第3講下 控制系統(tǒng)的信號流圖

信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系，也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便?？刂葡到y(tǒng)的信號流圖3.信號流圖的組成及性質(zhì)用小圓點和帶箭頭的直線組成的圖型，來表示一個或一組線性代數(shù)方程，然后利用梅遜/森公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù).組成：信號流圖是由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。信號流圖中的術(shù)語

節(jié)點：表示變量或信號的小圓點。方程組中有幾個變量，就可用相應(yīng)數(shù)目的節(jié)點。

支路：連接兩個節(jié)點的定向線段。線段上箭頭的方向，表示信號流通的方向。支路旁標(biāo)明的數(shù)字﹑字母或表達(dá)式稱為支路傳輸值或稱為支路傳輸增益。支路上的箭頭指向節(jié)點，叫該節(jié)點的輸入支路；支路上的箭頭離開節(jié)點，叫該節(jié)點的輸出支路。用支路增益表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系，因此支路相當(dāng)于乘法器。X1X2a12X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25例

設(shè)有一組線性代數(shù)方程為:

X2=a12X1+a32x3X3=a23X2+a43X4X4=a24X2+a34X3+a44X4X5=a25X2–a45X4怎么畫信號圖？例設(shè)有信號圖為:

怎么讀信號圖？所描述的線性方程組為：注意：(1)信號在節(jié)點上只能相加；(2)根據(jù)線性代數(shù)方程組，先確定變量數(shù)目，依此排列，然后畫圖；(3)流入節(jié)點的信號可以各不相同，但流出節(jié)點的信號表示同一個信號。

X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25輸入節(jié)點：只有輸出支路的節(jié)點，叫輸入節(jié)點或源節(jié)點，如X1。輸出節(jié)點：只有輸入支路的節(jié)點，叫輸出節(jié)點或阱節(jié)點，如X5。混合節(jié)點：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點。

如X2、X3、X4。增加一條單位傳輸支路，可使混合節(jié)點變?yōu)檩敵龉?jié)點，但不能使其變?yōu)檩斎牍?jié)點。X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X41X2通道：凡從某一節(jié)點開始，沿支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些節(jié)點而終止在另一節(jié)點或同一節(jié)點的路經(jīng)，統(tǒng)稱為通道。開通道：如果通道從某一節(jié)點開始終止在另一節(jié)點上，而且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，該通道叫開通道。

閉通道：如果通道的終點就是通道的始點，而且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，該通道叫閉通道或叫回環(huán)、回路。

如a44，a34a43，a23a32；但a23a34a43a32不是。前向通道：在開通道中，從源節(jié)點始到阱節(jié)點止，并且每個節(jié)點只經(jīng)過一次的通道。在確定前向通道時，首先要明確源節(jié)點與阱節(jié)點。X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4不接觸回路：一些沒有任何公共節(jié)點的回路，如a44，a23a32。通道傳輸(或增益)：通道中各支路傳輸(或增益)的乗積?；芈穫鬏?或增益)：閉通道中各支路傳輸(或增益)的乗積。

信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的。信號流圖的化簡

串聯(lián)支路合并：

并聯(lián)支路的合并：

回路的消除：

混合支路的清除：

自回路的消除：4.信號流圖的繪制信號流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對應(yīng)關(guān)系得到。1）按微分方程繪制（用得少）。2）根據(jù)結(jié)構(gòu)圖繪制將輸入量、輸出量、比較點的輸出、分叉點及中間變量改為節(jié)點；用標(biāo)有傳遞函數(shù)的定向線段代替各環(huán)節(jié)的方框，成為流圖的支路。任一信號流圖，輸入節(jié)點與輸出節(jié)點間的總增益（即總傳遞函數(shù)），可用如下梅遜公式求得：式中：n---從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道的總條數(shù)。Pk---從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的第k條前向通道的總增益。Δ流圖特征式：5.梅遜Mason公式特征式Δ中：

La是信號流圖中每一個單獨回路的增益。

LbLc是信號流圖中任何兩兩互不接觸回路增益的乗積。

LdLeLf是信號流圖中任何三三互不接觸回路增益的乗積。Δk：第k個前向通道的余因子式；其值為Δ中去掉與第k個前向通道相接觸回路后的剩余部分。用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸即傳遞函數(shù)。例1利用梅遜公式求下圖的信號流圖中X1與X5之間的增益X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4上圖中有三條前向通道，即n=3，

即P1=–a12a23a34a45

P2=–a12a24a45

P3=a12a25X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4

ΣLa=a23a32+a34a43+a44+a24a43a32單獨回路的增益之和

ΣLbLc=a23a32a44兩兩互不接觸回路增益的乗積之和Δ=1–ΣLa

+ΣLbLc

特征式

=1–(a23a32+a34a43+a44+a24a43a32)+a23a32a44Δ1=1,Δ2=1,Δ3=1–a34a43

–

a44Δk：第k個前向通道的余因子式；其值為Δ中去掉與第k個前向通道相接觸回路后的剩余部分。X5與X1之間的增益X5/X1為

根據(jù)信號流圖，用梅森公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其步驟：1.找前向通道，并求：2.①找回路，求：②找兩兩不接觸的回路：③找三三不接觸的回路，求：3.求特征式：4.求余因子式：5.代入公式：例2圖中所示信號流圖共含有5個單獨回路和3對互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值為

把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，從輸入到輸出的前向通道、其增益以及相應(yīng)的余子式如下表所示：前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1[解]：前向通道有一條；有一個回路；[例3]求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計擾動）[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：[例4]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。---圖中，有一個前向通道；有三個回路；有兩個互不接觸回路；（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并，使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并！因為a、b兩點的信號值不一樣。[例5]：使用Mason公式計算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)[解]：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上。然后畫出信號流圖，如下：++--回路有三，分別為：有兩個不接觸回路，所以：求：前向通道有二，分別為:求：（藍(lán)線表示）

不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對于一個給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式（流圖特征式）總是不變的。注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益就不能直接應(yīng)用梅森公式。對此問題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點的所有輸入支路去掉，將其作為輸入節(jié)點處理，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點及該節(jié)點對輸入節(jié)點的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對該混合節(jié)點的傳遞函數(shù)，如上題中E節(jié)點。[例6]數(shù)數(shù)有幾個回路和前向通道。

有四個回路，分別是：它們都是互相接觸的。

有九條前向通道，分別是：

對應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點注意：①先將信號流圖中的節(jié)點照搬；②仔細(xì)確定前向通道和回路的個數(shù)，箭頭從節(jié)點指向相交點。作業(yè)2-15(a),(b),(c)6.閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)（也稱反饋控制系統(tǒng)）的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：-+

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。（一）給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數(shù)。（二）擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：此時R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如下：輸出對擾動的傳遞函數(shù)為：輸出為：-+給定輸入和擾動輸入