2021新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案3-6-1正弦定理余弦定理

第六節(jié)正弦定理和余弦定理課標(biāo)要求考情分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.1.本節(jié)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判斷三角形的形狀，求三角形的面積等．2．命題形式多種多樣，解答題以綜合題為主，常與三角恒等變換、平面向量相結(jié)合.知識(shí)點(diǎn)一正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)二在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況知識(shí)點(diǎn)三三角形常用面積公式1．S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．2．S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.注意以下結(jié)論：1．三角形中的必備結(jié)論(1)a>b?A>B(大邊對(duì)大角)．(2)A＋B＋C＝π(三角形內(nèi)角和定理)．(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(4)射影定理：bcosC＋ccosB＝a，bcosA＋acosB＝c，acosC＋ccosA＝b.2．利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制．1．思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比．(×)(2)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形．(×)(3)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(√)(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．(√)2．小題熱身(1)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b,2asinB＝b，則角A等于(C)A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,12)(2)已知銳角△ABC的面積為3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(B)A．75°B．60°C．45°D．30°(3)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是(C)A．有一解 B．有兩解C．無(wú)解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定(4)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于2eq\r(3).(5)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).解析：(1)由2asinB＝b可得：2sinAsinB＝sinB，故sinA＝eq\f(1,2)，A＝eq\f(π,6).(2)由三角形的面積公式，得eq\f(1,2)BC·CA·sinC＝3eq\r(3)，即eq\f(1,2)×4×3sinC＝3eq\r(3)，解得sinC＝eq\f(\r(3),2)，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以C＝60°.(3)由三角形正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(40,sinB)＝eq\f(20,sin60°)，解得sinB＝eq\r(3)，B無(wú)解，所以三角形無(wú)解．故本題正確答案為C.(4)設(shè)△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.由題意及余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c2＋16－12,2×4×c)＝eq\f(1,2)，解得c＝2.所以S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×2×sin60°＝2eq\r(3).(5)由已知不等式結(jié)合正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，所以b2＋c2－a2≥bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2).因?yàn)閥＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為減函數(shù)．故A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).第1課時(shí)正弦定理、余弦定理考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(2019·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC(1)求A；(2)若eq\r(2)a＋b＝2c，求sinC.【解】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsin故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).因?yàn)?°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由題設(shè)及正弦定理得eq\r(2)sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－eq\f(\r(2),2).由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝eq\f(\r(2),2)，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).方法技巧求解此類(lèi)問(wèn)題的突破口：一是正確分析已知等式中的邊角關(guān)系，合理地設(shè)計(jì)“邊往角化”還是“角往邊化”，活用正弦定理、余弦定理；二是求角的值時(shí)應(yīng)注意三角形對(duì)角的取值范圍的限制；三是熟記兩角和、差的三角公式.1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝(D)A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，所以sinB＝eq\f(10sin60°,15)＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)閍>b，所以B為銳角，所以cosB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3).故選D.2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(3)b，A－B＝eq\f(π,2)，則角C＝(B)A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)解析：因?yàn)椤鰽BC中，A－B＝eq\f(π,2)，所以A＝B＋eq\f(π,2)，所以sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,2)))＝cosB，因?yàn)閍＝eq\r(3)b，所以由正弦定理得sinA＝eq\r(3)sinB，所以cosB＝eq\r(3)sinB，所以tanB＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)，所以C＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,2)))－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，故選B.考點(diǎn)二判斷三角形形狀【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定【解析】(1)由eq\f(c,b)<cosA，得eq\f(sinC,sinB)<cosA，又B∈(0，π)，所以sinB>0，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因?yàn)樵谌切沃衧inA>0，所以cosB<0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形．(2)由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．【答案】(1)A(2)B方法技巧1判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正余弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，則△ABC的形狀為(C)A．直角三角形B．銳角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形為等邊三角形．故選C.2．在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則△ABC的形狀為(B)A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：因?yàn)閏os2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC為直角三角形．故選B.考點(diǎn)三與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題命題方向1三角形面積的求解【例3】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(\r(10),4)，B＝2A，b＝eq\r(15).(1)求a；(2)已知M在邊BC上，且eq\f(CM,MB)＝eq\f(1,2)，求△CMA的面積．【解】(1)由0<A<π，cosA＝eq\f(\r(10),4)，知sinA＝eq\f(\r(6),4)，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(10),4)＝eq\f(\r(15),4)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)可知，a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\r(6).(2)cosB＝cos2A＝2cos2A－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))2－1＝eq\f(1,4)，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(6),4)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(3\r(6),8)，△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(15)×eq\f(3\r(6),8)＝eq\f(9\r(15),8)，又eq\f(CM,MB)＝eq\f(1,2)，∴S△CMA＝eq\f(1,3)S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(15),8)＝eq\f(3\r(15),8).命題方向2三角形面積的最值或范圍問(wèn)題【例4】(2019·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【解】(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsineq\f(A＋C,2)＝sinBsinA.因?yàn)閟inA≠0，所以sineq\f(A＋C,2)＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sineq\f(A＋C,2)＝coseq\f(B,2)，故coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2).因?yàn)閏oseq\f(B,2)≠0，故sineq\f(B,2)＝eq\f(1,2)，因此B＝60°.(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a.由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(sin120°－C,sinC)＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2).由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故eq\f(1,2)<a<2，從而eq\f(\r(3),8)<S△ABC<eq\f(\r(3),2).因此，△ABC面積的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).方法技巧1與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略：①利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；②把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.2三角形面積的最值或范圍問(wèn)題一般有兩種思路：①轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，借助均值定理；②轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的范圍，借助三角函數(shù)的單調(diào)性.1．(方向1)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積為6eq\r(3).解析：解法1：因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccoseq\f(π,3)，得c＝2eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(3)×sineq\f(π,3)＝6eq\r(3).解法2：因?yàn)閍＝2c，b＝6，B＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccoseq\f(π,3)，得c＝2eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq\f(π,2)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×6＝6eq\r(3).2．(方向1)已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中項(xiàng)，且△ABC的面積為3eq\r(2)，則a＋b＝eq\r(33).解析：由(3b－a)cosC＝ccosA，得3sinBcosC－sinAcosC＝sinCcosA，由3sinBc