線(xiàn)性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類(lèi)） 課件 3.2向量與向量組的線(xiàn)性組合

§3.2向量組及其線(xiàn)性組合n維向量

n維向量

備注

向量的線(xiàn)性運(yùn)算

向量的線(xiàn)性運(yùn)算

練習(xí)

向量組定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱(chēng)為向量組．結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)．有限向量組向量組

可以寫(xiě)成常數(shù)列向量與系數(shù)列向量如下的線(xiàn)性關(guān)系：其中

為m維列向量

線(xiàn)性組合

線(xiàn)性組合

例：設(shè)那么線(xiàn)性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線(xiàn)性組合線(xiàn)性組合

n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維初始單位坐標(biāo)組．一般地，對(duì)于任意的n維向量b

，必有例題例：向量

是否能用

線(xiàn)性表示？分析：線(xiàn)性表示定義即找到有方程組有解？向量

是否能

線(xiàn)性表示？回顧一般形式向量方程的形式增廣矩陣的形式向量組線(xiàn)性組合的形式定理

定理

定理3.3的結(jié)論：向量b

能由向量組A線(xiàn)性表示

例題

例2

判斷向量

1

(4

3

1

11)與

2

(4

3

0

11)是否各為向量組

1

(1

2

1

5)

2

(2

1

1

1)的線(xiàn)性組合

若是

寫(xiě)出表示式

線(xiàn)性表示

定義：設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

中的每個(gè)向量都能由向量組

A

線(xiàn)性表示，則稱(chēng):向量組

B

能由向量組

A

線(xiàn)性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線(xiàn)性表示，則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià)．線(xiàn)性表示

設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線(xiàn)性表示，即對(duì)于b1，存在一組實(shí)數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=k11a1+k21

a2+…+km1

am；對(duì)于b2，存在一組實(shí)數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=k12a1+k22

a2+…+km2

am；……對(duì)于bl，存在一組實(shí)數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=k1la1+k2la2+…+kmlam線(xiàn)性表示

線(xiàn)性表示的系數(shù)矩陣結(jié)論向量b

能由向量組A線(xiàn)性表示線(xiàn)性方程組

Ax=b

有解列向量組B

能由列向量組A線(xiàn)性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組A

與向量組B等價(jià)例題

例3

設(shè)向量組

(A)

1

(1

0

0)T

2

(0

1

0)T

3

(0

0

1)T(B)a1

(1

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

1

1)T(C)

1

(0

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

0

0)T試判斷三個(gè)向量組是否相互等價(jià)

因?yàn)?/p>

1

1

2

1

2

3

1

2

3所以向量組(B)可由向量組(A)線(xiàn)性表示

又

1

1

2

2

1

3

3

2所以向量組(A)可由向量組(B)線(xiàn)性表示

故向量組(A)與(B)等價(jià)

解

例題

例3

設(shè)向量組

(A)

1

(1

0

0)T

2

(0

1

0)T

3

(0

0

1)T(B)a1

(1

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

1

1)T(C)

1

(0

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

0

0)T試判斷三個(gè)向量組是否相互等價(jià)

解

向量組(C)可由向量組(A)線(xiàn)性表示

1

0

1

0

2

0

3

2

1

2

3

1但向量

3不能由向量組(C)線(xiàn)性表示

所以向量組(A)不能由向