n左=0,止匕時(shí)x2項(xiàng)的系數(shù)為C：xC；x22(f7)°=60,

當(dāng)r=6,6_r_2左=2n^=-l,不合題意，

故/項(xiàng)的系數(shù)為240m2—480/77+60=78。>。)=>加=3.

故答案為：3

題型五整除和余數(shù)問題

23100

例9^5=1-3C；00+3C^-3C^+.??+3C；^,且S=17〃z+〃Qm,neZ,且0<〃<17),則〃=()

A.1B.2C.15D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得S=(17-l)”，然后結(jié)合條件可得S+1可以被17整除，即可得到結(jié)果.

231001002525252423

【詳解】5=1-3€；00+3^00-3^00+--+3=(1-3)=16=(17-1)=17-17^5+17^5----+17^-1,因

為1725-i724c；5+17"C；5-…+17C；；能被17整除，所以S+1可以被17整除，即17〃，+〃+1能被17整除，因?yàn)?<〃<17

且〃所以“=16.

故選：D.

2023

例10.若(x+5)~°23=4+4X+4尤2++a2023x,T=a0+ax+a2++a2O23,則T被5除所得的余數(shù)為.

【答案】1

【分析】取尤=1,可以求得g+q+/+/++a2O23,進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，判斷被5除得的余數(shù).

【詳解】由題知X=1時(shí)，%+?1+%+4++。2023=6~"23=(5+1),,

故

7_「052023.「1?2022「2022U]

1

—。2023，十。2023。十十。2023，十,

2(，23202220232022

|=|(C235+C^35++C^5*+1)=|(C°0235+C^0235++C梵g所以被5除得的余數(shù)是1.

故答案為：1

舉一反三

練習(xí)21.981°除以1000的余數(shù)是.

【答案】24

【分析】由題意可得98Kl=(100-2嚴(yán)，展開，結(jié)合二項(xiàng)式定理即可得答案.

101010928910

【詳解】解:H98=(100-2)=1OO+C；0x(-2)x100+Cf0x(-2)x100+L+Cfox(-2)x100+C；"x(-2)

109289

=[1OO+C；0x(-2)x100+Ci0x(-2)xlOO+L+(-2)x1000]+1024

109289

=[100+C；0x(-2)xlOO+C"ox(-2)xl00+L+(-2)x1000+1000]+24,

所以98"除以1000的余數(shù)是：24.

故答案為：24

練習(xí)22.W。除以49所得的余數(shù)是.

【答案】22

【分析】由a°=(7+l)%利用二項(xiàng)式定理展開，注意有余數(shù)的項(xiàng)，即可得余數(shù).

【詳解】法一：由8，。=(7+1-=或7。+1。79+...+。72+或7+1,前9項(xiàng)可以被49整除，

而或7+1=71=49+22,故余數(shù)為22.

法二：^810=645=(49+15)5=495+5X15X494+10X152X493+10X153X492+5X154X49+155,

而15$=759375=49x15497+22,故余數(shù)為22.

故答案為：22

練習(xí)23.2O232024被4除的余數(shù)為.

【答案】1

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得答案.

20242024202420232022

【詳解】H2O23=(2024-1)=C°0242O24-C^0242O24+Cl0242O24--C；氏2024+1,且2024可以被

4整除，所以余數(shù)為1.

故答案為：1.

練習(xí)24.若6426+機(jī)能被13整除，則機(jī)的最小正整數(shù)取值為.

【答案】12

【分析】由于64的+m=(13X5-1)2024+〃2,利用二項(xiàng)式定理展開可求得結(jié)果.

【詳解】642(,24+m=(13x5-l)2024+m

2024X202222023

=C°024(13x5)+