《函數的表示法》教學設計含答案

教學設計1.2.2函數的表示法（1）作者：張正全教學分析課本從引進函數概念開始就比較注重函數的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法．函數的不同表示方法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念．特別是在信息技術環(huán)境下，可以使函數在形與數兩方面的結合得到更充分的表現，使學生通過函數的學習更好地體會數形結合這種重要的數學思想方法．因此，在研究函數時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用．在研究圖象時，又要注意代數刻畫以求思考和表述的精確性。三維目標了解函數的一些基本表示法(列表法、圖象法、解析法)會根據不同實際情境選擇合適的方法表示函數，樹立應用數形結合的思想．重點難點教學重點：函數的三種表示方法，教學難點：會根據不同實際情境選擇合適的方法表示函數，導入新課我們前面已經學習了函數的定義，函數的定義域的求法，函數值的求法，兩個函數是否相同的判定方法，那么函數的表示方法常用的有哪些呢？這節(jié)課我們就來研究這個問題(板書課題)．推進新課初中學過的三種表示法：解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數的？討論結果：(1)解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的函數關系，這種表示方法叫做解析法，這個數學表達式叫做函數的解析式．(2)圖象法：以自變量x的取值為橫坐標，對應的函數值y為縱坐標，在平面直角坐標系中描出各個點，這些點構成了函數的圖象，這種用圖象表示兩個變量之間函數關系的方法叫做圖象法．(3)列表法：列一個兩行多列的表格，第一行是自變量的取值，第二行是對應的函數值，這種用表格來表示兩個變量之間的函數關系的方法叫做列表法．應用示例例1某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元．試用函數的三種表示法表示函數y＝f(x)．活動：學生思考函數的表示法的規(guī)定．注意本例的設問，此處“y＝f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應值表．本題的定義域是有限集，且僅有5個元素．解：這個函數的定義域是數集{1,2,3,4,5}，用解析法可將函數y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可將函數y＝f(x)表示為筆記本數x12345錢數y510152025用圖象法可將函數y＝f(x)表示為圖1.圖1點評：本題主要考查函數的三種表示法．解析法的特點是：簡明、全面地概括了變量間的關系，可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值，便于用解析式來研究函數的性質，還有利于我們求函數的值域；圖象法的特點是：直觀、形象地表示自變量變化時相應的函數值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數的某些性質，圖象法在生產和生活中有許多應用，如企業(yè)生產圖、股市走勢圖等；列表法的特點是：不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應的函數值，列表法在實際生產和生活中也有廣泛的應用，如銀行利率表、列車時刻表等等．并不是所有的函數都能用解析法表示，只有函數值隨自變量的變化發(fā)生有規(guī)律的變化時，這樣的函數才可能有解析式，否則寫不出解析式，也就不能用解析法表示．注意：①函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等；②解析法：必須注明函數的定義域，否則使函數解析式有意義的自變量的取值范圍是函數的定義域；③圖象法：根據實際情境來決定是否連線；④列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.例2下面是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6請你對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析．活動：學生思考做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本題利用表格給出了四個函數，它們分別表示王偉、張城、趙磊的考試成績及各次考試的班級平均分．由于表格區(qū)分三位同學的成績高低不直觀，故采用圖象法來表示．做學情分析，具體要分析學習成績是否穩(wěn)定，成績變化趨勢．解：把“成績”y看成“測試序號”x的函數，用圖象法表示函數y＝f(x)，如圖3所示．圖3由圖3可看到：王偉同學的數學成績始終高于班級平均分，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀；張城同學的數學成績不穩(wěn)定，總是在班級平均分水平上下波動，而且波動幅度較大；趙磊同學的數學學習成績呈上升趨勢，表明他的數學成績穩(wěn)步提高．點評：本題主要考查根據實際情境需要選擇恰當的函數表示法的能力，以及應用函數解決實際問題的能力．通過本題可見，圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數值的變化趨勢．注意：本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣便于研究成績的變化特點.知能訓練變式訓練2畫出下列函數的圖像（1）f(x)=2x,x∈R,且|x|≤?2（2）(x)=x+2，x∈N,|x|≤?32.某路公共汽車，行進的站數與票價關系如下表：行進的站數x123456789票價y0.50.50.51111.51.51.53.已知f(x)是一次函數，f(f(x))=4x－1，求f(x)的解析式。4.已知二次函數f(x)的圖像過點A(0,-5),B(5,0),其對稱軸為x=2,求其解析式。5.課本本節(jié)練習2,3.拓展提升問題：變換法畫函數的圖象都有哪些？解答：變換法畫函數的圖象有三類：1．平移變換：(1)將函數y＝f(x)的圖象向左平移a(a＞0)個單位得函數y＝f(x＋a)的圖象；(2)將函數y＝f(x)的圖象向右平移a(a＞0)個單位得函數y＝f(x－a)的圖象；(3)將函數y＝f(x)的圖象向上平移b(b＞0)個單位得函數y＝f(x)＋b的圖象；(4)將函數y＝f(x)的圖象向下平移b(b＞0)個單位得函數y＝f(x)－b的圖象．簡記為“左加(＋)右減(－)，上加(＋)下減(－)”．2．對稱變換：(1)函數y＝f(x)與函數y＝f(－x)的圖象關于直線x＝0即y軸對稱；(2)函數y＝f(x)與函數y＝－f(x)的圖象關于直線y＝0即x軸對稱；(3)函數y＝f(x)與函數y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱．3．翻折變換：(1)函數y＝|f(x)|的圖象可以將函數y＝f(x)的圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y＝f(x)的x軸上方部分即可得到．(2)函數y＝f(|x|)的圖象可以將函數y＝f(x)的圖象位于y軸右邊部分翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y＝f(x)在y軸右邊部分圖象即可得到．函數的圖象是對函數關系的一種直觀、形象的表示，可以直觀地顯示出函數的變化狀況及其特性，它是研究函數性質時的重要參考，也是運用數形結合思想研究和運用函數性質的基礎．另一方面，函數的一些特性又能指導作圖，函數與圖象是同一事物的兩個方面，是函數的不同表現形式．函數的圖象可以比喻成人的相片，觀察函數的圖象可以解決研究其性質，當然，也可以由函數的性質確定函數圖象的特點．借助函數的圖象來解決函數問題，函數的圖象問題是高考的熱點之一，應引起重視．課堂