文科數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二年級(jí)下冊(cè)期末試題及答案解析

文科數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二下學(xué)期期末試題及答案解析

文科數(shù)學(xué)

本試卷共22題(含選考題).全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

I.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈

后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求.

1.已知全集U=R,集合A=[φ>3},B={x∣2<x<4},則圖中陰影部分表示的集合為()

C.(2,3]D.[-2,3)

【答案】C

【分析】根據(jù)陰影部分，可以表示為ACB在集合B下的補(bǔ)集，利用補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)即可.

【詳解】因?yàn)锳={x∣x>3},B={x∣2<x<4},則ACB={x∣3<x<4},由韋恩圖可知，陰影部分表示的(AB).

則3(AcB)={x∣2<X≤3},即(2,3].

故選：C

2.復(fù)數(shù)Z==,則[的虛部為

1+I,?

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】D

【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z,則答案可求.

【詳解】依題意，z==i=*2r=W=τ,W=i，復(fù)數(shù)三的虛部為i,

1+z(l+z)(l-z)2

故選D?

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.PM2.5是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在

35μgi加以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在35μgI而~75〃g/m,之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在75〃g//以上空氣質(zhì)量為超

標(biāo).如圖是某地H月1日到10l：lPM2.5日均值（單位：μg∕m3）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（）

A.這10天中有4天空氣質(zhì)量為一級(jí)B.這10天中PM2.5日均值最高的是11月5日

C.從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低D.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是45

【答案】D

【分析】由折線圖逐一判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】由圖易知：第3,8,9,10天空氣質(zhì)量為一級(jí)，故A正確，U月5日PM2.5日均值為82,顯然最大，

故B正確，從5日到9日，PM2.5日均值分別為:82,73,58,34,30,逐漸降到，故C正確，中位數(shù)是空尹=47,

所以D不正確，故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)折線圖，考查讀圖，識(shí)圖，用圖的能力，考查中位數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

4.若sin（α+二）=’,則COS（C+生）=（）

633

A.-B.--C.-D.+-

3399

【答案】B

【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求得答案.

【詳解】cos（α+—）=cos（α+—+—）=-sin（α+-）=-?

36263

故選：B

5.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L(zhǎng)=ZlQV,其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使

用的學(xué)習(xí)率，LO表示初始學(xué)習(xí)率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，Go表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)

衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為18,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率為0.4,則學(xué)習(xí)

率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3）（）

A.75B.74C.73D.72

【答案】C

【分析】由已知可得0=3,再由0.5'€)卷<0.2,結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

IQ4

【詳解】由題設(shè)可得050^=0,4,則。=￡，

G18

2?518(lg2-lg5)18(2Ig2-l)18(2×0.3-l)

所以0.5Xu<0.2,即G>l8log4彳==72,

W5.4-2lg2-lg5-31g2-l3×0.3-l

所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為73次.

故選：C.

6.等差數(shù)列｛%｝中，已知∣%I=Ml且公差”>0,則其前〃項(xiàng)的和S,,取得最小值時(shí)〃的值為

A.9B.8C.7D.10

【答案】A

【詳解】?.?∣%∣=∣%∣且公差d>。，

Λ-a1=at2,從而為+42=°?

??a<)+%o=°，

??內(nèi)q())。,

：.當(dāng)數(shù)列｛%｝前?項(xiàng)的和S,,取得最小值時(shí)〃的值為9.選A.

7.已知函數(shù)/(x)的部分圖象如下所示，則f(x)可能為()

COSX+1“、xcosx+sinX

A./M=B.f(x)=-----------

2x+2-x2Λ+2-Y

COSX+Rsinx?“、cosx+?sinX

C.∕ω=D./(X)=-------------------

2x-2-x2x+2-x

【答案】D

【解析】結(jié)合圖象的特點(diǎn)，分別結(jié)合選項(xiàng)排除，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽,函數(shù)的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù),

cos%÷xsin%

則選項(xiàng)C中，函數(shù)/(X)=的定義域?yàn)椋鹠X≠0｝不符合題意，排除G

2—2T

-???FM.、TCoS(—X)+sin(T)xcosx+sinx

對(duì)于B11中，函數(shù)f(-χ?)=-----產(chǎn)石-----=—-2,+2T=-/*)，

則函數(shù)”x)為奇函數(shù)，不符合題意，排除B；

對(duì)于A中,函數(shù)AX)=誓2°恒成立,不存在負(fù)值,不符合題意’排除A；

對(duì)于D中，函數(shù)/(T)=CoS(苓岸"三)="?+黑n￡=f(χ),則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)值可正、

乙I乙乙I乙

可負(fù)，符合題意.

故選：D.

8.設(shè)命題p:/(X)=InX+2χ2-皿+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增，命題〃：機(jī)＜4,則。是4成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】求導(dǎo)得：f?x)=-+4x-m,由已知可得：L+4X-∕M≥0在(0,+oo)上恒成立，即機(jī)≤'+4x,由

XXX

y^-+4x≥2.l--4x=4,可知：m≤ymin=4,問題得解.

XVX

【詳解】由已知可得：r(X)=L+4x-m,

X

/(x)=lnx÷2X2-7∕IX÷1?E(0,+∞)上單調(diào)遞增,

.?.,+4x—mNo即〃？≤'+4x在(0,+∞)上恒成立,

XX

令y=』+4x,x>0

X

),=l?+4x≥2.-?4x=4,當(dāng)X=?■時(shí)等號(hào)成立，

XVx2

???機(jī)≤Xnin=4.

所以〃是夕成立的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了恒成立問題和基本不等式求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

9.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿足小+∣)=∕(H),且當(dāng)0≤x≤l時(shí)，/(x)E則/圖=()

【答案】B

【解析】根據(jù)/(χ)滿足(+∣)O)從而得出了圖T-再根據(jù)“X)是奇函數(shù),且當(dāng)(≡?

時(shí)，AX)=X3,從而得出的值，即可得解.

【詳解】解：依題意，/(X)滿足∕[χ+∣)=∕(;-X

又是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，/(-x)=-"x),即T￥=

因?yàn)楫?dāng)O≤x≤l時(shí)，/(x)=χ3,出=(；)=［，

故選：B

【點(diǎn)睛】考查奇函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)求值的方法，屬于基礎(chǔ)題.

10.曲線V=Xlnx上的點(diǎn)到直線x-y-2=0的最短距離是()

R

A.√2B.-C.1D.2

2

【答案】B

【分析】求出曲線與已知直線平行的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解作答.

【詳解】依題意，曲線V=Xlnx與直線x-y-2=0相離，

設(shè)曲線y=xlnx在點(diǎn)(后,%)處的切線與直線彳-〉-2=0平行，

求導(dǎo)得yC=lnx+l,則y'L=ln/+l=l,解得Λ0=1,有％=0,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

因此切點(diǎn)(1,0)到直線χ-y-2=o的距離為"=仁"斗=《，

√l2+(-l)22

所以曲線y=xlnx上的點(diǎn)到直線x-y-2=0的最短距離是也.

2

故選：B

11.已知拋物線。：丁=2。匹5>0)的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AOL/于。.若

AF=2,NDAF=60,則拋物線C的方程為()

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=8xD.y2=χ

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的定義求得IMl=2,然后在直角三角形中利用NQV=60?？汕蟮谩?2,從而可得答

案.

【詳解】如圖，連接/)尸，設(shè)準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為〃

拋物線U"2px(p>0)的焦點(diǎn)為F仁,。｝準(zhǔn)線/：X=/

又拋物線的定義可得IAFI=M。，又N04F=6O,所以皿尸為等邊三角形，

所以IZ)Fl=IAFI=2,ADFM=60

所以在RtAD核中，∣M=2∣MF∣=2p=2,則2=1,所以拋物線C的方程為丁=2x.

故選：A.

12.已知可導(dǎo)函數(shù)/U)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),若對(duì)任意的XeR,都有了。)>八幻+1,且/(0)=2021,則不

等式/(x)-2020∕<l的解集為()

A.(-∞,e)

B.(-∞,2021)

C.(0,+∞)

D.(2020,+∞)

【答案】C

【分析】構(gòu)函數(shù)g(χ)=%二?,由題設(shè)條件可得其單調(diào)性，從而可求函數(shù)不等式的解.

e

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=萼二?,則g①f(X)-/(χ)+ι<0,

ee

???函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，?.?/(O)=2021,.?.g(0)=駕二1=2020,

e

由/(x)-2020e'<1得"?一1<2020,Λg(x)<g(0),

e

Y函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，.?.x>0,

故選：C.

二、填空題：本題共4小題,每小題5分洪20分.

’x+y≤3

13.若Xj滿足約束條件，X-y≤2,則z=2x+y的最大值為.

x≥]

【答案】y

【解析】如圖,畫出可行域,y=-2χ+Z表示斜率為-2的一組平行線,當(dāng)Z=O時(shí),

首先畫出初始目標(biāo)函數(shù)y=-2x.當(dāng)y=-2x平移至點(diǎn)C時(shí),z取得最大值,

聯(lián)立仁；二；得、=”=；抑ClMl卻ZM=2χ∣+g*.

14.已知｛/｝是公比為4(4>0))的等比數(shù)列,且出嗎,4成等差數(shù)列,則4=.

【答案】1

【解析】在等比數(shù)列｛??｝中,右，的，%成等差數(shù)列,則2%=%+/，即2a4=a2+α√,fl∏a2≠0,整理得

√*-2q2+1=0,因?yàn)閝>0,故解得夕=1.

15.已知/(x)=sin0x(0>θ),若在IOm上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)小。滿足“。)+〃》)=2,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

【答案】［5,9)

【解析】因?yàn)镺≤x≤g,所以0≤ox4胃,因?yàn)樵谌眨馍锨∮袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)。、匕滿足/(a)+fS)=2,

且/(x)=sin5(°>0),所以,函數(shù)"x)在用上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn),所以,日啜碟,解得5≤o<9.

因此,實(shí)數(shù)。的取值范圍是［5,9).

16.已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為居點(diǎn)RQ在拋物線上,且滿足NPFQ=I,設(shè)弦PQ的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為

4則啰的最小值為.

d+1

【答案】1

【解析】由拋物線/=4x可得準(zhǔn)線方程為x=-l,?IPFI=a,IQF∣=b,(a>O,b>0),由余弦定理可得

IPβ∣2=∣PF^+?QF^-2?PF??QF?CoSNPFQ=a2+b2-ab,

由拋物線定義可得P到準(zhǔn)線的距離等于I尸尸I到準(zhǔn)線的距離等于IQF\,

M為PQ的中點(diǎn),由梯形的中位線定理可得M到準(zhǔn)線X=—1的距離為T(IPFl+31)=g(a+。).

2222

…r、CCSl一KL→*,1z,、1.,IPQI,a+b-ah,(a+b)-3ab

則弦p。的中點(diǎn)”到y(tǒng)軸的距離〃=券+力-1,故E=4'G^=4X-^L,

,,,23(α+?)2

5La>0,h>O,.,.-Jab≤"",/.ab<("+"),貝!jIPQI-N4χ絲二?l=1,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí),等號(hào)成立,

24(d+Il(a+b)2

所以購(gòu)的最小值為1.

4+1

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必

須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分).如圖,在四棱錐「一ABCD中,底面4BCE>是邊長(zhǎng)為2的菱形,NR4f>=604C與8。交于點(diǎn)O,QP_L

底面ABCD,OP=√3,?E,F分別是棱PA,PB的中點(diǎn),連接OE,OF,EF.

(1)求證：平面OEF〃平面PCD；

(2)求三棱錐O-PEF的體積.

【解析】(1)因?yàn)榈酌鍭BCo是菱形4C與8。交于點(diǎn)。

所以。為AC中點(diǎn)，

點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)產(chǎn)是棱P8的中點(diǎn)，

所以O(shè)E為三角形ACP的中位線,OF為三角形BDP的中位線,

所以O(shè)E”PC、OF”DP、

OEN平面OCRPCU平面DCPs.OEH平面DCP,

QoFa平面DCP,DPU平面DCP,：.OFH平面DCP.

而OECOF=O.OEU平面OfT7,0FU平面OEF.

???平面OEF〃平面PCD.

(2)因?yàn)榈酌鍭BCQ是邊長(zhǎng)為2的菱形./84。=60`

所以..84力為等邊三角形，

所以O(shè)B=I,04=6

因?yàn)镼Pj_底面48CZ),

OAU底面ABCD,OBU底面ABCD,

所以O(shè)PJ_Q4,OP，O8,

所以/。4和一POB均為直角三角形，

所以PA=J(6/+(6)，=√6,PB=J(√3)2+12=2,

22+(√6)2-22底

所以cosZPAB=——一?H=—=—，

2×2×√64

所以SpALgX2x向inNPAB='

設(shè)點(diǎn)。到平面際的距離為力,

根據(jù)體積相等法可知=KL,

所以JX——x∕2=!χL>∕5xl*5∕5,

3232

所以人限

?h=?

8

故三棱錐O-PEF的體積為?.

O

18.(12分)為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo),隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所

(1)求。的值以及這批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;

(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在［110,130)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取7件,再?gòu)倪@7件中隨機(jī)抽取2件,求至少有

一件的指標(biāo)值在［120,130)的概率；

(3)為了調(diào)查AI兩個(gè)機(jī)器與其生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量是否具有相關(guān)性,以便提高產(chǎn)品的生產(chǎn)效率,質(zhì)檢人員選取了

部分被抽查的產(chǎn)品進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),所得數(shù)據(jù)如下表所示,判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為機(jī)器類型與生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)

量具有相關(guān)性.

A機(jī)器生產(chǎn)3機(jī)器生產(chǎn)

優(yōu)質(zhì)品20080

合格品12080

附:

P(K2≥Q0.0500.0100.001

k3.8116.63510.828

n(ad-bc)’

(α+?)(c+J)(α+c)(?+i∕)'

【解析】(1)由題圖可知,0.005χ2χl0+aχl0+0.03χl0+0.04χl0=l,

解得α=O.02,

質(zhì)量指標(biāo)的平均值工=IO5x005+115x0.4+125x0.3+135x0.2+145x005=123.

(2)依題意,質(zhì)量指標(biāo)值在［110,120)的有4件,記為1、2、3、4,質(zhì)量指標(biāo)值在［120,130)的有3件,記為A、B、C.

則隨機(jī)抽取2件,所有的情況為

(l,2),(l,3),(l,4),(l,λ),(l,B),(l,C),(2,3),(2,4),(2,Λ),(2,B).

(2,C),(3,4),(3,A),(3,8),(3,C),(4,A),(4,8M4,C),(A,8),(AC),(氏C)洪21件，

其中滿足條件的為

(1,A),(1,3),(1,C),(2,A),(2,3),(2,C),(3,A),(3,3),(3,C),(4,A),(4,3).(4,C),(A,3),(AC),(民C),共15件，

故所求概率尸吟4

(3)完善表格如下：

A機(jī)器生產(chǎn)8機(jī)器生產(chǎn)總計(jì)

優(yōu)質(zhì)品20080280

合格品12080200

總計(jì)320160480

在本次試驗(yàn)中"≡u(píng)=黑黑無(wú)焉"

故沒有99.9%的把握認(rèn)為機(jī)器類型與生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量具有相關(guān)性.

TT

19.(12分)在.4?C中,/ABC=],點(diǎn)。,E在邊BC上,N34)=ND4E=NE4C且3O=3,OE=5.

⑴求AB；

(2)求AAEC的面積.

.?-AB×AZ)sinZDAB,-×AB×BD

?BD3

【解析】（）由題意知=γ-------------------------=1也=γ---------------

1~DE

AELAEXADsinZDAEδAED-×AB×DE5

22

設(shè)A8=3x,所以AE=5x.

在Rt?ABE中,8E=4x=8,

所以X=2,從而AB=3x=6.

(2)設(shè)/3AD=/ZME=NE4C=。,

“Λ+BD31

在RtAABDl1,tana=——=一=一，

AB62

.?,BE84

在RtZSABE中，tan2]=——=—=—?

AB63

14

—I—

tancr÷tan26z∏

所以tan3α=23

1-tan6ztan2?1.1×42^

23

RrRr11

在RtΔABC中,由tan3α==——=—,得BC=33.

AB62

所以EC=25,

從而Z?AEC的面積為,EC?AB=→25×6=75.

22

20.（12分）已知雙曲線C-￡=1（。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥,4是C的左頂點(diǎn),C的離心率為2.設(shè)

過(guò)工的直線/交C的右支于p、。兩點(diǎn),其中P在第一象限.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線AP、AQ分別交直線x=g于V、N兩點(diǎn),證明：?叫為定值;

(3)是否存在常數(shù)4,使得=NPA名恒成立？若存在,求出力的值；否則,說(shuō)明理由.

【解析】(1)由題可得α=l,?=2,故可得c=2,則U=C2-"2=4T=3,

a

故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為d-￠=1.

3

(2)由(1)中所求可得點(diǎn)A,a的坐標(biāo)分別為(TO),(2,0),

乂雙曲線漸近線為y=±辰,顯然直線PQ的斜率不為零，

(用

故設(shè)其方程為X=玖y+2,m≠±M,

\/

聯(lián)立雙曲線方程χ2-li=i可得：(3,"-1)/+12,町+9=0,

設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為(χ,,y1),(χ2,γ2).

?2m9

則llllX+%=-τ-ι-r，y%=τ-^-τ，

37n-15m-1

x1+x2=∕n(y1+y2)+4=-^-j-,

2_/?.-3m~—4

XlX2=%χ%+2〃?(％+%)+4=";2一J；

JlTl—1

又直線AP方程為：y=Trτ(χ+l),令X=4,則y=f?T7,

-

?ΛI(xiàn)-t*1，44]I1

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為-?-?；

(22x,+lj

直線AQ方程為：y=∕(x+l),令X=4,則y=l∕,

?^2+?2ZX)^??

V、

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

(22x2+1J

πl(wèi)(33%1133/1

則MF,2?NE,=---------1--------

2(22xi+?22x,+l)

9

,9.9K%_99W∑

------1--------------------------------------------------1---------------------------------------1-----------------

44xix2+x1+x2+144-3λ∏'-44十］

3m2—13/—1

999c

44-9

故g?Ng為定值0.

(3)當(dāng)直線尸。斜率不存在時(shí)，

2

對(duì)曲線C:/-匕=1,令X=2,解得y=±3,

3

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3),此時(shí)NPEA=90。，

在三角形PKA中,I傷卜3,∣P閭=3,故可得NPAB=45。，

則存在常數(shù)A=2,使得^PF2A=2NA4g成立；

當(dāng)直線尸。斜率存在時(shí)，

不妨設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),XH2,直線PF?的傾斜角為α,直線PA的傾斜角為β.

則NPEA=%-α,NPA用=￡,

假設(shè)存在常數(shù)X=2,使得^PF2A=2ZPAF2成立,即萬(wàn)一α=2〃.

11

則一定有tan(^-α)=-tanα=tan2β=J：,也即一如；=^?":

1-tan/7-l-k；A

?y

y2kPA_χ+l_2y(x+l)

225

乂FL一二Tl-?^1/~(χ+n-v

(x+l)2

2

又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足χ2-?=l,則y2=3χ2-3,

3

卜,2%=2y(x+l)=2y(x+l)

“1-編(x+l)2-y2(x+l)2-3x2+3

=2y(x+l)=2y(ι+l)=__y_

-2x~+2x+4-2(x-2)(x+l)x—2

=Mg；

故假設(shè)成立,存在實(shí)數(shù)常數(shù)Λ=2,使得ΛPF1A=2NPA后成立；

綜上所述,存在常數(shù)4=2,使得gA=2NPA瑪恒成立.

21.(12分)設(shè)函數(shù).∕?(x)=ex-gαχ2-∕(θ)x.

(1)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

①當(dāng)x≥0時(shí)J(X)≥1;

②f(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)">1時(shí),證明：函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)方,赴(不<天)，且々-玉隨著”的增大而增大.

【解析】(1)令X=O,則"0)=1,所以/(x)=e*-g以2-x,則f'(x)=e"-6一1,

令A(yù)(X)=/(幻,則MX)=e*-α,

選①：當(dāng)α≤l時(shí),因?yàn)閤≥0時(shí)e≥l,Z'(x)20,所以/'(X)在［0,+s)匕單調(diào)遞增，

又/'(0)=0,所以當(dāng)x≥0時(shí),/'(x)≥0,說(shuō)明"x)在［0,+向上單調(diào)遞增，

所以“x)河(。)=1,符合題意；

當(dāng)“>l時(shí),ln4>0,當(dāng)0<x<ln4時(shí),&'(x)<0,所以/'(x)在(O,Ina)上單調(diào)遞減，

又/'⑼=0,所以當(dāng)0<x<lnα?xí)r,r(x)<O,說(shuō)明/(x)在(0,Ina)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)0<X<lnαH寸J(X)</⑼=1,此時(shí)不符合題意；

綜上,實(shí)數(shù)”的取值范圍(e1］.

選②：/(x)在R上單調(diào)遞增,所以/'(X)≥0在R上恒成立，

當(dāng)α≤0時(shí)K(X)>0,所以/'(x)在R上遞增,

又/'(0)=0,所以當(dāng)χ<0時(shí),r(χ)<o,所以“X)在χ<0上單調(diào)遞減,不符合題意；

當(dāng)”>0時(shí),當(dāng)x<ln40寸,M(x)<0,所以r(x)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X>Ina時(shí),MX)>0,所以f'(x)在(Ina,田)上單調(diào)遞增，

從而/(x)>/(lna)=a-αlnα-l,?∕,(x)≥0?R上恒成立,得α-alnα-l≥0,

令屋4)=4-〃11〃-1，8，(4)=-111。.說(shuō)明g(。)在(0,1)單調(diào)遞增,在(l,+∞)單調(diào)遞減，

所以g(4)≤g⑴=0,當(dāng)且僅當(dāng)4=1時(shí)取得等號(hào),故α=L

綜上,實(shí)數(shù)”的取值范圍{1}.

(2)當(dāng)a>l時(shí)Ina>0,當(dāng)X<Ina時(shí)k'(x)<0J'(x)在(-∞,Inα)上單調(diào)遞減,又/'(0)=0,

當(dāng)x<O時(shí),砍x)>0,說(shuō)明/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<X<Ina時(shí),(x)<0,說(shuō)明/(x)在(O,Ina)上單調(diào)遞減，

所以Xl=O為極大值點(diǎn).

由(1)有e"≥x+l>x,則e*=e2e2>二，

4

所以當(dāng)x>l時(shí),有∕,(X)=6Λ-0r-l>^--(α+l)x,

所以當(dāng)x>4(α+l)時(shí),∕S")>0.

,

所以3X2e(lnα,4(α+1))使得∕(x,)=0.

當(dāng)XW(Ina,W)時(shí)J(X)<0,當(dāng)x∈(j?,4(α+l))時(shí),井㈤>0,

所以X=X2為極小值點(diǎn)，

綜上,函數(shù)f(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)4，%；

,e--1

其中X=X2滿足f'(w)=O,所以"=一^—,

設(shè)MX)=一(Λ?>0).則”(X)=e"(e：：xT).

由(1)知e--r+l,所以"@"。,〃⑴單調(diào)遞增，

所以