二項式系數(shù)的性質(zhì) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.3.2

二項式系數(shù)的性質(zhì)一、知識回顧

二項式定理(a+b)n=an+

an-1b1+…+an-kbk+…+bn，n∈N*

右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式

各項的系數(shù)

(k=0、1、2，…、n)叫做二項式系數(shù)

式中的

an-kbk叫做二項展開式的通項，用Tk+1表示，即通項為展開式的第k+1項:

Tk+1=

an-kbk注意①二項展開式共有n+1項②各項中a的指數(shù)從n起依次減小1，到0為此；

各項中b的指數(shù)從0起依次增加1，到n為此.

計算(a+b)n的展開式的二項式系數(shù)，并填入下表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?二、探究新知n(a+b)n的展開式的二項式系數(shù)123456每一行中的系數(shù)具有對稱性11121133114641151010511615201561二、探究新知

除每一行中的系數(shù)具有對稱性，還有什么規(guī)律呢?為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,上表還可以寫成如下圖所示的形式.

表示形式的變化常常能幫助我們發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律.(a+b)1?????????????????????????11(a+b)2????????????????????121(a+b)3????????????????1331(a+b)4????????????14641(a+b)5?????????15101051(a+b)6?????1615201561

觀察上圖，你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律?

對于(a＋b)n的展開式的二項式系數(shù)

，

，

，…

，

，我們還可以從函數(shù)的角度分析它們.

可看成以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是

{0，1，2，…，n}.

對于確定的n，我們還可以畫出它的圖象.例如,當(dāng)n=6時，函數(shù)f(r)=

(r∈{0，1，2，3，4，5，6})的圖象是7個離散點，如右圖所示.

(1)觀察上圖，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

(2請你分別畫出n=7，8，9時函數(shù)f(r)=

的圖象，比較它們的異同，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

分析前面的圖，可以得到二項式系數(shù)的以下性質(zhì).二、探究新知

你能用組合的意義解釋一下這個“組合等式”嗎?1.對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．

事實上，這一性質(zhì)可直接由

得到.

直線r=將函數(shù)f(r)=

的圖象分成對稱的兩部分,它是圖

象的對稱軸.三、二項式系數(shù)的性質(zhì)2.增減性與最大值因為即

所以就有：(1)增減性：當(dāng)

時，

隨k的增加而增大；當(dāng)

時，

隨k的增加而減小.(2)最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時,中間的一項

取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時,中間的兩項

與

相等,且同時取得最大值.三、二項式系數(shù)的性質(zhì)3.各二項式系數(shù)的和

這就是說，(a＋b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n.(1+x)n=+

x+x2+…+xk+…+xn已知令x=1得2n=+++…+三、二項式系數(shù)的性質(zhì)四、精典例題例1求證:

在(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于

偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.

實際上，a、b既可以取任意實數(shù)，也可以取任意多項式，還可以是別的,

我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取a、b的值.四、精典例題例2求值：四、精典例題例3五、課堂小結(jié)1.對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

2.增減性與最大值(1)增減性：當(dāng)

時，

隨k的增加而增大；當(dāng)

時，

隨k的增加而減小.(2)最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時,中間的一項

取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時,中間的兩項

與

相等,且同時取得最大值.3.各二項式系數(shù)的和

+++…+=2n